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第8 节 抛物线
考试要求 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何
性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做
抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d 为点M 到准线l 的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称
轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心
率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物
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线的焦半径.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(
)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准
线方程是x＝－.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，
而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，
准线方程是y＝－.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行于抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
2.(易错题)抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A.(0，－1)
B.(0，1)
C.(1，0)
D.(－1，0)
答案 A
解析 抛物线y＝－x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，p＝2，＝1，故焦点
为(0，－1).
3.(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(
)
A.y2＝x
B.x2＝y
C.y2＝－x
D.x2＝－y
答案 BC
解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx 或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝
－，m＝，所以y2＝－x 或x2＝y.
4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x 的焦点，且与C 交于
A，B 两点，则|AB|＝________.
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答案
解析 由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，
设直线AB 的方程为
y＝(x－1).
由得3x2－10x＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝.
5.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P
为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C 的
准线方程为________.
答案 x＝－
解析 法一 由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝
tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C 的准线方程为x＝－.
法二 由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝·6，解得p＝3 或p
＝0(舍去)，
所以C 的准线方程为x＝－.
6.(2022·龙岩一模)已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，准线与x 轴的交点为A，以
AF 为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则FA·FB的值等于________.
答案 6－2
解析 设B(x0，y0).由方程组
消去y 并整理，
得x2＋4x－1＝0(x≥0)，解得x0＝－2.
由题意，得F(1，0)，A(－1，0)，
∴FA＝(－2，0)，FB＝(x0－1，y0).
∴FA·FB＝(－2，0)·(x0－1，y0)＝－2(x0－1)＝2－2x0＝2－2(－2)＝6－2.
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.设抛物线y2＝2px 的焦点在直线2x＋3y－8＝0 上，则该抛物线的准线方程为(
)
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A.x＝－4
B.x＝－3
C.x＝－2
D.x＝－1
答案 A
解析 直线2x＋3y－8＝0 与x 轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px 的焦点为
(4，0)，∴准线方程为x＝－4.
2.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为
________.
答案 y2＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1 的
距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
3.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A、B，交其准线
l 于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为
________.
答案 y2＝3x
解析 如图，分别过A、B 作AA1⊥l 于A1，BB1⊥l 于B1，
由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|
BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接
A1F，则△AA1F 为等边三角形，过F 作FF1⊥AA1于F1，则
F1为AA1的中点，设l 交x 轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|
AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.
4.(2022·广州模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)
在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y0＝________，p＝
________.
答案 2 4
解析 作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，
∴在Rt△PKM 中，sin∠PKM＝＝＝，
∴∠PKM＝45°，∴△PMK 为等腰直角三角形，
∴|PM|＝|MK|＝4，
又知点P 在抛物线x2＝2py(p＞0)上，
∴解得
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感悟提升 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位
置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数
p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
考点二 抛物线的几何性质及应用
角度1 焦半径和焦点弦
例1 (1)已知点F 为抛物线C：y2＝4x 的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于A，
B 两点，且AF＝tFB(t＞1)，|AB|＝，则t＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 B
解析 ∵焦点F(1，0)，设直线l 为x＝λy＋1(λ≠0)，代入抛物线方程得y2－4λy
－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1y2＝－4，①
由AF＝tFB，即(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，有y1＝－ty2，②
∴由①②得y2＝，y1＝－2 或y2＝－，y1＝2，即x1＝t，x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋t＋2＝，化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3 或t＝(舍).
(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F 的抛
物线x2＝2py(p＞0)交于A，B 两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线
方程为________.
答案 y＝±x
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义：
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
所以|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，
可得：y1＋y2＝p，
联立方程：⇒－＝1⇒－＋1＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－＝·b2＝p，
∴p＝p⇒＝⇒＝.
∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
角度2 与抛物线有关的最值问题
例2 (1)若在抛物线y2＝－4x 上存在一点P，使其到焦点F 的距离与到A(－2，1)
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的距离之和最小，则该点的坐标为________.
答案
解析 如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依
题意可知当A，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与
点F、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.
将y＝1 代入抛物线方程求得x＝－，则点P 的坐标为.
(2)设P 是抛物线y2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到
直线x＝－1 的距离之和的最小值为________.
答案
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－
1，由抛物线的定义知点P 到直线x＝－1 的距离等于点P 到
F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P 到
点A(－1，1)的距离与点P 到F(1，0)的距离之和最小，显然，
连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.
(3)已知抛物线x2＝4y 上有一条长为6 的动弦AB，则AB 的中点到x 轴的最短距
离为________.
答案 2
解析 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A 作AA1⊥l 交l 于点A1，过点
B 作BB1⊥l 交l 于点B1，设弦AB 的中点为M，过点M 作MM1⊥l 交l 于点M1，
则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F 为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|
＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M 到x 轴的距离d≥2，故最短距离为
2.
