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第7 节 直线与椭圆、双曲线
考点一 直线与椭圆、双曲线的位置关系
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆
C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3<m<3 时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组
不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.
(2)当Δ＝0，即m＝±3 时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组
相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C
有且只有一个公共点.
(3)当Δ<0，即m<－3 或m>3 时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.
这时直线l 与椭圆C 没有公共点.
感悟提升 1.判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax＋
By＋C＝0(A、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到
一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1)当a≠0 时，则Δ＞0 时，直线l 与曲线C 相交；Δ＝0 时，直线l 与曲线C 相
切；Δ＜0 时，直线l 与曲线C 相离.
(2)当a＝0 时，即得到一个一次方程，则l 与C 相交，且只有一个交点，此时，
若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛
物线的对称轴平行或重合.
2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有
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交点.
训练1 (1)若直线y＝kx＋1 与椭圆＋＝1 总有公共点，则m 的取值范围是( )
A.m>1
B.m>0
C.0<m<5 且m≠1
D.m≥1 且m≠5
答案 D
解析 法一 由于直线y＝kx＋1 恒过点(0，1)，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<≤1 且m≠5，
故m≥1 且m≠5.
法二 由
消去y 整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0 对一切k∈R 恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0 对一切k∈R 恒成立，
由于m>0 且m≠5，∴m≥1－5k2恒成立，
∴m≥1 且m≠5.
(2)直线y＝x＋3 与双曲线－＝1 的交点个数是________.
答案 1
解析 双曲线－＝1 的渐近线方程为y＝±x.
因为直线y＝x＋3 与双曲线－＝1 的一条渐近线平行，
在y 轴上的截距为3，所以直线y＝x＋3 与双曲线－＝1 的交点个数是1.
考点二 中点弦及弦长问题
角度1 中点弦问题
例2 已知P(1，1)为椭圆＋＝1 内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，
则此弦所在的直线方程为________________.
答案 x＋2y－3＝0
解析 法一 易知此弦所在直线的斜率存在，
∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B 两点，A(x1，
y1)，B(x2，y2).
由
消去y 得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
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∴x1＋x2＝，
又∵x1＋x2＝2，∴＝2，
解得k＝－.
经检验，k＝－满足题意.
故此弦所在的直线方程为
y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交
于A，B 两点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得＋
＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0，
又x2－x1≠0，∴k＝＝－.
经检验，k＝－满足题意.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
角度2 弦长问题
例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆＋＝1(a>b>0)
的离心率为，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与
CD.当直线AB 的斜率为0 时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB 的方程.
解 (1)由题意知e＝＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0 时，另一条弦所在直线的斜率不存
在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0 时，设直线AB 的方程为y＝k(x－1)，
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A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD 的方程为y＝－(x－1).
将直线AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1
＋x2＝，x1·x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝.
同理，|CD|＝＝.
所以|AB|＋|CD|＝＋
＝＝，解得k＝±1，
所以直线AB 的方程为x－y－1＝0 或x＋y－1＝0.
感悟提升 1.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系
表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关
系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
2.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x1－x2|
＝；
②|AB|＝|y1－y2|(k≠0)
＝.
训练2 (1)以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2 的弦所在直线的方程为
________.
答案 4x－y－7＝0
解析 设A(2，1)是弦P1P2的中点，
且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
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∵P1，P2在双曲线上，∴
∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，
∴k＝＝4.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，
整理得4x－y－7＝0.
联立得14x2－56x＋51＝0，
∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.
∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0.
(2)(2022·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，
直线y＝k(x－1)与椭圆C 交于不同的两点M，N.
①求椭圆C 的方程；
②当△AMN 的面积为时，求k 的值.
解 ①由题意得解得b＝.
所以椭圆C 的方程为＋＝1.
②由消y 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，显然Δ>0.
设点M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝.
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN 的面积为S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
考点三 直线与椭圆、双曲线的综合问题
例4 已知P 点坐标为(0，－2)，点A，B 分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右
顶点，直线BP 交E 于点Q，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ＝QB.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直
径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，
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得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，则由PQ＝QB，
得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E 的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立
消去y 并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，
解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得
因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，
所以OM·ON>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得<k2<4，
则<k<2 或－2<k<－.
