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河北省石家庄市赵县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共16 小题，每小题3 分，共48 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请把正确答案填在括号中。
1．下面关于x 的方程中：一元二次方程的个数是( )
ax
①
2+bx+c=0；②3（x
9
﹣）2﹣（x+1）2=1；③x+3= ；④（a2+a+1）x2
a=0
﹣
．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，ABCD 为正方形，O 为对角线AC、BD 的交点，则△COD 绕点O 经过下列哪种旋转
可以得到△DOA( )
A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°
C．逆时针旋转90° D．逆时针旋转45°
3．一元二次方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的根的情况为( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．若x=
2
﹣是关于x 的一元二次方程x2﹣ax+a2=0 的一个根，则a 的值为( )
A．1 或4 B．﹣1 或﹣4 C．﹣1 或4
D．1 或﹣4
5．若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0 的两个根，则x1+x2的值是( )
A．﹣10 B．10
C．﹣16 D．16
6．用配方法解一元二次方程x2
2x
3=0
﹣
﹣
时，方程变形正确的是( )
A．
（x
1
﹣）2=2B．
（x
1
﹣）2=4 C．
（x
1
﹣）2=1 D．（x
1
﹣）2=7
7．如图，△ABC 中，∠C=30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得△ADE，AE 与BC 交于F，
则∠AFB 为多少度？( )
A．70°
B．90°
C．60°
D．55°
8．下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A．圆
B．菱形C．矩形D．等边三角形
9．抛物线y=2（x
3
﹣）2+1 的顶点坐标是( )
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
10．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点( )
A．（2，4）B．
（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）
11．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位，得到
的抛物线的解析式是( )
A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2
2
﹣C．y=3（x
1
﹣）2+2 D．y=3（x
1
﹣）2
2
﹣
12．抛物线y=2x2，y=
2x
﹣
2，
共有的性质是( )
A．开口向下B．对称轴是y 轴
C．都有最高点
D．y 随x 的增大而增大
13．二次函数y=ax2+1 的图象一定经过的点是( )
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．
（0，1）D．（0，﹣1）
14．二次函数y=ax2+bx
1
﹣（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1
a
b
﹣﹣的值为( )
A．﹣3 B．﹣1
C．2 D．5
15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0 时，x 的取值范围是( )
A．x＜﹣1
B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1 或x＞3
16．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4 个结论：
abc
①
＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2
4ac
﹣
＞0
其中正确结论的有( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题：本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分。把正确答案写在横线上。
17．已知x=1 是方程x2+bx
2=0
﹣
的一个根，则方程的另一个根是__________．
18．直线y=x+3 上有一点P（3，n），则点P 关于原点的对称点P′为__________．
19．某种商品每件进价为20 元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（30
x
﹣）
件．若使利润最大，每件的售价应为__________元．
20．已知二次函数y=ax2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：
x
…
1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5 时，x 的取值范围是__________．
三、解答题
21．（16 分）解方程：
（1）x2
10x+9=0
﹣
（2）（x
5
﹣）2=25
（3）x2+4x+1=0
（4）3x2
6x+1=0
﹣
．
22．若关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+2x+m2
1=0
﹣
的常数项为0，求m 的值是多少？
23．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，
得到△DEC，点D 刚好落在AB 边上．
（1）求n 的值；
（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．
24．一块长方形的铁片，把它的四个角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个没有盖
的盒子，已知铁片的长是宽的2 倍，做成的盒子的容积是1536cm3，求此铁片的面积．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克．经市
场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000 元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
26．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于A、B 两点，其中A 点坐标为（﹣1，
0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB 的面积S
MCB
△
．
河北省石家庄市赵县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共16 小题，每小题3 分，共48 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请把正确答案填在括号中。
1．下面关于x 的方程中：一元二次方程的个数是( )
ax
①
2+bx+c=0；②3（x
9
﹣）2﹣（x+1）2=1；③x+3= ；④（a2+a+1）x2
a=0
﹣
．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为
0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条
件者为正确答案．
【解答】解：①方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程；
②符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程．
④符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否
是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2
2．如图，ABCD 为正方形，O 为对角线AC、BD 的交点，则△COD 绕点O 经过下列哪种旋转
可以得到△DOA( )
A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°
