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2023-2024 学年北京市门头沟区大峪中学分校八年级（下）期中数学
试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算 的结果为( )
(√ 3) 2
A. 3 B. 3√ 3 C. 6 D. 9
2.下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是( )
A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，12，13
3.一个菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则这个菱形的面积等于( )
A. 24cm2 B. 48cm2 C. 12cm2 D. 18cm2
√ x−2
4.若代数式 有意义，则x的取值范围是( )
x−3
A. x>2且x≠3 B. x≥2 C. x≠3 D. x≥2且x≠3
5.如图，小山为了测量某湖两岸A，B两点间的距离，先在AB外选定一点C，
然后测量得到C A，CB的中点D，E，且DE=8m，从而计算出A，B两点间
的距离是( )
A. 8m B. 12m C. 16m D. 20m
6.下列命题正确的是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
7.下列计算正确的是( )
A. √ 3+√ 2=√ 5 B. √ 3×√ 2=6 C. √ 12−√ 3=√ 3 D. √ 8÷√ 2=4
8.在 ABCD中，O为AC的中点，点E，M为 ABCD同一边上任意
两个▱不重合的动点(不与端点重合)，EO，MO的▱延长线分别与 ABCD
的另一边交于点F，N.下面四个推断：①EF=M N；②EN/▱/M F；
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学科网（北京）股份有限公司 1 1③若 ABCD是菱形，则至少存在一个四边形EN FM是菱形；④对于任意的 ABCD，存在无数个
四边形▱EN FM是矩形，其中，所有正确的有( ) ▱
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，它的逆命题是______．
10.如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，若AC=6，BC=8，
则CD= ______．
11.如图，请给矩形ABCD添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为
．
12.已知实数 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，则化简 的结果为______．
a b |a|>|b| √ a2−|a+b|
13.在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果∠ABC=60°，AC=4，那么这个菱形的面积
是______．
14.已知 ，那么 的值为______．
√ 3+a+(b−2) 2=0 a+b
15.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相
交于点E，AB=4，AD=8，则AE的长为______．
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学科网（北京）股份有限公司 2 11
16.我们规定用(a,b)表示一对数对，给出如下定义：记m= ,n=√ b，其中(a>0,b>0)，将(m,n)与
√ a
称为数对 的一对“对称数对” 若数对 的一个“对称数对”是 ，则 的值是
(n,m) (a,b) . (a,b) (√ 3,3√ 2) ab
______．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
√1
17.计算：(1)√ 8−√ 2+2 ；
2
(2)(√ 5+√ 3)(√ 5−√ 3).
18.计算： ．
√ 12+|2−√ 3|+√38−√ 22
19. ．
(√ 3−√ 2) 2−√ 2(√ 3−√ 2)
四、解答题：本题共9小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题5分)
√1
计算：4 −√ 6×√ 3+√ 12÷√ 3．
2
21.(本小题5分)
已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：AE=CF．
22.(本小题5分)
已知：如图1，线段a，线段b．
求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．
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学科网（北京）股份有限公司 3 1作法：①如图1，作线段b的垂直平分线c，交线段b于点E；
②如图2，作射线m，在m上截取线段AC=a；
③作线段AC的垂直平分线GF交线段AC于点O；
④以点O为圆心，线段b的一半为半径作弧，交直线GF于点B，D；
⑤连接AB，BC，CD，DA．
∴四边形ABCD就是所求作的菱形．
问题：(1)使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是______．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．______(填推理的依据)．
23.(本小题5分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，
BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF=3，BF=4，求DF长．
24.(本小题6分)
如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于点F，连
▱
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学科网（北京）股份有限公司 4 1接EF．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)连接CF，若CE=1，CF=2，AB=√ 5，求菱形ABEF的面积．
25.(本小题6分)
2a−4 1
已知a=√ 2−1，求代数式 ÷(1− )的值．
a2−1 a−1
26.(本小题4分)
如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原
因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一
条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求新路CH比原路C A少多少千米？
27.(本小题7分)