则满足条件的斜率k 的取值范围为
∪.
感悟提升 1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，
列出有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运
用设而不求的方法.
2.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方
程为x＝ty＋m 避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝
kx＋b 的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨
论.
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训练3 (2021·新高考八省联考)已知双曲线C：－＝1 的离心率为，点P(4，)在C
上.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设过点(1，0)的直线l 与双曲线C 交于M，N 两点，问在x 轴上是否存在定点
Q，使得QM·QN为常数，若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说
明理由.
解 (1)由题意得，解得a2＝4，b2＝1.
双曲线C 的方程为－y2＝1.
(2)假设存在定点Q.设定点Q(t，0)，
当直线斜率不为0 时，设直线l 的方程为x＝my＋1，
联立得(m2－4)y2＋2my－3＝0.
∴m2－4≠0，且Δ＝4m2＋12(m2－4)＞0，解得m2＞3 且m2≠4.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝＋2＝，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－－＋1＝－＝－4－，
QM·QN＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝
－4－＋t·－＋t2＝－4＋t2＋，
由QM·QN为常数，得8t－23＝0，即t＝，
此时QM·QN＝.
当直线l 斜率为0 时，QM·QN＝.
∴在x 轴上存在定点Q，使得QM·QN为常数.
1.直线y＝kx－k＋1 与椭圆＋＝1 的位置关系为( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
答案 A
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，
故直线与椭圆相交.
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2.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂直于x 轴的直线与
椭圆C 交于A，B 两点，且|AB|＝3，则C 的方程为( )
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 C
解析 设椭圆C 的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x 轴的直线
与椭圆交于A，B 两点，且|AB|＝3，
所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.
3.(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
离心率为.P 是C 上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A.1
B.2
C.4
D.8
答案 A
解析 法一 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P 为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝mn＝
4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝＝，所以a＝1.
法二 由题意得，S△PF1F2＝＝4，
得b2＝4，又＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.
4.已知F1，F2是双曲线E：－＝1 的左，右焦点，点M 在E 上，MF1与x 轴垂直，
sin∠MF2F1＝，则E 的离心率为( )
A.
B.
C.
D.2
答案 A
解析 离心率e＝，
由正弦定理得e＝
＝＝＝.
5.椭圆＋＝1 上的点到直线x＋2y－＝0 的最大距离是( )
A.3
B.
C.2
D.
答案 D
解析 设椭圆＋＝1 上的点P(4cos θ，2sin θ)，
则点P 到直线x＋2y－＝0 的距离为
d＝
＝，
所以dmax＝＝.
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6.(多选)已知双曲线C 过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是( )
A.C 的方程为－y2＝1
B.C 的离心率为
C.曲线y＝ex－2－1 经过C 的一个焦点
D.直线x－y－1＝0 与C 有两个公共点
答案 AC
解析 ∵双曲线C 的渐近线为y＝±x，
∴设双曲线C 的方程为－y2＝λ(λ≠0)，又双曲线C 过点(3，)，得λ＝1，故A 正
确；
此时C 的离心率e＝，故B 错误；
曲线y＝ex－2－1 经过C 的焦点(2，0)，故C 正确；
联立直线和双曲线C 的方程，得Δ＝0，故有一个公共点，所以D 错误.
7.(2021·全国乙卷)双曲线－＝1 的右焦点到直线x＋2y－8＝0 的距离为________.
答案
解析 由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标
为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0 的距离d＝＝.
8.(2022·南昌模拟)过双曲线C：－＝1 的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近
线相交于A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过A，O 两点(O 为坐标原
点)，则双曲线C 的方程为________.
答案 －＝1
解析 由题意知c＝4，不妨取A(a，b)，所以(a－4)2＋b2＝16，又a2＋b2＝16，
∴a＝2，b2＝12，
所以双曲线的方程为－＝1.