C．逆时针旋转90° D．逆时针旋转45°
【考点】旋转的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】因为四边形ABCD 为正方形，所以∠COD= DOA=90°
∠
，OC=OD=OA，则△COD 绕点
O 逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD 或∠DOA，据此可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，
COD= DOA=90°
∴∠
∠
，OC=OD=OA，
COD
∴△
绕点O 逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD 或∠DOA，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角．
3．一元二次方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的根的情况为( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2
4×
﹣（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根
的情况．
【解答】解：根据题意△=（﹣2）2
4×
﹣
（﹣1）=8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2
4ac
﹣
：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
4．若x=
2
﹣是关于x 的一元二次方程x2﹣ax+a2=0 的一个根，则a 的值为( )
A．1 或4 B．﹣1 或﹣4 C．﹣1 或4
D．1 或﹣4
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】将x=
2
﹣代入关于x 的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a 的一元二次方程即可．
【解答】解：∵x=
2
﹣是关于x 的一元二次方程x2﹣ax+a2=0 的一个根，
4+5a+a
∴
2=0，
∴（a+1）（a+4）=0，
解得a1=
1
﹣，a2=
4
﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x 的值代入，再解关于a 的
方程即可．
5．若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0 的两个根，则x1+x2的值是( )
A．﹣10 B．10
C．﹣16 D．16
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
【解答】解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0 两个根，
x
∴1+x2=
10
﹣
．
故选：A．
【点评】此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：
x1+x2=﹣，x1x2= ．
6．用配方法解一元二次方程x2
2x
3=0
﹣
﹣
时，方程变形正确的是( )
A．
（x
1
﹣）2=2B．
（x
1
﹣）2=4 C．
（x
1
﹣）2=1 D．（x
1
﹣）2=7
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】利用配方法解已知方程时，首先将﹣3 变号后移项到方程右边，然后方程左右两边都
加上一次项系数一半的平方1，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，即可得到所
求的式子．
【解答】解：x2
2x
3=0
﹣
﹣
，
移项得：x2
2x=3
﹣
，
两边都加上1 得：x2
2x+1=3+1
﹣
，
即（x
1
﹣）2=4，
则用配方法解一元二次方程x2
2x
3=0
﹣
﹣
时，方程变形正确的是（x
1
﹣）2=4．
故选：B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动
方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化
为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
7．如图，△ABC 中，∠C=30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得△ADE，AE 与BC 交于F，
则∠AFB 为多少度？( )
A．70°
B．90°
C．60°
D．55°
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据旋转的性质得∠CAE=60°，再利用三角形内角和定理计算出∠AFC=90°，然后
根据邻补角的定义易得∠AFB=90°．
【解答】解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得△ADE，
CAE=60°
∴∠
，
C=30°
∠
∵
，
AFC=90°
∴∠
，
AFB=90°
∴∠
．
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A．圆
B．菱形C．矩形D．等边三角形
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．
【解答】解：A、B、C 中，既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、只是轴对称图形．
故选：D．
【点评】掌握中心对称与轴对称的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后与原图重合．
9．抛物线y=2（x
3
﹣）2+1 的顶点坐标是( )
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y=2（x
3
﹣）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．
故选：A．
【点评】此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x
h
﹣）2+k，顶点坐标是（h，k），对
称轴是x=h．
10．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点( )
A．（2，4）B．
（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y 轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y 轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定
出函数图象的对称轴为y 轴是解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位，得到
的抛物线的解析式是( )
A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2
2
﹣C．y=3（x
1
﹣）2+2 D．y=3（x
1
﹣）2
2
﹣
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】常规题型．
【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x 2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），
则抛物线y=3x2向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，
顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y=3x2向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，
顶点坐标为（1，2），
∴平移后抛物线的解析式为y=3（x
1
﹣）2+2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a（x
k
﹣）
2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m 个单位，向上平移n
个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（x
k
m