感悟提升 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出
“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直
线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
训练1 (1)若抛物线y2＝4x 的准线为l，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的
距离与P 到直线3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值是( )
A.2
B.
C.
D.3
答案 A
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解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛
物线y2＝4x 及直线方程3x＋4y＋7＝0 可得直线与抛物线相离.
∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值为点
F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0 的距离，即＝2.
(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F 的直线与抛物线交于A，B 两点，过A，B 分别
作y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
答案 2
解析 由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取
得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝
2p＝4 时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
考点三 直线与抛物线的综合问题
例3 已知抛物线C：y2＝3x 的焦点为F，斜率为的直线l 与C 的交点为A，B，
与x 轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l 的方程；
(2)若AP＝3PB，求|AB|.
解 设直线l 的方程为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－(满足Δ>0).
所以l 的方程为y＝x－.
(2)由AP＝3PB可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，
其中Δ＝4－8t>0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C 的方程得x1＝3，x2＝.
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
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感悟提升 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.
若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一
般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采
用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
训练2 (2022·湖州模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点A，
B，抛物线上的点P(x，y).过点B 作直线AP 的垂线，垂足
为Q.
(1)求直线AP 斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解 (1)设直线AP 的斜率为k，
k＝＝x－，因为－＜x＜，
所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1).
(2)联立直线AP 与BQ 的方程
解得点Q 的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)
＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
抛物线的几个“二级结论”的应用
抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解
题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：
设AB 是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝.
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(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α 是直线AB 的倾斜角).
(4)＋＝为定值(F 是抛物线的焦点).
例1 过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A，B 两点，若|AF|＝2|
BF|，则|AB|等于( )
A.4
B.
C.5
D.6
答案 B
解析 [通法]易知直线l 的斜率存在，设为k，则其方程为
y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|
＝xA＋xB＋p＝.
[优解]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图，
设A，B 在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD 于E，
设|BF|＝m，直线l 的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，
故利用弦长公式|AB|＝＝.
法二 因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
例2 设F 为抛物线C：y2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A，B
两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
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解析 [通法]由已知得焦点坐标为F，因此直线AB 的方程为y＝，即4x－4y－3
＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
[优解]由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB 的距离
d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
1.抛物线x2＝y 的焦点到准线的距离是( )
A.2
B.1
C.
D.
答案 D
解析 抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距
离，又p＝.故选D.
2.若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1 的一个焦点，则p 等于( )
A.2
B.3
C.4
D.8
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为(±，0)，
所以＝，解得p＝8.
3.(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x＝2 与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于
D，E 两点，若OD⊥OE，则C 的焦点坐标为( )
A.
B.
C.(1，0)
D.(2，0)
答案 B
解析 将x＝2 与抛物线方程y2＝2px 联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，
E(2，－2)，由OD⊥OE，可得OD·OE＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C 的
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方程为y2＝2x.其焦点坐标为.
4.(多选)(2021·烟台调研)已知F 是抛物线C：y2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，
FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，则( )
A.C 的准线方程为x＝－4
B.F 点的坐标为(0，4)
C.|FN|＝12
D.三角形ONF 的面积为16(O 为坐标原点)
答案 ACD
解析 不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F′，作
MB⊥l 于点B，NA⊥l 于点A.
由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F 点的坐标为(4，0)，A 正确，B 错
误.故|AN|＝4，|FF′|＝8，在直角梯形ANFF′中，中位线|BM|＝＝6，
由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，
故|FN|＝|FM|＋|NM|＝6＋6＝12，C 正确，而|ON|＝＝8，
SONF＝×8×4＝16，D 正确.
5.设F 为抛物线y2＝2x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重
心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，
则|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
6.(多选)(2022·武汉模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A 为
C 上一点，以F 为圆心，|FA|为半径的圆交l 于B，D 两点.若△ABF 的面积为
9，则( )
A.|BF|＝3
B.△ABF 是等边三角形
C.点F 到准线的距离为3
D.抛物线C 的方程为y2＝6x
答案 BCD
解析 因为|FA|为半径的圆交l 于B，D 两点，所以|FA|＝|FB|；又|BF|＝|FD|＝|
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FA|，所以∠ABD＝90°，|FA|＝|AB|，可得△ABF 为等边三角形，B 正确；
过F 作FC⊥AB 交于C，则C 为AB 的中点，C 的横坐标为，B 的横坐标为－，
所以A 的横坐标为，代入抛物线可得y＝3p2，|yA|＝p，
△ABF 的面积为9，即(xA－xB)|yA|＝··p＝9，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2
＝6x，D 正确；
焦点坐标为，所以焦点到准线的距离为×2＝3，C 正确；
此时点A 的横坐标为，所以|BF|＝|AF|＝|AB|＝＋＝6，A 不正确.
7.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 米，水面宽4 米.水位下降
1 米后，水面宽________米.
答案 2
解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝
－2py(p＞0).
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝
－2y.
设B(x，－3)，代入x2＝－2y 中，得x＝，故水面宽为2 米.