9.(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1 的两个焦点，P，Q 为C 上关于
坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.
答案 8
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的
平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.
设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，
则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得
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m(8－m)＝8，
所以四边形PF1QF2的面积为
|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.
10.(2022·天津模拟)已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2，离心率e＝，过
右焦点F 的直线l 交椭圆于P，Q 两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l 的斜率为1 时，求△POQ 的面积；
(3)若以OP，OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.
解 (1)由已知，椭圆方程可设为
＋＝1(a＞b＞0).
∵长轴长为2，离心率e＝，
∴b＝c＝1，a＝.
所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)因为直线l 过椭圆右焦点F(1，0)，且斜率为1，
所以直线l 的方程为y＝x－1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得3y2＋2y－1＝0，
解得y1＝－1，y2＝.
∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|
＝|y1－y2|＝.
(3)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x＝1，此时∠POQ 小于90°，以OP，
OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形.
当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y＝k(x－1).
由可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
∴y1y2＝.
因为以OP，OQ 为邻边的平行四边形是矩形⇔OP·OQ＝0，
由OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝＋＝0，得k2＝2，
∴k＝±.∴所求直线的方程为
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y＝±(x－1).
11.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设O 为坐标原点，T 为直线x＝－3 上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P，
Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.
解 (1)由已知可得，＝，c＝2，
所以a＝.
又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C 的标准方程是＋＝1.
(2)设T 点的坐标为(－3，m)，则直线TF 的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0 时，直线PQ 的斜率kPQ＝，直线PQ 的方程是x＝my－2.
当m＝0 时，直线PQ 的方程是x＝－2，也符合x＝my－2 的形式.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得消去x，得
(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP＝QT，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2).
所以解得m＝±1.
此时，四边形OPTQ 的面积
SOPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝2＝2.
12.(多选)(2022·青岛质检)已知椭圆C：＋＝1 的左、右两个焦点分别为F1，F2，
直线y＝kx(k≠0)与C 交于A，B 两点，AE⊥x 轴，垂足为E，直线BE 与C 的另
一个交点为P，则下列结论正确的是( )
A.四边形AF1BF2为平行四边形
B.∠F1PF2＜90°
C.直线BE 的斜率为k
D.S 四边形AF1BF2∈(0，4]
答案 ABC
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解析 对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|＝|OF2|，|OA|＝|OB|，故四边形
AF1BF2为平行四边形.故A 正确；
对于B，根据椭圆的性质，当P 在上下顶点时，|OP|＝b＝＝c.此时∠F1PF2＝90°.
由题意可知P 不可能在上下顶点，故∠F1PF2＜90°，故B 正确；
对于C，如图，不妨设B 在第一象限，则直线BE 的斜率为＝＝k，故C 正确；
对于D，S 四边形AF1BF2＝2S△BF1F2＝|F1F2|·|BD|＝2|BD|.又0＜|BD|＜，故S 四边形
AF1BF2∈(0，4).故D 错误.
13.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P 在双曲线的
右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.
答案
解析 由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2.
求e 的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
故当∠F1PF2＝π，即－e2＝－1 时，e 取得最大值，此时e2＝，∴e＝.
14.(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点
M 满足|MF1|－|MF2|＝2.记M 的轨迹为C.
(1)求C 的方程；
(2)设点T 在直线x＝上，过T 的两条直线分别交C 于A，B 两点和P，Q 两点，
且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
解 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2，
所以点M 的轨迹C 是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2
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＝c2－a2＝16，
所以点M 的轨迹C 的方程为
x2－＝1(x≥1).
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ 的斜率均存在且不为零，设直线AB 的方程为
y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ 的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由
得(16－k)x2－2k1x－－16＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由题意知16－k≠0，
则xAxB＝，
xA＋xB＝，
所以|TA|＝
＝，
|TB|＝
＝，
则|TA|·|TB|
＝(1＋k)
＝(1＋k)＝
(1＋k)
＝.
同理得|TP|·|TQ|＝.
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以＝，
所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k，
即k＝k，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.
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