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北京十二中 2024-2025 学年第一学期期中考试试题
初三年级 数学
2024.11
(满分100分， 时间120分钟)
一、选择题 (共16分，每题2分)
第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代
表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知二次函数的图象的顶点是 ，且经过点 ，则二次函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
4. 如图，点 ， ，在二次函数 的图象上，则方程
的一个近似值可能是（ ）
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A. B. C. D.
5. 如图，点 都在 上，若 ，则 的度数（ ）
A. 30° B. C. D.
6. 如图，在宽为 ，长为 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草
坪，要使草坪的面积为 ，求道路的宽，如果设小路宽为 ，根据题意，所列方程正确的是（
）
A. B. C.
D.
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7. 在同一直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在矩形 中， 与 交于点O，M是 的中点．P，Q两
点沿着 方向分别从点B，点M同时出发，并都以 的速度运动，当点Q到达D点时，
两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与 的面积S随时间t变化的图象最接近的是（
）
A. B.
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C. D.
二、填空题(共16分，每题2分)
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是__________．
10. 将抛物线 先向上平移 个单位，再向右平移 个单位，所得抛物线的解析式为______．
11. 若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则m的值为___________．
12. 已知 ，则代数式 的值为___．
的
13. 已知 是圆O 一条弦，且 ，则弦 所对的圆周角是_____．
14. 在平面直角坐标系 中，已知点 和点 ，若抛物线 与线段 恰有
一个公共点，则a的取值范围是________．
15. 二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ．下列
结论：
① ；
② ；
③若点 在该函数图象上，则 ；
④ 若方程 的两根为 和 ，且 则 ， ．
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其中所有正确结论的序号是__________．
16. 如图，等边三角形 中， 为 边上一动点， ，垂足分别为
则 的最小值为______．
三、解答题 (共68分，第17题6分，第18题3分，第19题6分，第20-22题5分，第23-26
题6分，第27-28题7分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程
（1） ；
（2） ．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，有 ， ， 三点．
（1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为_______；
（2）点B绕点C逆时针旋转 后的点D的坐标为_______，此时点B 旋转到点D所经过的路径长为
_______（结果保留根号和π）．
19. 已知关于 的一元二次方程 （ 为实数且 ）．
（1）求证：此方程总有实数根；
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（2）如果此方程的实数根都是整数，求正整数 的值．
20. 如图，D为等边 内一点，将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，求 的度数．
21. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：点P，使得AP＝AB，且 ．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交 于点D（异于点C）；
③连接DA并延长交 于点P．
所以点P就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在 上．
∵ ，
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∴ （____________________）（填推理的依据），
由作图可知， ，
∴ ______ ．
∴ ．
22. 在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象过点 ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用描点法画出该二次函数的图象；
（3）当 时，对于x的每一个值，都有 ，直接写出k的取值范围．
23. 如图， 是 的弦， ，垂足为C，交 于点D，点E在 上．
（1）若 ，求 的度数；
的
（2）若 ，求 长．
24. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式 的最小值．
解：
无论 取何实数，都有 ，
，即 的最小值为2．
试利用配方法解决下列问题：
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（1）直接写出 的最小值 ；
（2）比较代数式 与 的大小，并说明理由；
（3）如图，在四边形 中， ．若 ，求四边形 面积的最大值．
25. 某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底
面中心 处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心 为坐标原点，过原点的水平线为
轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度 为 ，测得当飞行的水
平距离为 时，飞机的飞行高度为 ；当飞行的水平距离为 时，飞机的飞行高度为 ．
的
（1）求抛物线 解析式．
（2）求飞机飞行的最大高度及最远距离．
（3）由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点 的上下平移而上
下平移．如图，在水平线 轴上设置回收区域 ， ， ，要使飞机恰好降落到 内
（包括端点 ， ），直接写出发射台的高度 的取值范围．
26. 在平面直角坐标系 中，点 为抛物线 上 的两
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点．
（1）当 时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于 ， 都有 ，求h的取值范围．
27. 在 中， ， ，点D在 边上（不与点B，C重合），将线段 绕点
A顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
（1）根据题意补全图形，并证明： ；
（2）过点C作 的平行线，交 于点F，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下的定义：若在图形 上存在一点 ，使得
两点间的距离小于或等于 ，则称 为图形 的关联点．
（1）当 的半径为 时，
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① 在点 中， 的关联点是_______；
② 点 在直线 上，若 为 的关联点，直接写出点 的横坐标 的取值范围；
（2） 的圆心在 轴上，半径为 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 ．若线段AB上的
所有点都是 的关联点，直接写出圆心 的横坐标 的取值范围．
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