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第6 节 双曲线
考试要求 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性
质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数
学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且
a>0，c>0.
(1)若a < c ，则集合P 为双曲线；
(2)若a＝c，则集合P 为两条射线；
(3)若a > c ，则集合P 为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图 形
性
质
范围
x≥a 或x≤－a，y∈R
x ∈
R ，
y ≤
－
a 或
y ≥
a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1( －
a ，
0)
，
A 2( a ，
0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y ＝
± x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段
B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线
的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关系
c2＝a 2 ＋
b 2
1
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1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P 是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋
a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P 为双曲线上的点，F1，F2 为双曲线的两个焦点，且
∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8 的点的轨迹是双曲
线.( )
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6 的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.( )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝
1.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0 时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m＜0，n＜0 时则表示焦点
在y 轴上的双曲线.
2.(易错题)若方程＋＝1 所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )
A.若C 为椭圆，则1＜t＜3
B.若C 为双曲线，则t＞3 或t＜1
C.曲线C 可能是圆
D.若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则1＜t＜2
答案 AD
解析 若t＞3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线；
2
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若t＜1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x 轴上的双曲线；
若2＜t＜3，则0＜3－t＜t－1，故方程＋＝1 表示焦点在y 轴上的椭圆；
若1＜t＜2，则0＜t－1＜3－t，故方程＋＝1 表示焦点在x 轴上的椭圆；
若t＝2，则方程＋＝1，即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.
3.(2021·全国甲卷)已知F1，F2 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C 的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C 的离心率e＝＝
＝＝＝.
4.(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C
的焦距为________.
答案 4
解析 双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，
又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.
设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，
所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
5.(易错题)双曲线－＝1 上一点P 到焦点F1(－5，0)的距离为7，则点P 到焦点
F2(5，0)的距离为________.
答案 13
解析 在双曲线－＝1 中，a＝3，由题意得|PF1|＝7，
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|7－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝13 或|PF2|＝1，
又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.
6.(2020·北京卷)已知双曲线C：－＝1，则C 的右焦点的坐标为__________；C
的焦点到其渐近线的距离是__________.
答案 (3，0)
解析 由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x 轴上，所以双曲线C
的右焦点坐标为(3，0).
3
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双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
即x－y＝0，
所以焦点(3，0)到渐近线的距离为
d＝＝.
考点一 双曲线的定义及应用
例1 (1)(2022·滨州质检)－＝4 表示的曲线方程为( )
A.－＝1(x≤－2)
B.－＝1(x≥2)
C.－＝1(y≤－2)
D.－＝1(y≥2)
答案 C
解析 的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到
点F2(0，－3)的距离，则－＝4 表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，
－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M 的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线
的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则－
＝4 表示的曲线方程为－＝1(y≤－2).
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2＝
60°，则△F1PF2的面积为________.
答案 2
解析 不妨设点P 在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
感悟提升 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|
PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
训练1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M 同时与圆
C1及圆C2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________.
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答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M 与圆C1及圆C2分别外切于A 和
B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M 到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C2的距离大，
与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M 的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
(2)(2022·广州模拟)过双曲线x2－＝1 的左焦点F1作一条直线l 交双曲线左支于
P，Q 两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q 的周长是________.
答案 24
解析 由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.
∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，
∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.
∴△PF2Q 的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.
考点二 双曲线的标准方程
1.与椭圆＋y2＝1 共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________.
答案 －y2＝1
解析 法一 椭圆＋y2＝1 的焦点坐标是(±，0).
设双曲线标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2，1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
法二 设所求双曲线标准方程为＋＝1(1<λ<4)，
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将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2 舍去)，
所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，
0)，则双曲线C 的标准方程为________.
答案 －＝1
解析 由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准
方程为－＝1.
3.经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
因为所求双曲线经过点P(3，2)，
Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线标准方程为－＝1.
4.焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1 有相同渐近线的双曲线的标准
方程是________________.
答案 －＝1
解析 设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，
解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
感悟提升 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x 轴还是y 轴
上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦
点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，
再根据条件求解.
