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第十六章 二次根式
测试1 二次根式
学习要求
掌握二次根式的概念和意义，会根据算术平方根的意义进行二次根式的运算．
课堂学习检验
一、填空题
1．
a
1
表示二次根式的条件是______．
2．当x______时，
1
2
x
有意义，当x______时，
3
1
x
有意义．
3．若无意义
2
x
，则x 的取值范围是______．
4．直接写出下列各式的结果：
(1)
49 ＝_______；
(2)
2)
7
(
_______；(3)
2)
7
(
_______；
(4)
2)
7
(
_______；(5)
2)
7.0
(
_______；(6)
2
2 ]
)
7
(
[
_______．
二、选择题
5．下列计算正确的有( )．
①
2
)
2
(
2
②
2
2
③
2
)
2
(
2
④
2
)
2
(
2
A．①、②
B．③、④
C．①、③
D．②、④
6．下列各式中一定是二次根式的是( )．
A．
2
3
B．
2)3.0
(
C．
2
D．
x
7．当x=2 时，下列各式中，没有意义的是( )．
A．
2
x
B．
x
2
C．
2
2
x
D．
2
2
x
8．已知
,
2
1
)1
2
(
2
a
a
那么a 的取值范围是( )．
A．
2
1
a
B．
2
1
a
C．
2
1
a
D．
2
1
a
三、解答题
9．当x 为何值时，下列式子有意义?
(1)
;
1
x
(2)
;
2
x
(3)
;1
2
x
(4)
x
x
2
1
10．计算下列各式：
(1)
;
)
2
3
(
2
(2)
;
)
1
(
2
2
a
(3)
;
)
4
3
(
2
2
(4)
.
)
3
2
3
(
2
综合、运用、诊断
一、填空题
11．
x
2
表示二次根式的条件是______．
12．使
1
2
x
x
有意义的x 的取值范围是______．
13．已知
4
1
1
y
x
x
，则xy的平方根为______．
14．当x=－2 时，
2
2
4
4
1
2
1
x
x
x
x
＝________．
二、选择题
15．下列各式中，x 的取值范围是x＞2 的是( )．
A．
2
x
B．
2
1
x
C．
x
2
1
D．
1
2
1
x
16．若
0
2
2
|
5
|
y
x
，则x－y 的值是( )．
A．－7
B．－5
C．3
D．7
三、解答题
17．计算下列各式：
(1)
;
)
π
14
.3
(
2
(2)
;
)
3
(
2
2
(3)
;
]
)
3
2
[(
2
1
(4)
.
)
5.0
3
(
2
2
18．当a=2，b=－1，c=－1 时，求代数式
a
ac
b
b
2
4
2
的值．
拓广、探究、思考
19．已知数a，b，c 在数轴上的位置如图所示：
化简：
|
|
)
(
|
|
2
2
b
b
c
c
a
a
的结果是：______________________．
20．已知△ABC 的三边长a，b，c 均为整数，且a 和b 满足
.0
9
6
2
2
b
b
a
试求
△ABC 的c 边的长．
测试2 二次根式的乘除(一)
学习要求
会进行二次根式的乘法运算，能对二次根式进行化简．
课堂学习检测
一、填空题
1．如果
y
x
xy
2
4
成立，x，y 必须满足条件______．
2．计算：(1)
12
1
72
_________；(2)
)
8
4
)(
2
1
3
(
__________；
(3)
03
.0
27
.0
2
___________．
3．化简：(1)
36
49
______；(2)
25
.0
81
.0
______；(3)
45
______．
二、选择题
4．下列计算正确的是( )．
A．
5
3
2
B．
6
3
2
C．
4
8
D．
3
)3
(
2
5．如果
)
3
(
3
x
x
x
x
，那么( )．
A．x≥0
B．x≥3
C．0≤x≤3
D．x 为任意实数
6．当x=－3 时，
2
x
的值是( )．
A．±3
B．3
C．－3
D．9
三、解答题
7．计算：(1)
;
2
6
(2)
);
3
3
(
3
5
(3)
;
8
2
2
3
(4)
;
125
27
3
5
(5)
;
1
3
1
a
ab
(6)
;
5
2
5
2
a
c
c
b
b
a
(7)
;
49
)
7
(
2
(8)
;
5
13
2
2
(9)
.