﹣﹣）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物
线的顶点进行平移．
12．抛物线y=2x2，y=
2x
﹣
2，
共有的性质是( )
A．开口向下B．对称轴是y 轴
C．都有最高点
D．y 随x 的增大而增大
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质解题．
【解答】解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y 轴，有最低点，顶点为原点；
（2）y=
2x
﹣
2开口向下，对称轴为y 轴，有最高点，顶点为原点；
（3）y= x2开口向上，对称轴为y 轴，有最低点，顶点为原点．
故选：B．
【点评】考查二次函数顶点式y=a（x
h
﹣）2+k 的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有
如下性质：
①当a＞0 时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣
时，y 随x 的增大而减小；x＞﹣
时，y 随x 的增大而增大；x=﹣
时，y 取得最小值
，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0 时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣
时，y 随x 的增大而增大；x＞﹣
时，y 随x 的增大而减小；x=﹣
时，y 取得最大值
，即顶点是抛物线的最高点．
13．二次函数y=ax2+1 的图象一定经过的点是( )
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．
（0，1）D．（0，﹣1）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把A、B、C、D 分别代入y=ax2+1 即可判断．
【解答】解：∵x=0 时，y=1，
x=±1 时，y=a+1，
∴二次函数y=ax2+1 的图象必过点（0，1）．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：图象上的点的坐标代入解析式成立．
14．二次函数y=ax2+bx
1
﹣（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1
a
b
﹣﹣的值为( )
A．﹣3 B．﹣1
C．2 D．5
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】整体思想．
【分析】把点（1，1）代入函数解析式求出a+b，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx
1
﹣（a≠0）的图象经过点（1，1），
a+b
1=1
∴
﹣
，
a+b=2
∴
，
1
a
b=1
∴﹣﹣
﹣（a+b）=1
2=
1
﹣
﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．
15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0 时，x 的取值范围是( )
A．x＜﹣1
B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1 或x＞3
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】数形结合．
【分析】根据图象，写出函数图象在x 轴上方部分的x 的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，x＜﹣1 或x＞3 时，y＞0．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
16．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4 个结论：
abc
①
＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2
4ac
﹣
＞0
其中正确结论的有( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点得出c 的值，然后根
据抛物线与x 轴交点的个数及x=
1
﹣时，x=2 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得
结论进行判断．
【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y 轴交于正半轴知：
c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b 与a 异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；
把x=
1
﹣代入y=ax2+bx+c 得：y=a
b+c
﹣
，由函数图象可以看出当x=
1
﹣时，二次函数的值为
正，即a
b+c
﹣
＞0，则b＜a+c，故②选项正确；
把x=2 代入y=ax2+bx+c 得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2 时，二次函数的值为负，
即4a+2b+c＜0，故③选项错误；
由抛物线与x 轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0 的根的判别式b2
4ac
﹣
＞0，故④D 选
项正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根
的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后
根据图象判断其值．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分。把正确答案写在横线上。
17．已知x=1 是方程x2+bx
2=0
﹣
的一个根，则方程的另一个根是﹣
2 ．
【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得出x1x2= =
2
﹣，即可得出另一根的值．
【解答】解：∵x=1 是方程x2+bx
2=0
﹣
的一个根，
x
∴1x2= =
2
﹣，
1×x
∴
2=
2
﹣，
则方程的另一个根是：﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问
题的关键．
18．直线y=x+3 上有一点P（3，n），则点P 关于原点的对称点P′为（﹣
3 ，﹣
6 ）
．
【考点】关于原点对称的点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先把（3，n）代入y=x+3 中，可得n 的值，进而得到P 点坐标，再根据关于原点对称的
点的坐标特点可得答案．
【解答】解：∵直线y=x+3 上有一点P（3，n），
n=3+3=6
∴
，
P
∴（3，6），
∴点P 关于原点的对称点P′为（﹣3，﹣6），
故答案为：（﹣3，﹣6）．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及关于原点对称的点的坐标特点，
关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
19．某种商品每件进价为20 元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（30
x
﹣）
件．若使利润最大，每件的售价应为25 元．
【考点】二次函数的应用．
【专题】销售问题．
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每
件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【解答】解：设最大利润为w 元，
则w=（x
20
﹣
）（30
x
﹣）=﹣（x
25
﹣
）2+25，
20≤x≤30
∵
，
∴当x=25 时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题
为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
20．已知二次函数y=ax2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：
x
…
1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5 时，x 的取值范围是0 ＜
x ＜
4 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】压轴题；待定系数法．
