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第二十二章二次函数单元测试
一、单选题（共10 题；共30 分）
1、西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3 米，此时距喷水管的水平
距离为
米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）
A、y＝－(x－
)
2＋3 B、y＝－3(x＋
)
2＋3
C、y＝－12(x－
)
2＋3 D、y＝－12(x＋
)
2＋3
2、抛物线y=x2向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位，得到新的图象的二次函数表达式是
（ ）
A、
B、
C、
D、
3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过平移得到抛物线
，其对称轴
与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A、2 B、4 C、8 D、16
4、抛物线
向右平移3 个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为（ ）
A、
B、
C、
D、
5、下列关系式中，属于二次函数的是（x 是自变量）（ ）
A、y=
B、y=
C、y=
D、y=ax2+bx+c
6、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A、y=3x﹣1 B、y=ax2+bx+c C、s=2t2﹣2t+1 D、y=x2+
7、抛物线y=﹣2x
2+4 的顶点坐标为（ ）
A、（4，0） B、（0，4） C、（4，2） D、（4，﹣2）
8、已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为
xm，圆柱的侧面积为ym
2 ， 则y 与x 的函数关系式为（ ）
A、y=﹣2πx
2+18πx B、y=2πx
2﹣18πx
C、y=﹣2πx
2+36πx D、y=2πx
2﹣36πx
9、已知将二次函数y=x
2+bx+c 的图象向右平移2 个单位再向下平移3 个单位，所得图象的解
析式为y=x
2﹣4x﹣5，则b，c 的值为（ ）
A、b=0，c=6 B、b=0，c=﹣5 C、b=0，c=﹣6 D、b=0．c=5
10、（2011•梧州）2011 年5 月22 日﹣29 日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体
锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣
x
2+bx+c 的一部分（如
图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m，球落地点A 到O 点的距离是4m，那么这条抛物线
的解析式是（ ）
A、y=﹣
x
2+
x+1 B、y=﹣
x
2+
x﹣1
C、y=﹣
x
2﹣
x+1 D、y=﹣
x
2﹣
x﹣1
二、填空题（共8 题；共30 分）
11、在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x
2和直线y=﹣
x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x
2+x﹣3=0 的解，也可以在平面直角坐标系
中画出抛物线y=x
2﹣3 和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程
的近似解也可以利用熟悉的函数________和________的图象交点的横坐标来
求得．
12、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O 到水面的距离CO
为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是________
13、如图，在一幅长50cm，宽30cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，
设整个挂画总面积为ycm2 ， 金色纸边的宽为xcm，则y 与x 的关系式是________ ．
14、函数y=2（x﹣1）
2图象的顶点坐标为________．
15、二次函数y=﹣2（x﹣1）
2+3 的图象的顶点坐标是________，对称轴为________．
16、如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x
2②y=
x
2③y=x
2的图象，则图象从里到外的
三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________
17、一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面的函数关系式；h=﹣
5t
2+10t+1，则小球距离地面的最大高度是________．
18、二次函数y=x
2+6x+5 图像的顶点坐标为________
三、解答题（共5 题；共30 分）
19、 在同一坐标系内，画出函数y=2x2和y=2（x-1）
2+1 的图象，并说出它们的相同点和不同
点．
20、已知抛物线y=x ²-4x+3．
（1）该抛物线的对称轴是 ， 顶点坐标 ；
（2）将该抛物线向上平移2 个单位长度，再向左平移3 个单位长度得到新的二次函数图像，
请写出相应的解析式，并用列表，描点，连线的方法画出新二次函数的图像；
（3）新图像上两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），它们的横坐标满足x1＜-2，且-1＜x2＜0，试比较
y1 ， y2 ， 0 三者的大小关系．
21、已知抛物线l1的最高点为P（3，4），且经过点A（0，1），求l1的解析式．
22、甲、乙两个仓库向A、B 两地运送水泥，已知甲库可调出100 吨水泥，乙库可调出80 吨水
泥，A 地需70 吨，B 地需110 吨水泥，两库到A，B 两地的路程和费用如下表：（表中运费
“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1 千米所需要人民币）. 设甲库运往A 地水泥x 吨，总
运费W 元.