72
7
2 y
x
8．已知三角形一边长为
cm
2
，这条边上的高为
cm
12
，求该三角形的面积．
综合、运用、诊断
一、填空题
9．定义运算“@”的运算法则为：
,
4
@
xy
y
x
则(2@6)@6=______．
10．已知矩形的长为
cm
5
2
，宽为
cm
10
，则面积为______cm2．
11．比较大小：(1)
2
3
_____
3
2
；(2)
2
5
______
3
4
；(3)－
2
2
_______－
6 ．
二、选择题
12．若
b
a
b
a
2
成立，则a，b 满足的条件是( )．
A．a＜0 且b＞0
B．a≤0 且b≥0
C．a＜0 且b≥0
D．a，b 异号
13．把
4
3
2
4
根号外的因式移进根号内，结果等于( )．
A．
11
B．
11
C．
44
D．
11
2
三、解答题
14．计算：(1)
x
xy
6
3
3
5
_______；
(2)
2
2
2
9
27
b
a
a
_______；
(3)
2
1
1
3
2
2
12
_______；
(4)
)
12
3
(
3
_______．
15．若(x－y＋2)2与
2
y
x
互为相反数，求(x＋y)x的值．
拓广、探究、思考
16．化简：(1)
11
10
)1
2
(
)1
2
(
________；
(2)
)
1
3
(
)1
3
(
_________．
测试3 二次根式的乘除(二)
学习要求
会进行二次根式的除法运算，能把二次根式化成最简二次根式．
课堂学习检测
一、填空题
1．把下列各式化成最简二次根式：
(1)
12
______；(2)
x
18
______；(3)
3
5
48
y
x
______；(4)
x
y
______；
(5)
3
2
______；(6)
2
1
4
______；(7)
2
4
3x
x
______；(8)
3
1
2
1
______．
2．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如：
2
3
与
.2
(1)
3
2
与______； (2) 32 与______；
(3)
a
3
与______； (4)
2
3a
与______； (5)
3
3a 与______．
二、选择题
3．
x
x
x
x
1
1
成立的条件是( )．
A．x＜1 且x≠0
B．x＞0 且x≠1
C．0＜x≤1
D．0＜x＜1
4．下列计算不正确的是( )．
A．
4
7
16
1
3
B．
xy
x
x
y
6
3
1
3
2
C．
20
1
)
5
1
(
)
4
1
(
2
2
D．
x
x
x
3
2
9
4
5．把
32
1 化成最简二次根式为( )．
A．
32
32
B．
32
32
1
C．
2
8
1
D．
2
4
1
三、计算题
6．(1)
;
25
16
(2)
;
9
7
2
(3)
;
3
24
(4)
;
125
2
75
5
(5)
;
15
2
5
(6)
;
3
3
6
6
(7)
;
2
1
1
3
1
1
(8)
.
125
.0
2
1
2
1
综合、运用、诊断
一、填空题
7．化简二次根式：(1)
6
2
________(2)
8
1
_________(3)
3
1
4
_________
8．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
(1)
5
1
_______(2)
x
2
_________(3)
3
2
2
__________(4)
y
x
5
__________
9．已知
,
732
.1
3
则
3
1
______；
27
_________．(结果精确到0．001)
二、选择题
10．已知
1
3
a
，
1
3
2
b
，则a 与b 的关系为( )．
A．a=b
B．ab=1
C．a=－b
D．ab=－1
11．下列各式中，最简二次根式是( )．
A．
y
x
1
B．
b
a
C．
4
2
x
D．
b
a2
5
三、解答题
12．计算：(1)
;
3
b
a
ab
a
b
(2)
;
3
2
12
y
xy
(3)
b
a
b
a
13．当
2
4
,
2
4
y
x
时，求
2
2
2
y
xy
x
和xy2＋x2y 的值．
拓广、探究、思考
14．观察规律：
,3
2
3
2
1
,
2
3
2
3
1
,1
2
1
2
1
……并求值．
(1)
2
2
7
1
_______；(2)
10
11
1
_______；(3)
1
1
n
n
_______．
15．试探究
2
2
)
( a
、
a
与a 之间的关系．
测试4 二次根式的加减(一)
学习要求
掌握可以合并的二次根式的特征，会进行二次根式的加、减运算．
课堂学习检测
一、填空题
1．下列二次根式
15
,
12
,
18
,
8
2
,
45
4
,
125
,
27
,
32
化简后，与
2 的被开方数
相同的有______，与3 的被开方数相同的有______，与5 的被开方数相同的有______．
2．计算：(1)
3
1
3
12
________；
(2)
x
x
4
3
__________．
二、选择题
3．化简后，与
2
的被开方数相同的二次根式是( )．
A．10
B．12
C．
2
1
D．
6
1
4．下列说法正确的是( )．
A．被开方数相同的二次根式可以合并
B．8 与80 可以合并
C．只有根指数为2 的根式才能合并
D．
2 与
50 不能合并
5．下列计算，正确的是( )．
A．
3
2
3
2
B．
5
2
2
5
C．
a
a
a
2
6
2
2
5
D．
xy
x
y
3
2
三、计算题
6．
.
