高中数学|正方形开场、菱形收尾:椭圆三连问,每一问都在考＂条件翻译＂

这道题的题面很”省”：短轴长2，四个特殊点恰拼成一个正方形，仅此而已。第一问靠”对角线相等”定形，第二问给斜率算面积，第三问在线段OF上找一个让平行四边形变菱形的点——三问难度递进，钥匙却是同一把：把几何条件翻译成代数等式。最后一问是存在性命题，端点的开与闭各有各的理由，最能拉开差距。

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）当直线l的斜率为1时，求的面积；

（3）在线段OF上是否存在点，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

第一问：正方形的四个顶点，“对角线相等”一步定形。

焦点在x轴上，短轴长为2，即2b=2，b=1，短轴两个端点是(0,± 1)；设两个焦点为(± c,0)。

四个点(± c,0)、(0,± 1)两两相邻的距离都是——无论c取几，四边相等自动成立，这已经是一个菱形。要升级成正方形，还差一条：对角线相等。两条对角线一条横放、长2c，一条竖放、长2，于是

由a²=b²+c²=2，椭圆方程为

回检✓，右焦点F(1,0)。

第二问：斜率为1，联立出交点，面积一把算。

直线l过F(1,0)且斜率为1，即y=x−1。代入：

两个交点为与(0,−1)——后者恰是短轴的下端点，题目埋的小彩蛋。用行列式算面积：

底乘高复核：，O到直线x−y−1=0的距离为，✓。

第三问：菱形=邻边相等=垂直平分线。

以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，等价于邻边相等：

|MP|=|MQ|,

即M在线段PQ的垂直平分线上。这一步翻译做完，“存在性”就变成了”求中垂线与x轴的交点”。

设l:y=k(x−1)。先处理k=0：此时l就是x轴，P、Q为长轴两端点，而M(m,0)也在x轴上——三点共线，MP、MQ根本拼不出（非退化的）平行四边形，更谈不上菱形。故k≠0。

k≠0时，代入椭圆：(1+2k²)x²−4k²x+2k²−2=0，判别式

Δ=16k⁴−4(1+2k²)(2k²−2)=8(k²+1)>0,

恒有两个交点。韦达定理给出，进而

所以PQ的中点为。垂直平分线过N、斜率为，令它与x轴的交点为M(m,0)：

求范围：令t=k²>0，则是t的增函数。t→ 0⁺时m→ 0，但k≠0，m=0取不到；t→+∞时，但竖直线被”与x轴不垂直”明文排除，也取不到。而，说明这样的M自动落在线段OF内。反向也通：任取，令即可实现。故

非退化检查：若M落在直线PQ上，由|MP|=|MQ|可知M必为中点N，但N的纵坐标，与M在x轴上矛盾——所以MP、MQ不共线，菱形货真价实。

数值自检：k=1时，，✓——第二问的P、Q顺手验证了第三问。

其一，“恰为正方形顶点”是二级条件，拆开用。四个点先因”四边相等”自动成菱形（本题中这一步对任意c都成立），“正方形”真正增加的约束只有对角线相等2c=2。很多同学第一问卡壳，就是把”正方形”当成一个整体硬凑——拆成”菱形+对角线”，每条都有现成的判定公式，一步到位。

其二，菱形存在性问题，本质是垂直平分线问题。”以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形”⟺|MP|=|MQ|⟺M在PQ的中垂线上。于是”在线段OF上找M“就是”求中垂线与x轴的交点”，公式是

m=x₀+k y₀,

其中(x₀,y₀)是弦的中点、k是弦的斜率。这套”中点+斜率回代”是椭圆弦问题的通用兵器：中点坐标用韦达定理和的一半，垂线斜率取，两步收工，全程不碰根号。

其三，端点的开与闭，各有各的”罪证”。m=0取不到，因为那需要k=0——直线退化成x轴，三点共线拼不出平行四边形；取不到，因为那需要直线竖直——被”与x轴不垂直”明文封杀。存在性问题的满分答卷，两端必须逐一给出排除理由：本题两个端点恰好各对应一种”被排除的极端直线”，这正是命题人把”不垂直”写进题面的用意。