(1)写出w 关于x 的函数关系式，并求x 为何值时总运费最小？
(2)如果要求运送的水泥数是10 吨的整数倍，且运费不能超过38000 元，则总共有几种运送
方案？
23、已知二次函数y=﹣（x+1）
2+4 的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y=﹣（x
﹣2）
2+7 的图象．
四、综合题（共1 题；共10 分）
24、成都地铁规划到2020 年将通车13 条线路，近几年正是成都地铁加紧建设和密集开通的
几年，市场对建材的需求量有所提高，根据市场调查分析可预测：投资水泥生产销售后所获
得的利润y1（万元）与投资资金量x（万元）满足正比例关系y1=20x；投资钢材生产销售的后所
获得的利润y2（万元）与投资资金量x（万元）满足函数关系的图象如图所示（其中OA 是抛物
线的一部分，A 为抛物线的顶点，AB∥x 轴）．
(1)直接写出当0＜x＜30 及x＞30 时，y2与x 之间的函数关系式；
(2)某建材经销公司计划投资100 万元用于生产销售水泥和钢材两种材料，若设投资钢材部
分的资金量为t（万元），生长销售完这两种材料后获得的总利润为W（万元）．
①求W 与t 之间的函数关系式；
②若要求投资钢材部分的资金量不得少于45 万元，那么当投资钢材部分的资金量为多少万
元时，获得的总利润最大？最大总利润是多少？
答案解析
一、单选题
1、【答案】 C
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为3 米，此时喷水水平距离为
米，由此得到顶点坐标为（
，3)，所以设抛物线的解析式为y=a（x-
)
2+3，而抛物线还经
过（0，0)，由此即可确定抛物线的解析式．【解答】∵一支高度为1 米的喷水管喷水的最大高
度为3 米，此时喷水水平距离为
米，
∴顶点坐标为（
，3)，
设抛物线的解析式为y=a（x-
)
2+3，
而抛物线还经过（0，0)，
∴0=a（
)
2+3，
∴a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12（x-
)
2+3．
故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，
然后根据题目隐含的条件得到待定系数所需要的点的坐标解决问题
2、【答案】C
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0)，平移后抛物线顶点坐标为（-1，-2)，根据顶点式可
确定抛物线解析式．【解答】由题意，得平移后抛物线顶点坐标为（-1，-2)，又平移不改变二次
项系数，∴得到的二次函数解析式为y=（x+1)2-2．故选C．
【点评】此类试题属于按难度一般的试题，只需考生掌握好评议的基本规律即可：左加右减等
基本性质
3、【答案】 B
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】过点C 作CA⊥y 轴于点A，根据抛物线的对称性可知：OBD 的面积等于CAO 的
面积，从而阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积。
【解答】∵
，
∴顶点坐标为C（2，－2）。
∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4。
故选B。
4、【答案】 A
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】
【分析】由二次函数的图象性质可知：
的图象向右平移
个单位长度将
的值加上
即可得到新的二次函数解析式，所以平移后的二次函数解析式为：
.故选A.