48
5
12
7
3
9
7．
.6
12
24
8．
32
1
8
1
2
1
9．
)
5.0
4
3
1
3
(
)
8
1
4
12
(
10．
.
18
7
8
5
2
3
x
x
x
11．
x
x
x
x
1
2
4
6
9
3
2
综合、运用、诊断
一、填空题
12．已知二次根式
b
a
b
4
与
b
a
3
是同类二次根式，(a＋b)a的值是______．
13．
3
8
3
2
ab 与
b
a
b 2
6
无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”)
二、选择题
14．在下列二次根式中，与
a 是同类二次根式的是( )．
A．
a
2
B．
2
3a
C．
3
a
D．
4
a
三、计算题
15．
.
)1
5
(
2
8
2
2
18
0
16．
).
27
2
(
4
3
)
3
2
(
2
1
17．
b
b
a
b
a
a
1
2
4
1
18．
.
2
1
2
3
3
ab
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
四、解答题
19．化简求值：
y
y
x
y
x
x
3
2
4
1
，其中
4
x
，
9
1
y
．
20．当
3
2
1
x
时，求代数式x2－4x＋2 的值．
拓广、探究、思考
21．探究下面的问题：
(1)判断下列各式是否成立?你认为成立的，在括号内画“√”，否则画“×”．
①
3
2
2
3
2
2
（ ）
②
8
3
3
8
3
3
（ ）
③
15
4
4
15
4
4
（ ）
④
24
5
5
24
5
5
（ ）
(2)你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有n 的式子将规律表示出来，并写出n
的取值范围．
(3)请你用所学的数学知识说明你在(2)题中所写式子的正确性．
测试5 二次根式的加减(二)
学习要求
会进行二次根式的混合运算，能够运用乘法公式简化运算．
课堂学习检测
一、填空题
1．当a=______时，最简二次根式
1
2
a
与
7
3
a
可以合并．
2．若
2
7
a
，
2
7
b
，那么a＋b=______，ab=______．
3．合并二次根式：(1)
)
18
(
50
________；(2)
ax
x
a
x
4
5
________．
二、选择题
4．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )．
A．
ab 与
2
ab
B
mn 与
n
m
1
1
C．
2
2
n
m
与
2
2
n
m
D．
2
3
9
8
b
a
与
4
3
2
9
b
a
5．下列计算正确的是( )．
A．
b
a
b
a
b
a
2
)
)(
2
(
B．
12
3
9
)
3
3
(
2
C．
3
2
)
2
3
(
6
D．
6
4
14
2
6
4
12
)
2
3
2
(
2
6．
)
3
2
)(
2
3
(
等于( )．
A．7
B．
2
2
3
3
6
6
C．1
D．
2
2
3
3
6
三、计算题(能简算的要简算)
7．
12
1
).
2
2
18
(
8．
).
48
18
)(
12
2
(
9．
).
3
2
8
4
1
)(
2
3
6
2
1
5
(
10．
).
3
2
1
8
)(
8
3
2
1
(
11．
.6
)
12
4
27
6
48
10
(
12．
.
)
18
2
12
(
2
综合、运用、诊断
一、填空题
13．(1)规定运算：(a*b)=｜a－b｜，其中a，b 为实数，则
7
)
3
*
7
(
_______．
(2)设
5
a
，且b 是a 的小数部分，则
b
a
a
________．
二、选择题
14．
b
a
与
a
b
的关系是( )．
A．互为倒数
B．互为相反数
C．相等
D．乘积是有理式
15．下列计算正确的是( )．
A．
b
a
b
a
2)
(
B．
ab
b
a
C．
b
a
b
a
2
2
D．
a
a
a
1
三、解答题
16．
2
2
1
2
2
1
17．
2
8
18
)
2
1
2
(
2
18．
.