已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且CE|b| ∴√ a2−|a+b|=−a+(a+b)=b
故答案为：b．
利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握相关性质是解题关键．
13.【答案】8√ 3
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AB=BC，AC⊥BD，AO=OC= AC= ×4=2，，BO=DO，
2 2
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
又∵AO=OC，
1
∴∠ABO=∠CBO= ∠ABC=30°，
2
∴AB=2AO=4，
由勾股定理得BO2=AB2−AO2，
∴BO=√ AB2−AO2=√ 42−22=2√ 3，
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学科网（北京）股份有限公司 11 1∴BD=2BO=4√ 3，
1 1
∴菱形的面积= AC⋅BD= ×4×4√ 3=8√ 3．
2 2
故答案为：8√ 3
先判断出△ABC是等边三角形，再根据菱形的对角线互相垂直平分和等边三角形的性质求出AO、BO，
然后根据菱形的对角线互相平分求出AC、BD，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可
得解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分和面积的求解方法是
解题的关键．
14.【答案】−1
【解析】解：根据题意得，3+a=0，b−2=0，
解得a=−3，b=2，
所以，a+b=−3+2=−1．
故答案为：−1．
根据非负数的性质列式求出求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15.【答案】5
【解析】解：∵矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在等F处，
∴∠F=∠D=∠B=90°，CD=CF=AB，
∵∠AEB=∠CEF，
∴△ABE≌△CFE(A AS)．
∴EC=AE，
设AE=x，
∴EC=AE=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=8，BE=8−x，
在 中，则有 ，
Rt△ABE (8−x) 2+42=x2
解得x=5，
∴AE=5，
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学科网（北京）股份有限公司 12 1故答案为：5．
根据A AS证明三角形全等，设AE=x，在Rt△ABE中，利用勾股定理构建方程即可解问题．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参
数构建方程解决问题．
1
16.【答案】6或
6
【解析】解： 数对 的一个“对称数对”是 ，
∵ (a,b) (√ 3,3√ 2)
{ 1
=√ 3
{ 1
=3√ 2
或 ，
∴ √ a √ a
√ b=3√ 2 √ b=√ 3
{ 1 { 1
解得 a= 或 a= ，
3 18
b=18 b=3
1
∴ab=6或 ．
6
1
故答案为：6或 ．
6
根据新定义列方程组，解出进而得出结论．
此题主要考查了新定义以及分母有理化，理解和应用新定义是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2√ 2−√ 2+√ 2
=2√ 2；
(2)原式=5−3
=2．
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和平方差公式是解决问题的关键．
(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用平方差公式计算．
18.【答案】解：原式=2√ 3+2−√ 3+2−2
=√ 3+2．
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学科网（北京）股份有限公司 13 1【解析】直接利用二次根式的性质和立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19.【答案】解：原式=3−2√ 6+2−√ 6+2
=7−3√ 6．
【解析】先根据乘法公式展开得到原式=3−2√ 6+2−√ 6+2，然后合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后
合并同类二次根式．
20.【答案】解：原式=2√ 2−√ 6×3+√ 12÷3
=2√ 2−3√ 2+2
=2−√ 2．
【解析】本题考查了二次根式的混合运算有关知识，先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即
可．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
{
AB=CD
∠ABE=∠CDF，
BE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE=CF．
【解析】此题考查了学生对平行四边形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况，属于平行四边形的基
础知识，
应该重点掌握．
根据已知条件利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．
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学科网（北京）股份有限公司 14 122.【答案】(1)如图，菱形ABCD即为所求．
(2)平行四边形 (对角线垂直的平行四边形是菱形)
【解析】解：(1)见答案；
(2)理由：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
故答案为：平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形．
(1)根据要求作出图形即可．
(2)根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
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学科网（北京）股份有限公司 15 1(2)解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，CF=3，BF=4，
∴BC=5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AB//DC，
∴∠DF A=∠BAF，
∴∠DAF=∠DF A，
∴AD=DF，
∵AD=BC，
∴DF=BC，
∴DF=5．
【解析】(1)先证明四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定即可得到证明；
