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用函数观点看一元二次方程—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 若二次函数
的最大值为2，则a 的值是（ ）
A.4 B.-1 C.3 D.4 或-1
2．已知函数
的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k≤4 C．k＜4 且k≠3 D．k≤4 且k≠3
3．方程
的实数根的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．如图所示的二次函数
(a≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)
；(2)
；(3)
；(4)
．你认为其中错误的有( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．1 个
5．方程
的正根的个数为( )
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
6．（2014•济宁）“如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有
两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x 的方程1﹣（x
a
﹣）（x
b
﹣）=0 的两根，且a＜b，则a、b、m、n 的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜n＜b
二、填空题
7． 已知二次函数
的图象的顶点在x 轴上，则m 的值为 ．
8．如图所示，函数y＝(k-8)x2-6x+k 的图象与x 轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为 ．
第8 题 第9 题
9．已知二次函数
(a≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于
x 的一元二次方程
的两个根分别为
和
________．
10．已知二次函数
的图象关于y 轴对称，则此图象的顶点A 和图象与x 轴的
两个交点B、C 构成的△ABC 的面积是________．
11．抛物线
（a ≠ 0）满足条件：（1）
；（2）
；（3）与x 轴有两个交点，且
两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①
；②
；③
；④
，
其中所有正确结论的序号是
．
12．（2015•大庆校级三模）如图是二次函数
和一次函数y2=kx+t 的图象，当y1≥y2时，x 的取
值范围是
．
三、解答题
13．已知抛物线
与x 轴有两个不同的交点．
(1)求k 的取值范围；
(2)设抛物线与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，点D 是抛物线的顶点，如果△ABC 是等腰直角
三角形，求抛物线的解析式．
14．如图所示，已知直线
与抛物线
交于A、B 两点．
(1)求A、B 两点的坐标；
(2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B 两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线AB 上方
的抛物线上移动，动点P 将与A、B 两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的
三角形？如果存在，指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
15．（2014•南京）已知二次函数y=x2
2mx+m
﹣
2+3（m 是常数）．
（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】∵
的最大值为2，
∴
且
，解得
（
舍去）．故选B．
2.【答案】B；
【解析】当
时是一次函数，即k=3 函数图象与x 轴有一个交点；
当k-3≠0 时此函数为二次函数，当△＝
≥0，即k≤4 且k≠3 时，函数图象与x 轴有
交点．
综上所述，当k≤4 时，函数图象与x 轴有交点，故选B．
3.【答案】A；
【解析】将判断这个方程的根的情况转化为判断函数
与
的
图
象（如图）的公共点的情况.
4.【答案】D；
【解析】由图象可知，抛物线与x 轴有两个交点，
∴
，故(1)正确；又抛物线与y 轴的交点在(0，1)下方，
∴ c＜1，故(2)不正确；抛物线的对称轴在-1 与0 之间，即
，
又
，∴
，即
，故(3)正确；
当
，函数值小于0，∴ a+b+c＜0，故(4)正确．
5.【答案】B；
【解析】不妨把方程化为抛物线
与双曲线
，分别画出函数图象草图如图所示．
根据题意知，两函数图象交点的横坐标即是方程
的解，方程有正根，即交点横坐
标为正数．因在x＞0 的范围内，两函数的图象有两个交点，即方程正根有两个，故应选B．
6.【答案】A；
【解析】依题意，画出函数y=（x
a
﹣）（x
b
﹣）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程1﹣（x
a
﹣）（x
b
﹣）=0
转化为（x
a
﹣）（x
b
﹣）=1，
方程的两根是抛物线y=（x
a
﹣）（x
b
﹣）与直线y=1 的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y 随x
增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选：A．
二、填空题
7．【答案】
；
【解析】即抛物线与x 轴有唯一公共点，由△＝0 可求
.
8．【答案】
；
【解析】∵ 函数
的图象与x 轴只有一个公共点，
∴ 方程
有两个相等的实数根．
∴ △＝
．解得k＝9 或k＝-1．
又∵ 图象开口向下，∴ k-8＜0，即k＜8．
∴ k＝-1．即(-1-8)x2-6x-1＝0． 解得
．
所以函数
的图象与x 轴的交点坐标为
．
9．【答案】-3.3；
【解析】观察图象可知，抛物线的对称轴是
，到对称轴的距离为
，又因为
到对称轴的距离为2.3，所以
．
10．【答案】1；
【解析】依题意有2(m-1)＝0，即m＝1，所以二次函数为
，令y＝0，得x＝±1．
所以B(-1，0)，C(1，0)，BC＝2，A(0，1)，
．
11．【答案】②④；
【解析】由条件（1）
得到抛物线的对称轴为直线
；
由条件（2）
得到
时的函数值为正；
由条件（3）“与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2
得到抛物线与x 轴的两个交点位于点
与
之间，
从而得到抛物线的示意图如右．
由此可知
，
，
，
，
所以①、③错误，②正确．
对于④，由“
时的函数值为负”及
可知
；
由“
时的函数值为正”及
可知
，所以④正确．
12．【答案】﹣1≤x≤2；
三、解答题
13.【答案与解析】
解： (1)由题意，得
，
∴
，即k 的取值范围是
．
(2)设
，
，则
，
．
∴
．
∵
，又△ABD 是等腰直角三角形，
∴
，即
．
解得
，
．
又∵
，∴
舍去．
∴ 抛物线的解析式是
．
14.【答案与解析】
解：（1）依题意得
解之
所以
，
．
（2）存在．因为AB 所在直线的方程
，若存在点P 使△APB 的面积最大，则点P 在与直
线AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线
上．设该直线分别与x 轴、y 轴
交于G、H 两点，
如图，联立
得
，因为抛物线与直线只有一个交
点，
所以
，
，所以
解得
所以
．
15.【答案与解析】
证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3=0 没有实数解，
即不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；
（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，
把函数y=（x﹣m）2+3 的图象沿y 轴向下平移3 个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是
（m，0），
因此，这个函数的图象与x 轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3 的图象沿y 轴向下平移3 个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公
共点．