)
2
1(
)
2
1(
2009
2008
19．
.
)
(
)
(
2
2
b
a
b
a
四、解答题
20．已知
,
2
3
,
2
3
y
x
求(1)x2－xy＋y2；(2)x3y＋xy3的值．
21．已知
2
5
x
，求
4
)
2
5
(
)
5
4
9
(
2
x
x
的值．
拓广、探究、思考
22．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式
互为有理化因式．如：
a 与
a ，
6
3
与
6
3
互为有理化因式．
试写下列各式的有理化因式：
(1)
2
5
与______；
(2)
y
x
2
与______；(3)
mn 与______；
(4)
3
2
与______；(5)
2
2
3
与______；(6)
3
2
2
3
与______．
23．已知
,
732
.1
3
,
414
.1
2
求
)
2
3
(
6
．(精确到0.01)
答案与提示
第十六章 二次根式
测试1
1．a≥－1．2．<1， >－3．3．x<－2．
4．(1)7； (2)7； (3)7； (4)－7； (5)0.7； (6)49．
5．C． 6．B． 7．D． 8．D．
9．(1)x≤1；(2)x＝0；(3)x 是任意实数；(4)x≤1 且x≠－2．
10．(1)18；(2)a2＋1；(3)
;
2
3
(4)6．
11．x≤0． 12．x≥0 且
2
1
x
13．±1． 14．0． 15．B． 16．D．
17．(1)π－3．14；(2)－9；(3)
;
2
3 (4)36． 18．
2
1
或1．
19．0． 20．提示：a＝2，b＝3，于是1<c<5，所以c＝2，3，4．
测试2
1．x≥0 且y≥0．2．(1)
;
6 (2)24；(3)－0.18．
3．(1)42；(2)0.45；(3)
.5
3
4．B． 5．B． 6．B．
7．(1)
;
3
2
(2)45； (3)24； (4)
;
5
3 (5)
;
3
b
(6)
;
5
2 (7)49； (8)12； (9)
y
xy
2
6
3
8．
.
cm
6
2 9．
.7
2
10．
2
10
．
11．(1)>；(2)>；(3)<． 12．B． 13．D．
14．(1)
;
2
45
y
x
(2)
;
3
3
2
b
a
(3)
;
3
4
(4)9． 15．1．
16．(1)
;1
2
(2)
.2
测试3
1．(1)
;
3
2
(2)
;
2
3
x (3)
;
3
4
2
xy
y
x
(4)
;
x
xy
(5)
;
3
6 (6)
;
2
2
3
(7)
;
3
2
x
x
(8)
6
30 ．
2．
.
3
)
5
(
;
3
)
4
(
;
3
)
3
(
;
2
)
2
(
;
3
)1(
a
a
3．C． 4．C． 5．C．
6．
.4
)
8
(
;
3
2
2
)
7
(
;
2
2
)
6
(
;
6
3
)
5
(
;
2
15
)
4
(
;
2
2
)
3
(
;
3
5
)
2
(
;
5
4
)1(
7．
3
39
)
3
(
;
4
2
)
2
(
;3
2
)1(
8．
y
y
x
x
x
5
5
)
4
(
;
6
6
)3
(
;
2
)
2
(
;
5
5
)1(
9．0.577，5.196． 10．A． 11．C． 12．
.
)
3
(
;
3
3
)
2
(
;
)1(
b
a
x
b
ab
13．
.
112
;
2
2
2
2
2
2
2
y
x
xy
y
xy
x
14．
.
1
)
3
(
;
10
11
)
2
(
;
7
2
2
)1(
n
n
15．当a≥0 时，
a
a
a
2
2
)
(
；当a<0 时，
a
a
2
，而
2)
( a
无意义．
测试4
1．
.
45
4
,
125
;
12
,
27
;
18
,
8
2
,
32
2．(1)
.
)
2
(;
3
3
x
3．C． 4．A． 5．C． 6．
.3
3
7．
.6
3
2
8．
8
2
7
9．
.2
3
10．
.
2
14
x 11．
.
3 x
12．1． 13．错误． 14．C． 15．
.1
2
16．
4
2
3
4
11
17．
.