2.与双曲线－＝1 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
考点三 双曲线的简单几何性质
角度1 求双曲线的渐近线
例2 (1)(2022·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，
P 是双曲线C 右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C 的
渐近线方程是( )
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A.x±y＝0
B.2x±y＝0
C.x±2y＝0
D.2x±y＝0
答案 C
解析 ∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，
点P 在双曲线右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
又知|PF1|＋|PF2|＝4a，
∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得
cos 60°＝，
即＝，∴3a2＝10a2－4c2，
即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝，
∴双曲线C 的渐近线方程为y＝±x，
即x±2y＝0.
(2)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F
作A1A2的垂线与双曲线交于B，C 两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的
斜率为( )
A.±
B.±
C.±1
D.±
答案 C
解析 不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F(c，0)，
且垂直于x 轴，所以可求得B，C 两点的坐标分别为，，
又A1，A2 的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，所以A1B＝，
A2C＝，因为A1B⊥A2C，所以A1B·A2C＝0，
即(c＋a) (c－a)－·＝0，
即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，
故＝1，即＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.
角度2 求双曲线的离心率
例3 (1)设F 为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直
径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点.若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( )
A.
B.
C.2
D.
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答案 A
解析 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F 的坐标为
(c，0).则c＝，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|
可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足
为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt△OPM 中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2
得＋＝a2，故＝，即e＝.
(2)(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，
F2，过F1的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点.若F1A＝AB，F1B·F2B＝
0，则C 的离心率为________.
答案 2
解析 因为F1B·F2B＝0，所以F1B⊥F2B，如图.
所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，
所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为F1A＝AB，所以点A 为F1B 的中
点，又点O 为F1F2 的中点，所以OA∥BF2 ，所以
F1B⊥OA，因为直线OA，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝，
tan∠BOF2＝.
因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a
＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
(3)(2022·石家庄模拟)已知点F 是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E 是该
双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点，若△ABE
是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A.(1，＋∞)
B.(1，2)
C.(1，1＋)
D.(2，1＋)
答案 B
解析 由题意易知点F 的坐标为(－c，0)，A，B，E(a，0)，因为△ABE 是锐角三
角形，所以EA·EB＞0，即EA·EB＝·＞0，整理得3e2＋2e＞e4，∴e(e3－3e－3＋1)
＜0，∴e(e＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2)，又e＞1，∴e∈(1，2).
感悟提升 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c 的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含
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有e 的方程(或不等式)求解.
2.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0 即得两渐近线方程±＝0.
训练2 (1)已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，准线为l.若l 与双曲线－＝1(a＞0，b＞
0)的两条渐近线分别交于点A 和点B，且|AB|＝4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离
心率为( )
A.
B.
C.2
D.
答案 D
解析 由题意，可得F(1，0)，直线l 的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y
＝±x.
将x＝－1 代入y＝±x，得y＝±，
所以点A，B 的纵坐标的绝对值均为.
由|AB|＝4|OF|可得＝4，
即b＝2a，b2＝4a2，
故双曲线的离心率e＝＝＝.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为
l，过点F2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M，若|MF1|＝2|MF2|，则双曲线C
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 不妨设渐近线l 的方程为y＝x，则点M 在第四象限，由双曲线的定义知|
MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，所以|MF1|＝4a，|MF2|＝2a.设过点F2且与l
平行的直线的倾斜角为α，则tan α＝，所以cos α＝＝，所以cos∠F1F2M＝.在
△F1F2M 中，由余弦定理cos∠F1F2M＝，得＝，整理得c2＝5a2，即c＝a，所以e
＝＝.
考点四 双曲线几何性质的综合应用
例4 (1)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1 上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，
若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以MF1·MF2＝(－－x0，－y0)·(－x0，
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－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－<y0<.
(2)(2020·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线x＝a 与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的
两条渐近线分别交于D，E 两点.若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为(
)
A.4
B.8
C.16
D.32
答案 B
解析 不妨设D 位于第一象限，双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a 联
立，可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b.
∴S△ODE＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，
∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.
当且仅当a＝b＝2 时，等号成立.
∴c2的最小值为16，∴c 的最小值为4，
∴C 的焦距的最小值为2×4＝8.
感悟提升 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方
程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面
几何知识的联系.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系
来解决.