8.已知直线l 是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3 的圆过抛物线顶点O 和焦
点F 与l 相切，则抛物线的方程为________.
答案 y2＝8x
解析 ∵半径为3 的圆与抛物线的准线l 相切，
∴圆心到准线的距离等于3，
又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
9.直线l 过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，且与C 交于A，B 两点，则
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p＝________，＋＝________.
答案 2 1
解析 由题意知＝1，从而p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
当直线AB 的斜率不存在时，将x＝1 代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，
从而＋＝1.
当直线AB 的斜率存在时，
设AB 的方程为y＝k(x－1)，
联立
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
从而＋＝＋＝＝＝1.
综上，＋＝1.
10.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ 的值.
解 (1)抛物线的焦点坐标为，则直线AB 的方程是y＝2，
与y2＝2px 联立，化简得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.又|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0 得x2－5x＋4＝0.
又x1＜x2，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4).
设OC＝(x3，y3)，所以(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1).
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0 或λ＝2.
11.(2022·北京昌平区模拟)已知抛物线C：y2＝2px 过点P(1，1)，过点作直线l 与
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抛物线C 交于不同的两点M，N，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP，ON 交
于点A，B，其中O 为原点.
(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A 为线段BM 的中点.
(1)解 把P(1，1)代入y2＝2px 得p＝，
∴抛物线C 的方程为y2＝x，
焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明 ∵BM⊥x 轴，
∴设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，
根据题意显然有x1≠0.
若要证A 为BM 的中点，
只需证2yA＝yB＋y1即可，
左右同除以x1有＝＋，
即只需证明2kOA＝kOB＋kOM成立，其中kOA＝kOP＝1，kOB＝kON.
当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，
所以直线MN 斜率存在且不为零.
设直线MN：y＝kx＋(k≠0)，
联立消y 得，k2x2＋(k－1)x＋＝0，
考虑Δ＝(k－1)2－4××k2＝1－2k，
由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k<.
由根与系数关系可知：x1＋x2＝，①
x1x2＝.②
kOB＋kOM＝kON＋kOM＝＋＝＋＝2k＋.
将①②代入上式，有2k＋＝2k＋＝2k＋2(1－k)＝2，
即kON＋kOM＝kOB＋kOM＝2＝2kOA，
∴2yA＝yB＋y1恒成立，
∴A 为BM 的中点，得证.
12.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M 在C 上，|MF|＝5，若以MF 为
直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )
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A.y2＝4x 或y2＝8x
B.y2＝2x 或y2＝8x
C.y2＝4x 或y2＝16x
D.y2＝2x 或y2＝16x
答案 C
解析 ∵以MF 为直径的圆过点(0，2)，
∴点M 在第一象限.
由|MF|＝xM＋＝5，
可得M.
从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为.
∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径，
∴圆与y 轴切于点(0，2)，
从而2＝，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2 或p＝8，
∴抛物线C 的方程为y2＝4x 或y2＝16x.
13.(多选)(2022·青岛质检)设F 是抛物线C：y2＝4x 的焦点，直线l 过点F，且与
抛物线C 交于A，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.|AB|≥4
B.|OA|＋|OB|＞8
C.若点P(2，2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3
D.△OAB 面积的最小值是2
答案 ACD
解析 由题意知F(1，0)，不妨设A 在第一象限，
(1)若直线l 斜率不存在，
则A(1，2)，B(1，－2)，
则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝2，S△OAB＝×4×1＝2，显然B 错误；
(2)若直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k，
则直线l 的方程为y＝k(x－1)，显然k≠0，
联立方程组
消元得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝2＋，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋＞4，
原点O 到直线l 的距离d＝，
∴S△OAB＝×|AB|×d
＝××
＝2＞2，
综上，|AB|≥4，S△OAB≥2，故A 正确，D 正确.
过点A 向准线作垂线，垂足为N，
则|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|.
又P(2，2)在抛物线右侧，故当P，A，N 三点共线时，|PA|＋|AF|取得最小值3，
故C 正确.故选ACD.
14.已知曲线C：y＝，D 为直线y＝－上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分
别为A，B.
(1)证明：直线AB 过定点；
(2)若以E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形
ADBE 的面积.
(1)证明 设D，A(x1，y1)，
则x＝2y1.
因为y′＝x，所以切线DA 的斜率为x1，故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB 的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB 过定点.
(2)解 由(1)得直线AB 的方程为
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y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝|x1－x2|
＝×＝2(t2＋1).
设d1，d2分别为点D，E 到直线AB 的距离，
则d1＝，d2＝.
因此，四边形ADBE 的面积
S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).
设M 为线段AB 的中点，则M.
因为EM⊥AB，而EM＝(t，t2－2)，AB与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0 或t＝±1.
当t＝0 时，S＝3；当t＝±1 时，S＝4.
因此，四边形ADBE 的面积为3 或4.
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