3
2
1
b
a
18．0．
19．原式
,
3
2
y
x
代入得2． 20．1．
21．(1)都画“√”；(2)
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
(n≥2，且n 为整数)；
(3)证明：
1
1
1
)1
(
1
2
2
3
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
测试5
1．6． 2．
.3,
7
2
3．(1)
;
2
2
(2)
.
3 ax
4．D． 5．D． 6．B． 7．
6
6 8．
.
18
6
2
9．
.3
3
14
2
1
8
10．
4
1
7
11．
.2
15
12．
.6
24
84
13．(1)3；(2)
.5
5
14．B． 15．D．
16．
4
1 17．2． 18．
.2
1
19．
ab
4
(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．
20．(1)9； (2)10． 21．4．
22．(1)
2 ； (2)
y
x
2
； (3)
mn ； (4)
3
2
； (5)
2
2
3
； (6)
3
2
2
3
(答
案)不唯一． 23．约7.70．
第十六章 二次根式全章测试
一、填空题
1．已知
mn
m
1
有意义，则在平面直角坐标系中，点P(m，n)位于第______象限．
2．
3
2
2
的相反数是______，绝对值是______．
3．若
3
:
2
:
y
x
，则
xy
y
x
2)
(
______．
4．已知直角三角形的两条直角边长分别为5 和
5
2
，那么这个三角形的周长为______．
5．当
3
2
x
时，代数式
3
)
3
2
(
)
3
4
7
(
2
x
x
的值为______．
二、选择题
6．当a<2 时，式子
2)
2
(
,
2
,
2
,
2
a
a
a
a
中，有意义的有( )．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．下列各式的计算中，正确的是( )．
A．
6
)
9
(
4
)
9
(
)
4
(
B．
7
4
3
4
3
2
2
C．
9
1
81
40
41
2
2
D．
2
3
2
3
8．若(x＋2)2＝2，则x 等于( )．
A．
4
2
B．
4
2
C．
2
2
D．
2
2
9．a，b 两数满足b<0<a 且｜b｜>｜a｜，则下列各式中，有意义的是( )．
A．
b
a
B．
a
b
C．
b
a
D．
ab
10．已知A 点坐标为
),
0,
2
(
A
点B 在直线y＝－x 上运动，当线段AB 最短时，B 点坐标( )．
A．(0，0)
B．
)
2
2
,
2
2
(
C．(1，－1)
D．
)
2
2
,
2
2
(
三、计算题
11．
.
150
2
96
3
54
6
24
4
12．
).
3
2
)(
2
3
(
13．
.2
5
3
4
1
12
2
14．
).
9
4
(
3
2
3
ab
a
b
a
b
a
a
b
a
b
15．
b
a
b
a
ab
b
a
3
)
2
3
(
3
5
16．
xy
y
x
y
x
xy
y
x
y
)
(
四、解答题
17．已知a 是2 的算术平方根，求
2
2
2
a
x
的正整数解．
18．已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，△BCD 为等边三角形，且AD
2
，求梯形ABCD 的周长．
附加题
19．先观察下列等式，再回答问题．
①
;
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
②
;
6
1
1
1
2
1
2
1
1
3
1
2
1
1
2
2
③
12
1
1
1
3
1
3
1
1
4
1
3
1
1
2
2
(1)请根据上面三个等式提供的信息，猜想
2
2
5
1
4
1
1
的结果；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n 为正整数)表示的等式．
20．用6 个边长为12cm 的正方形拼成一个长方形，有多少种拼法?求出每种长方形的对角线
长(精确到0.1cm，可用计算器计算)．
答案与提示
第十六章 二次根式全章测试
1．三． 2．
.
2
2
3,
2
2
3
3．
.2
6
6
5
4．
.5
5
5
5．
.3
2
6．B． 7．C． 8．C． 9．C． 10．B．
11．
.6
8
12．
.5
6
2
13．
10
2
3
14．
.
2 ab
15．
.
2
9
3
ab
b
a
16．0． 17．x<3；正整数解为1，2． 18．周长为
.6
2
5
19．(1)
;
20
1
1
1
4
1
4
1
1
(2)
.
)1
(
1
1
1
1
1
1
)1
(
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
20．两种：(1)拼成6×1，对角线
);
cm
(
0.
73
37
12
72
12
2
2
(2)拼成2×3，对角线
3.
43
13
12
36
24
2
2
(cm)．