5、【答案】A
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、是二次函数，故A 正确；
B、不是二次函数的形式，故B 错误；
C、是分式，故C 错误；
D、a=0 是一次函数，故D 错误；
故选：A．
【分析】根据函数y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
6、【答案】C
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=3x﹣1 是一次函数，故A 错误；
B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B 错误；
C、s=2t2﹣2t+1 是二次函数，故C 正确；
D、y=x2+
不是二次函数，故D 错误；
故选：C．
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
7、【答案】 B
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=﹣2x
2+4 的顶点坐标为（0，4）．
故选B．
【分析】形如y=ax
2+k 的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．
8、【答案】 C
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意，矩形的一条边长为xcm，则另一边长为：（36﹣2x）÷2=18﹣x
（cm），
则圆柱体的侧面积y=2πx（18﹣x）=﹣2πx
2+36πx，
故选：C．
【分析】先根据矩形周长求出矩形另一边长，根据圆柱体侧面积=底面周长×高，列出函数关
系式即可．
9、【答案】 C
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵y=x
2﹣4x﹣5=x
2﹣4x+4﹣9=（x﹣2）
2﹣9，∴顶点坐标为（2，﹣9），
∴向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位，得（0，﹣6），
则原抛物线y=ax
2+bx+c 的顶点坐标为（0，﹣6），
∵平移不改变a 的值，
∴a=1，
∴原抛物线y=ax
2+bx+c=x
2﹣6，
∴b=0，c=﹣6．
故选C．
【分析】首先抛物线平移时不改变a 的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利
用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．
10、【答案】 A
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵出球点B 离地面O 点的距离是1m，球落地点A 到O 点的距离是4m， ∴B
点的坐标为：（0，1），A 点坐标为（4，0），
将两点代入解析式得：
，
解得：
，
∴这条抛物线的解析式是：y=﹣
x
2+
x+1．
故选：A．
【分析】根据已知得出B 点的坐标为：（0，1），A 点坐标为（4，0），代入解析式即可求出b，c 的
值，即可得出答案．
二、填空题
11、【答案】 y=
；y=x
2﹣3
【考点】图象法求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x
2和直线y=﹣x+3，利用
两图象交点的横坐标来求一元二次方程x
2+x﹣3=0 的解，
也可在平面直角坐标系中画出抛物线y=x
2﹣3 和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方
程的解．
∴求方程
的近似解也可以利用熟悉的函数：y=
和y=x
2﹣3 的图象交点的横坐
标来求得．
故答案为：y=
，y=x
2﹣3．
【分析】根据在平面直角坐标系中画出抛物线y=x
2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标
来求一元二次方程x
2+x﹣3=0 的解，进而得出方程
的近似解也可以利用熟悉的
函数的交点得出．
12、【答案】
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：设为y=kx2 ，
由CO 和AB 的长，那么A 的坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），
将其代入函数中得：﹣2.4=0.8×0.8×k，
解得k=﹣
．
那么函数的解析式就是：y=﹣
x2 ．
【分析】根据这个函数过原点，那么可设为y=kx2 ， 有CO 和AB 的长，那么A 的坐标应该是
（﹣0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可解决．
13、【答案】y=4x2+160x+1500
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
y=（50+2x）（30+2x）
=4x2+160x+1500．
故答案为：y=4x2+160x+1500．
【分析】由于整个挂画为长方形，用x 分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积
公式即可确定函数关系式．
14、【答案】 （1，0）
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2（x﹣1）
2 ，
∴抛物线y=2（x﹣1）
2的顶点坐标为：（1，0），
故答案为：（1，0）．
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
15、【答案】 （1，3）；x=1
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：
∵y=﹣2（x﹣1）
2+3，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），对称轴为x=1，
故答案为：（1，3）；x=1．
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．
16、【答案】 ①③②
【考点】二次函数的图象
【解析】【解答】解：①y=3x
2 ，
②y=
x
2 ，
③y=x
