文档内容
门头沟区 2022－2023 学年度第一学期期末调研试卷
九年级数学
1.本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2.请将条形码粘贴在答题卡相应位置处．
3.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．请使用2B铅笔填涂，用黑
色字迹签字笔或钢笔作答．
4.考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 如果 ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 的半径为4，点 在 内，则 的长可能是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如果将抛物线 向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图， ， 相交于点O，且 ．如果 ， ，那么 的值是（
）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 如图，线段 是 的直径，如果 ，那么 的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 二次函数 的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 一元二次方程 的近似解为 ，
的
8. 下面 四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示
的是（ ）A. 圆的面积y与它的半径x；
B. 正方形的周长y与它的边长x；
C. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
D. 小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x；
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果 ，那么锐角 ___________度．
10. 如果一个扇形的圆心角为 ，半径为2，那么该扇形的面积为___________（结果保留π）．
11. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ， ，那么 与 的大小
关系是 ___________ （填“ ”，“ ”或“ ”）时．
12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么 的面积与 的面
积的比是___________．
13. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当 时，y随x的增大而增大．这个二次函数的
表达式可以是___________．
14. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，
立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿 不知道有多长，
量出它在太阳下的影子 长150寸，同时立一根15寸的小标杆 ，它的影子 长5寸，则竹竿
的长为多少？”．答：竹竿 的长为___________寸．15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度
米，拱高 米，那么桥拱所在圆的半径 ___________米．
16. 如图1，在等边 中，D是 中点，点P为 边上一动点，设 ， ，如果y与x
的
函数关系的图象如图2所示，那么 ___________．
三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每
小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
18. 如图，在 中，点D在 上，连接 ．请添加一个条件 ，使得
，然后再加以证明．
19. 下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1， ．求作：等边 ，使得等边 内接于 ．
作法：
①如图2，作半径 ；
②以M为圆心， 长为半径作弧，交 于点A，B，连接 ；
③以B为圆心， 长为半径作弧，交 于点C；
④连接 ， ．
∴ 就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ， ， ．
由作图可知 ，
是
∴ ， 等边三角形．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．（ ）（填推理的依据）∵ ，
∴ 是等边三角形．
20. 已知二次函数
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当 时，直接写出x的取值范围．
21. 如图，在 中， ，点D在 上， ，过点B作 ，交 的延
长线于点E．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 的长．
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图
象的一个交点为 ．（1）求反比例函数 的解析式；
（2）当 时，对于x的每一个值，一次函数 的值大于反比例函数
的值，直接写出k的取值范围．
23. 定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的
一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测
得定都阁顶端A的俯角α为 ，定都阁底端B的俯角β为 ，此时无人机到地面的垂直距离 为
米，求定都阁的高 ．（结果保留根号）24. 某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物
线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），
现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度y/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系 中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高 的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶
端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
25. 如图，在等腰 中， ，以 为直径作 ，交 于点D，过点D作 ，
垂足为E．
（1）求证： 是 的切线；（2）如果 ， ，求 的长．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上，其中
，设抛物线的对称轴为 ．
（1）当 时，如果 ，直接写出 ， 的值；
（2）当 ， 时，总有 ，求t的取值范围．
27. 如图，在 中， ，点D在 上，连接 ，在直线 右侧作 ，且
，连接 交 于点F．
（1）如图1，当 时，
①依题意补全图1，猜想 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， 的数量关系，并证明．
（2）如图2，当 时，直接用含m的等式表示线段 ， 的数量关系．28. 在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下定义：当点 ，满足
的
时，称点N是点M 等积点．已知点 ．
（1）在 ， ， 中，点M的等积点是 ；
（2）如果点M的等积点N在双曲线 上，求点N的坐标；
（3）已知点 ， ， 的半径为1，连接 ，点A在线段 上．如果在 上存在点
A的等积点，直接写出a的取值范围．