(2)根据勾股定理求出BC长，求出AD=DF，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAF=∠EAB，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=∠FBE，∠AFB=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴AF=BE，
∵AF//BE，
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学科网（北京）股份有限公司 16 1∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
(2)连接CF，
CE=1，CF=2，AB=√ 5，
∵AB=EF=√ 5，
CE2+CF2=EF2，
∴∠FCE=90°，FC⊥CE，
∴菱形ABEF的面积=√ 5×2=2√ 5．
【解析】(1)先证明△ABE是等腰三角形，再证明△ABF是等腰三角形，得出平行四边形ABEF，由
此即可解决问题．
本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，通过等量代换推出角相等推出等腰
三角形是解决问题的关键．
2a−4 1
25.【答案】解： ÷(1− )
a2−1 a−1
2a−4 a−2
= ÷
a2−1 a−1
2(a−2) a−1
= ⋅
(a+1)(a−1) a−2
2
= ，
a+1
∵a=√ 2−1，
2 2
∴原式= = =√ 2．
√ 2−1+1 √ 2
【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
本考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
26.【答案】解：(1)是，
理由是：在△CHB中，
，
∵CH2+BH2=(1.2) 2+(0.9) 2=2.25
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学科网（北京）股份有限公司 17 1BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
(2)设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x−0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
，
∴x2=(x−0.9) 2+(1.2) 2
解这个方程，得x=1.25，
1.25−1.2=0.05(千米)
答：新路CH比原路C A少0.05千米．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；
(2)根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理及其逆定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
27.【答案】解：(1)补全图形如图1，
(2)45°−α;
(3)BM与CF的数量关系为BM=√ 2CF．
证明：如图2，在CD上取点G，使得CG=CE，连接GE，
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学科网（北京）股份有限公司 18 1∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BDC=45°，∠DCB=90°，BC=DC，
∵CG=CE，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∴∠DGE=∠MBF=135°，
∵点F与点E关于直线DC对称，
∴CF=CE=CG，且点F在BC上，
∴BF=GD，
∵M H⊥DE于点H，
∴∠M H D=∠BCD=90°，
∴∠BFM=∠H FE=∠CDE，
在△BM F和△GED中，
{∠BFM=∠GDE
BF=GD
∠MBF=∠DGE
∴△BM F≌△GED(ASA)，
∴MB=EG，
∵CG=CE，CG2+CE2=GE2，
∴GE=√ 2CE=√ 2CF，
∴BM=√ 2CF．
【解析】解：(1)见答案；
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，
∵FH⊥DE，
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学科网（北京）股份有限公司 19 1∴∠M H D=90°，
∴∠DM F+∠M DH=90°，
∴∠DM F+∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠DM F+45°+α=90°，
∴∠DM F=45°−α．
故答案为45°−α．
(3)见答案．
【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角
三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，
作出辅助线也是解决本题的关键．
(1)由题意补全图形即可；
(2)由正方形的性质得出∠BDC=45°，由直角三角形的性质可得出答案；
(3)在CD上取点G，使得CG=CE，连接GE，由正方形的性质得出∠DBC=∠BDC=45°，
∠DCB=90°，BC=DC，证明△BM F≌△GED(ASA)，由全等三角形的性质得出MB=EG，由
等腰直角三角形的性质可得出答案．
28.【答案】E，F
【解析】解：(1)①如图1中，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点E，点F．
故答案为：E，F．
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学科网（北京）股份有限公司 20 1②如图2中，∵点B的坐标为(0,b)，点B为点A的“和谐点”，
观察图形可知B(0,3)或B′(0,−1)，
∴b=3或−1．
(2)如图3中，
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学科网（北京）股份有限公司 21 1观察图形可知，∵点M在线段DE上，
∴点M的“和谐点”在线段GH上，H(−3,0)，G(3,0)，
∴点C(m,0)在线段GH上，
∴−3≤m≤−1或1≤m≤3．
(1)①画出图形根据“和谐点”的定义判断即可．
②画出图形根据“和谐点”的定义解决问题即可．
(2)在x轴上作出点E在点E右侧的“和谐点”G(3,0)，在x轴上作出点D在点D左侧的“和谐点”
H(−3,0)，利用图象法可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，“和谐点”的定义等知识，解题的关键是学会利用图象法
解决问题，属于中考常考题型．
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学科网（北京）股份有限公司 22 1