2中，二次项系数a 分别为3、
、1，
∵3＞1＞
，
∴抛物线②y=
x
2的开口最宽，抛物线①y=3x
2的开口最窄．
故依次填：①③②．
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
17、【答案】 6
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：h=﹣5t
2+10t+1 =﹣5（t
2﹣2t）+1
=﹣5（t
2﹣2t+1）+1+5
=﹣5（t﹣1）
2+6，
﹣5＜0，
则抛物线的开口向下，有最大值，
当t=1 时，h 有最大值是6．
故答案为：6．
【分析】把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出答案．
18、【答案】 （﹣3，﹣4）
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=x
2+6x+5=（x+3）
2﹣4， ∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣4）．
【分析】已知二次函数y=x
2﹣2x﹣3 为一般式，运用配方法转化为顶点式，可求顶点坐标．
三、解答题
19、【答案】解：如图，
相同点：开口方向和开口大小相同；
不同点：函数y=2（x-1）
2+1 的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1 个单位长度，
再向右平移1 个单位长度所得到的，位置不同．
【考点】二次函数的图象
【解析】【分析】先画图象，函数y=2（x-1）
2+1 的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1 个单位
长度，再向右平移1 个单位长度所得到的．开口方向和开口大小相同，位置不同．
20、【答案】 解：（1）∵y=x
2-4x+3=（x-2）
2-1，
∴该抛物线的对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，-1）；
（2）∵向上平移2 个单位长度，再向左平移3 个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-1，1），
∴平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）
2+1，
即y=x
2+2x+2，
（3）由图可知，x1＜-2 时，y1＞2，
-1＜x2＜0 时，1＜y2＜2，
∴y1＞y2＞0．
【考点】二次函数的性质
【解析】【分析】（1）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可；
（2）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的顶点坐标，然后利用顶点式形
式写出函数解析式即可，再根据要求作出函数图象；
（3）根据函数图象，利用数形结合的思想求解即可．
21、【答案】 解：∵抛物线l1的最高点为P（3，4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）
2+4，
把点（0，1）代入得，
1=a（0﹣3）
2+4，
解得，a=﹣
，
∴抛物线的解析式为y=﹣
（x﹣3）
2+4
【考点】二次函数的最值
【解析】【分析】物线的顶点式解析式y=a（x﹣h）
2+k，代入顶点坐标另一点求出a 的值即可．
22、【答案】 （1）解：设甲库运往A 地粮食x 吨，则甲库运到B 地（100-x）吨，乙库运往A 地
（70-x）吨，乙库运到B 地 [80-（70-x）]=（10+x）吨．
根据题意得：w=12×20x+10×25（100-x）+12×15（70-x）+8×20（10+x）
=-30x+39200(0≤x≤70)．
∴总运费w（元）关于x（吨）的函数关系式为w=-30x+39200(0≤x≤70)．
∵一次函数中w=-30x+39200 中，k=-30＜0
∴w 的值随x 的增大而减小
∴当x=70 吨时，总运费w 最省，
最省的总运费为：-30×70+39200=37100（元）
答：从甲库运往A 地70 吨粮食，往B 地运送30 吨粮食，从乙库运往B 地80 吨粮食时，总运费
最省为37100 元．
（2）解： 因为运费不能超过38000 元，
所以w=-30x+39200≤38000，
所以x≥40.
又因为40≤x≤70，
所以满足题意的x 值为40,50,60,70，
所以总共有4 种方案.
【考点】二次函数的性质，二次函数的应用
【解析】
【分析】
（1）设甲库运往A 地粮食x 吨，则甲库剩下（100-x）要送到B 地，所以A 地还需
要（70-x）吨要从乙库运过来，所以从乙库运送[80-（70-x）]=（10+x）吨到B 地，根据数量关
系：总运费=某库到某地的路程×运的吨数×每吨每千米的运费；（2）由题可得
w=-30x+39200≤38000，解出x 的取值范围，再取其中x 为10 的整数倍的数.
23、【答案】 解：答案如右图
【考点】二次函数的图象
【解析】【分析】根据图象平移的规律，可得答案．
四、综合题
24、【答案】 （1）解：当0＜x≤30 时，根据题意设y2=a（x﹣30）
2+900，
将原点（0，0）代入，得：900a+900=0，解得：a=﹣1，
∴y2=﹣（x﹣30）
2+900=﹣x
2+60x，
当x＞30 时，y2=900
（2）解：①设投资钢材部分的资金量为t 万元，则投资生产水泥的资金量为（100﹣t）万元，
当0＜t≤30 时，W=y1+y2=20（100﹣t）+（﹣t
2+60t）=﹣t
2+40t+2000，
当t＞30 时，W=20（100﹣t）+900=﹣20t+2900；
②∵t≥45，
∴W=﹣20t+2900，W 随t 的增大而减小，
∴当t=45 时，W 最大值=2000 万元
答：当投资钢材部分的资金量为45 万元时，获得的总利润最大，最大总利润是2000 万元．
【考点】二次函数的应用
【解析】
【分析】
（1）当0＜x≤30 时，根据顶点A 的坐标设其顶点式，将原点代入可得其解析式，
当x＞30 时，可得y2=900；（2）①设投资钢材部分的资金量为t 万元，则投资生产水泥的资金
量为（100﹣t）万元，分0＜t≤30、t＞30 两种情况，根据W=y1+y2可得函数关系式；
②由t≥45 可知W=﹣20t+2900，根据一次函数性质可得最值情况．