训练3 (1)(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以
A 为圆心，b 为半径作圆A，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、N 两点，则(
)
A.渐近线方程为y＝±x
B.渐近线方程为y＝±x
C.∠MAN＝60°
D.∠MAN＝120°
答案 BC
解析 由题意可得e＝＝，设c＝2t，a＝t，t＞0，则b＝＝t，
所以圆A 的圆心为(t，0)，半径长为t，
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双曲线的渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x，
圆心A 到渐近线的距离d＝＝t，
所以弦长|MN|＝2＝2＝t＝b，
可得△MNA 是边长为b 的等边三角形，即有∠MAN＝60°.故选BC.
(2)(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－
c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P 使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是
________.
答案 (1，1＋)
解析 在△PF1F2中，由正弦定理知
＝，又＝，
∴＝，
所以P 在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝.
由双曲线几何性质知|PF2|＞c－a，
则＞c－a，即e2－2e－1＜0，
∴1＜e＜1＋.
椭圆、双曲线中的“二级结论”
1.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是
2.(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)焦半径公式|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，F1，F2分别为
左、右焦点.
(2)双曲线－＝1(a，b＞0)的焦半径公式|PF1|＝|a＋ex0|，|PF2|＝|a－ex0|.
3.双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设
为－＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x 的斜率k 与离心率e 的关系：e＝＝.
4.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，
∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
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①当P 为短轴端点时，θ 最大.
②S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大
值，最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c).
(2)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、
右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ 为∠F1PF2.
例 (1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为
( )
A.5
B.
C.
D.
答案 D
解析 法一 由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，可知＝2，即b＝2a.
又c2＝a2＋b2＝a2＋4a2＝5a2，所以e2＝＝5，即e＝.
法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，可知渐近线的斜率k＝±2.
根据结论(3)，得e＝＝＝.
(2)椭圆＋＝1 的焦点为F1，F2，P 为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的
面积是( )
A.
B.
C.16
D.32
答案 A
解析 法一 由椭圆＋＝1 的焦点为F1，F2知|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10.
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
即(2c)2＝m2＋n2－2mncos 60°，即36＝(m＋n)2－3mn＝100－3mn，解得mn＝.
所以S△F1PF2＝·|PF1|·|PF2|·
sin∠F1PF2＝mnsin 60°＝.
法二 依题意知b＝4，
根据结论(1)，得S△F1PF2＝b2tan＝16×tan ＝.
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1.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝( )
A.
B.4
C.2
D.
答案 D
解析 由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，
∴c2＝a2＋1.
∴5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.
2.(2021·北京卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)过点(，)，离心率为2，则双曲线的方程
为( )
A.－y2＝1
B.x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 B
解析 双曲线离心率e＝＝2，故c＝2a，b＝a，将点(，)代入双曲线方程，得－
＝1，故a＝1，b＝，故双曲线方程为x2－＝1.
3.(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1 的一条渐近线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x 轴上，所以双曲线的一条渐近
线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得点(3，0)到双曲线的一
条渐近线的距离为＝.
4.已知F1，F2 为双曲线C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|＝2|
PF2|，则cos ∠F1PF2＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝.
5.(多选)(2021·重庆诊断)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝r 和
C2：(x－2)2＋y2＝r，其中常数r1，r2为正数且满足r1＋r2＜4，一个动圆P 与两圆
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都相切，则动圆圆心的轨迹可以是( )
A.两个椭圆
B.两个双曲线
C.一个双曲线和一条直线
D.一个椭圆和一个双曲线
答案 BC
解析 由题意得，圆C1的圆心为C1(－2，0)，半径为r1，圆C2的圆心为C2(2，
0)，半径为r2，所以|C1C2|＝4，设动圆P 的半径为r.
因为r1＋r2＜4，所以两圆相离，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个外切
一个内切.
①若均内切，则|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r－r2，此时||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，
当r1≠r2时，点P 的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，
当r1＝r2时，点P 在线段C1C2的垂直平分线上.
②若均外切，则|PC1|＝r＋r1，|PC2|＝r＋r2，
此时||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，
则点P 的轨迹与①相同.
③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则
|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r＋r2，|PC2|－|PC1|＝r1＋r2.
同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，
|PC1|－|PC2|＝r1＋r2.
此时点P 的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.