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4 时，y=5，然后写出y＜5 时，x 的取
值范围即可．
【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
所以，x=4 时，y=5，
所以，y＜5 时，x 的取值范围为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5 的另一个x 的值是解题的关键．
三、解答题
21．（16 分）解方程：
（1）x2
10x+9=0
﹣
（2）（x
5
﹣）2=25
（3）x2+4x+1=0
（4）3x2
6x+1=0
﹣
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方
法．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）求出b2
4ac
﹣
的值，再代入公式求出即可；
（4）求出b2
4ac
﹣
的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：（1）x2
10x+9=0
﹣
，
分解因式得：（x
9
﹣）（x
1
﹣）=0，
x
1=0
﹣
，x
9=0
﹣
，
x1=1，x2=9；
（2）（x
5
﹣）2=25，
开方得：x
5=±5
﹣
，
解得：x1=10，x2=0；
（3）x2+4x+1=0，
b2
4ac=4
﹣
2
4×1×1=12
﹣
，
x=
，
x1=
2+
﹣
，x2
=
2
﹣﹣﹣
；
（4）3x2
6x+1=0
﹣
，
b2
4ac=
﹣
（﹣6）2
4×3×1=24
﹣
，
x=
，
x1=
，x2=
．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的
关键．
22．若关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+2x+m2
1=0
﹣
的常数项为0，求m 的值是多少？
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】常数项为零即m2
1=0
﹣
，再根据二次项系数不等于0，即可求得m 的值．
【解答】解：一元二次方程（m
1
﹣）x2+2x+m2
1=0
﹣
的常数项为m2
1=0
﹣
，所以m=±1，
又因为二次项系数不为0，m
1≠0
﹣
，m≠1，
所以m=
1
﹣．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0 的条
件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常
数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
23．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，
得到△DEC，点D 刚好落在AB 边上．
（1）求n 的值；
（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．
【考点】旋转的性质；含30 度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC 是等边三角形，即可得出∠ACD
的度数；
（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转
n 度后，得到△DEC，
AC=DC
∴
，∠A=60°，
ADC
∴△
是等边三角形，
ACD=60°
∴∠
，
n
∴的值是60；
（2）四边形ACFD 是菱形；
理由：∵∠DCE= ACB=90°
∠
，F 是DE 的中点，
FC=DF=FE
∴
，
CDF= A=60°
∵∠
∠
，
DFC
∴△
是等边三角形，
DF=DC=FC
∴
，
ADC
∵△
是等边三角形，
AD=AC=DC
∴
，
AD=AC=FC=DF
∴
，
∴四边形ACFD 是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半等知识，得出△DFC 是等边三角形是解题关键．
24．一块长方形的铁片，把它的四个角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个没有盖
的盒子，已知铁片的长是宽的2 倍，做成的盒子的容积是1536cm3，求此铁片的面积．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，剪去一个边长为4cm 的小方块后，组成
的盒子的底面的长为（2x
8
﹣）cm、宽为（x
8
﹣）cm，盒子的高为4cm，所以该盒子的容积为4
（2x
8
﹣）（x
8
﹣），又知做成盒子的容积是1536cm3，盒子的容积一定，以此为等量关系列出方
程，求得长、宽，进一步求得面积即可．
【解答】解：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得
4（2x
8
﹣）（x
8
﹣）=1536，
整理，得（x
20
﹣
）（x+8）=0，
解得x1=20，x2=
8
﹣（不合题意，舍去），
当x=20 时，2x=40（cm），
20×40=800（cm2）．
答：这块铁片的面积为800cm2．
【点评】此题考查的是一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，根据长方体体积计算公
式找出等量关系，列出方程求出符合题意得解．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克．经市
场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000 元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
【考点】二次函数的应用；二次函数的最值．
【专题】应用题．
【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．
【解答】解：（1）设每千克应涨价x 元，则（10+x）（500
20x
﹣
）=6 000
解得x=5 或x=10，
为了使顾客得到实惠，所以x=5．
（2）设涨价z 元时总利润为y，
则y=（10+z）（500
20z
﹣
）
=
20z
﹣
2+300z+5 000
=
20
﹣
（z2
15z
﹣
）+5000
=
20
﹣
（z2
15z+
﹣
﹣
）+5000
=
20
﹣
（z
7.5
﹣
）2+6125
当z=7.5 时，y 取得最大值，最大值为6 125．
答：（1）要保证每天盈利6000 元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5 元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5 元，能使商场获利最多．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，
第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法
较好，如y=
x
﹣2
2x+5
﹣
，y=3x2
6x+1
﹣
等用配方法求解比较简单．
26．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于A、B 两点，其中A 点坐标为（﹣1，
0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S
MCB
△
．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．
（2）可根据抛物线的解析式先求出M 和B 的坐标，由于三角形MCB 的面积无法直接求出，
可将其化为其他图形面积的和差来解．过M 作ME y
⊥轴，三角形MCB 的面积可通过梯形
MEOB 的面积减去三角形MCE 的面积减去三角形OBC 的面积求得．
【解答】解：
（1）依题意：
，
解得
∴抛物线的解析式为y=
x
﹣2+4x+5
（2）令y=0，得（x
5
﹣）（x+1）=0，x1=5，x2=
1
﹣，
B
∴（5，0）．
由y=
x
﹣2+4x+5=﹣（x
2
﹣）2+9，得M（2，9）
作ME y
⊥轴于点E，
可得S
MCB
△
=S 梯形MEOB
S
﹣
MCE
△
S
﹣
OBC
△
= （2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5=15．
【点评】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转
化为规则图形的面积的和差．
