试卷拆解第二弹:真题例题精讲,划好备考重点!

下列函数中，在 x = 0 处可导的是（　）

A. |x|　　B. x|x|　　C. x^1/3　　D. sin|x|

答案：B

逐项看：|x| 与 sin|x| 在 0 处左右导数分别为 −1 和 +1，不相等；x^1/3 的导数趋于无穷；只有 x|x| 写成分段是 x²（x≥0）与 −x²（x<0），左右导数同为 0。

讲评：这题的价值在于提醒一件常被忽略的事——可导的定义是“左右导数存在且相等”，不是“图像看起来光滑”。这类题没有算式可套，只能回定义。

λx₁ + x₂ + x₃ = 1

x₁ + λx₂ + x₃ = λ

x₁ + x₂ + λx₃ = λ²

λx₁ + x₂ + x₃ = 1

x₁ + λx₂ + x₃ = 1

x₁ + x₂ + λx₃ = 1

两题的系数行列式同为 (λ−1)²(λ+2)，结论也一致：λ≠1 且 λ≠−2 时有唯一解；λ=1 时有无穷多解；λ=−2 时无解。

讲评：注意两卷的右端并不相同（数专卷是 1、λ、λ²，非数专卷全为 1），判别结论却一致——因为这类题判的是“系数矩阵的秩”与“增广矩阵的秩”是否相等，而不是只看行列式。做这类题只要守住两步就不容易出问题：一是讨论 λ=−2 时记得算增广矩阵的秩，二是判出无穷多解后把通解写完整。

I = ∬D (x + √(x²+y²)) dσ，D = {(x,y) | 1 ≤ x²+y² ≤ 4}

答案：14π/3

I = ∬D (x·sin y + y) dσ，D = {(x,y) | −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π}

答案：π²

数专卷给的是环形区域，必须换极坐标；非数专卷给的则是矩形区域，考的是对称性——x·sin y 关于 x 是奇函数、区域又关于 y 轴对称，这一部分直接为零，剩下只用算 ∬ y dσ。

讲评：两题都能在很短的步骤内出结果，前提是先看区域、再选坐标系。做二重积分前先扫一眼“区域是否对称、被积函数有无奇偶性、是不是圆域”，是性价比最高的一步。

设 A 为 3 阶实对称矩阵，且 A² = E。

（1）证明 A 的特征值只能为 1 或 −1；（2）证明 r(A+E) + r(A−E) = 3；（3）若 r(A+E) = 2，求 |A+2E|。

答案：（3）|A+2E| = 9

这条链是逐环展开的：由 A² = E 作用于特征向量，得 λ² = 1，特征值只能是 ±1；再由 A 实对称可正交对角化，“求秩”就转化成“数非零特征值的个数”，于是 r(A+E) 与 r(A−E) 之和恒为 3；最后 r(A+E) = 2 说明特征值是 1, 1, −1，那么 A+2E 的特征值为 3, 3, 1，行列式为 9。

讲评：值得留意的是它的设问结构——每一小问都在给下一问铺路。这类题即使最后一问没做完，把（1）（2）写清楚也能拿到大部分分数，考场上不必整体放弃。