6.(多选)(2022·长沙调研)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1 的上、下焦点，
点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A.双曲线C 的渐近线方程为y＝±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C.点P 的横坐标为±1
D.△PF1F2的面积为
答案 ACD
解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1 的渐近线方程为y＝±x，故A 正确；
由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，
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所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B 错误；
点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2 上，
不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x 上，
所以由解得|x0|＝1，
则点P 的横坐标为±1，故C 正确；
由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D 正确.
7.已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离
心率之积为，则C2的渐近线方程为________.
答案 x±y＝0
解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a
＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
8.如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为
圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，
则双曲线的离心率为________.
答案 ＋1
解析 设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，
∵△F2AB 是等边三角形，且F1F2是⊙O 的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，2a＝c－c，
∴e＝＝＝＋1.
9.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A 为圆心，b 为半径作圆
A，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M，N 两点.若∠MAN＝60°，则C 的离心
率为________.
答案
解析 如图，点M，N 所在的渐近线为ay－bx＝0，
圆A 的圆心A(a，0)到渐近线的距离d＝，又M，N
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均为圆A 上的点，∴|AM|＝|AN|＝b，又∠MAN＝60°，∴△MAN 为等边三角形，在
△MAN 内，A 到边MN 的距离为d＝|AM|·sin 60°＝b，∴有＝b，解得a2＝3b2，
∴3c2＝4a2，∴e＝＝＝.
10.(2021·东北三省三校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，
离心率为，且过点P(4，－).
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0.
(1)解 ∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即－＝1.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴MF1·MF2＝0.
法二 由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
MF1＝(－2－3，－m)，MF2＝(2－3，－m)，
∴MF1·MF2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴MF1·MF2＝0.
11.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x 且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A
作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率.
解 (1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
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所以双曲线方程为－＝1.
(2)设点A 的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO 的斜率满足·(－)＝－1，
所以x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，
即y0＝c，所以x0＝c，
所以点A 的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
所以3－8＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e>1，所以e＝，
所以双曲线的离心率为.
12.(多选)(2022·福州调研)设F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦
点，过左焦点F1且斜率为的直线l 与C 在第一象限相交于一点P，则下列说法正
确的是( )
A.直线l 倾斜角的余弦值为
B.若|F1P|＝|F1F2|，则C 的离心率e＝
C.若|PF2|＝|F1F2|，则C 的离心率e＝2
D.△PF1F2不可能是等边三角形
答案 AD
解析 设直线倾斜角为α，则tan α＝，
所以cos α＝，A 正确；
P 在第一象限内，若|F1P|＝|F1F2|，则|F1P|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c－2a，
由余弦定理得＝，整理得3e2－8e＋4＝0，
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解得e＝2 或e＝(舍去)，B 错误；
若|PF2|＝|F1F2|，则|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c＋2a，
由余弦定理得cos∠PF1F2＝
＝，整理得3e2－e－4＝0，
解得e＝或e＝－1(舍去)，C 错误；
由|PF1|＞|PF2|，知△PF1F2不可能是等边三角形，D 正确.
13.(2021·长沙模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，经过点
F2且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且≤∠F1AF2≤，则
该双曲线离心率的取值范围为________.
答案 [，]
解析 不妨设A 在第一象限，将x＝c 代入y＝x 得A，
所以tan∠F1AF2＝
＝∈，
即≤≤1，即≤≤1⇒1≤≤3⇒1≤≤3⇒1≤e2－≤3⇒5≤e2≤13⇒≤e≤.
14.(2022·青岛诊断)已知曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝
x，右焦点F 到直线x＝的距离为.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)斜率为1 且在y 轴上的截距大于0 的直线l 与双曲线C 相交于B、D 两点，已
知A(1，0)，若DF·BF＝1，证明：过A、B、D 三点的圆与x 轴相切.
(1)解 依题意有＝，c－＝，
∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，
∴b2＝3，
∴双曲线C 的方程为x2－＝1.
(2)证明 设直线l 的方程为
y＝x＋m(m＞0)，
B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD 的中点为M，
由得2x2－2mx－m2－3＝0，
∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，
又DF·BF＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，
∴m＝0(舍)或m＝2，
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∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M 点的横坐标为＝1，
∵DA·BA＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，
∴AD⊥AB，∴过A、B、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径，
∵点M 的横坐标为1，∴MA⊥x 轴.
∴过A、B、D 三点的圆与x 轴相切.
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