文档文本内容
1
学易金卷：2020-2021 学年九年级数学上学期期中测试卷02
本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共22 题，满分150 分。考试时间120 分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5 毫米黑色墨水
签字笔填写在答题卷相对应的位置上，并认真核对；
2．答题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，
不得用其他笔答题；
3．考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。每小题只有一个选项是正确的，把正确选项前的
字母填涂在答题卷相应位置上）
1.若
是一元二次方程，则m 的值是（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．±1
【解答】解：由题意得：
解得，m＝1．
故选：C．
【知识点】一元二次方程的定义
2.若x＝﹣1 是关于x 的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2019﹣2a+2b 的值等于
（ ）
A．2015
B．2017
C．2019
D．2022
【解答】解：将x＝﹣1 代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，
则a﹣b＝2，
所以原式＝2019﹣2（a﹣b）
＝2019﹣2×2
＝2019﹣4
＝2015，
故选：A．
【知识点】一元二次方程的解
3.要得到抛物线y＝（x﹣1）2+3，可以将y＝x2（ ）
A．向左平移1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度
B．向左平移1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度
C．向右平移1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度
D．向右平移1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度
【解答】解：将y＝x2的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度可得抛物线y＝（x﹣1）
2+3，
故选：C．
【知识点】二次函数图象与几何变换
2
4.若关于x 的一元二次方程x2+7x+4＝0 的两根是x1、x2，则
+
的值为（ ）
A．﹣
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣7，x1x2＝4，
所以
+
＝
＝﹣
．
故选：A．
【知识点】根与系数的关系
5.二次函数y＝x2+bx 的对称轴为直线x＝1，若关于x 的方程x2+bx﹣t＝0（t 为实数）在﹣1＜x＜4 的范围
内有实数解，则t 的取值范围是（ ）
A．t≥﹣1
B．﹣1≤t＜3
C．﹣1≤t＜8
D．t＜3
【解答】解：二次函数y＝x2+bx 的对称轴为直线x＝1，
则x＝﹣
＝﹣
＝1，解得：b＝﹣2，
二次函数的表达式为y＝x2﹣2x，顶点为：（1，﹣1），
x＝﹣1 时，y＝4，x＝4 时，y＝8，
t 的取值范围为顶点至y＝8 之间的区域，即﹣1≤t＜8；
故选：C．
【知识点】二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点
6.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6 个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机
摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计
盒子中大约有红球（ ）
A．16 个
B．14 个
C．20 个
D．30 个
【解答】解：由题意可得：
＝0.3，
解得：x＝14，
故选：B．
【知识点】利用频率估计概率
7.已知⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为d，若关于x 的方程x2﹣2x+d＝0 有实根，则点P
（ ）
A．在⊙O 的内部
B．在⊙O 的外部
C．在⊙O 上
D．在⊙O 上或⊙O 的内部
【解答】解：∵关于x 的方程x2﹣2x+d＝0 有实根，
∴根的判别式△＝（﹣2）2﹣4×d≥0，
解得d≤1，
∴点在圆内或在圆上，
3
故选：D．
【知识点】点与圆的位置关系、根的判别式
8.如图，四边形ABCD 的顶点A，B，C 在圆上，且边CD 与该圆交于点E，AC，BE 交于点F．下列角中，
弧AE 所对的圆周角是（ ）
A．∠ADE
B．∠AFE
C．∠ABE
D．∠ABC
【解答】解：弧AE 所对的圆周角为∠ABE 和∠ACE．
故选：C．
【知识点】圆周角定理
9.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若∠BOD＝160°，则∠BAD 的度数是（ ）
A．60°
B．80°
C．100o
D．120°
【解答】解：∵∠BOD＝160°，
∴∠BAD＝
BOD＝80°，
故选：B．
【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦的关系
10.如图，在正方形ABCD 中，顶点A，B，C，D 在坐标轴上，且B（2，0），以AB 为边构造菱形
ABEF，将菱形ABEF 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 逆时针旋转，每次旋转45°，则第2020 次旋转
结束时，点F2020的坐标为（ ）
4
A．（﹣2，2
）
B．（﹣2，﹣2
）
C．（2
，﹣2）
D．（﹣2
，﹣2）
【解答】解：∵点B（2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝2，
∴AB＝
OA＝2
，
∵四边形ABEF 是菱形，
∴AF＝AB＝2
，
∴点F（2
，2），
由题意可得每次8 旋转一个循环，
∴2020÷8＝252…4，
∴点F2020的坐标与点F 坐标关于原点对称，
∴点F2020的坐标（﹣2
，﹣2）
故选：D．
【知识点】规律型：点的坐标、坐标与图形变化-旋转、菱形的性质
11.如图，二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（
，1），下列结论：其中正
确的个数是（ ）
①a＜0；
②b＜0；
③c＜0；
④
＞0；
⑤a+b+c＜0．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：抛物线开口向下，因此①正确，
对称轴为x＝
＞0，可知a、b 异号，a＜0，则b＞0，因此②不正确；
抛物线与y 轴交点在正半轴，因此c＞0，故③不正确；
5
抛物线的顶点坐标为（﹣
，
），又顶点坐标为（
，1），因此④正确；
抛物线与x 轴的一个交点在x 轴的负半轴，对称轴为x＝
，因此当x＝1 时，y＝a+b+c＞0，
因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有2 个，
故选：B．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系
12.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx 的对称轴为x＝
，且经过点（4，10），点A
（n，1）（n＞0）在此抛物线上，点P 是抛物线上的动点，P 的横坐标为m（0＜m＜n），过点P 作
PB⊥x 轴，垂足为B，PB 交OA 于点C，点O 关于直线PB 的对称点为D，连接CD，AD，则当m＝（
）时，△ACD 的周长最小．
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
【解答】解：∵y＝ax2+bx 的对称轴为x＝
，且经过点（4，10），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣
x
∴点A（n，1）在此抛物线上
∴1＝n2﹣
n
解得：n＝﹣
或n＝2
∵n＞0
∴n＝2
∴A（2，1）
6
如图，过点A 作AE⊥x 轴
∵点O 关于直线PB 的对称点为D
∴CO＝CD
∵△ACD 的周长＝AC+CD+AD
＝AC+CO+AD
＝AO+AD
而AO＝
＝
∴当AD 最小时，△ACD 的周长最小
∴此时点D 与点E 重合
∴m＝1
故选：A．
【知识点】坐标与图形变化-对称、二次函数的性质、轴对称-最短路线问题、二次函数图象上点的坐标特
征
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。把答案直接填在答题卡相应位置上）
13.在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40 个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试
验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35 左右，则布袋中黄球可能有 个．
【解答】解：设袋子中黄球有x 个，根据题意，得：
＝0.35，
解得：x＝14，
即布袋中黄球可能有14 个，
故答案为：14．
【知识点】利用频率估计概率
14.王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手
435 次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x 人，则根据题意，可列方程：
﹣ ．
【解答】解：设参加聚会的同学共有x 人，
依题意，得：
x（x﹣1）＝435．
故答案为：
x（x﹣1）＝435．
【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程
7
15.已知点A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函数y＝
x2﹣5 的图象上，那么m、n 的大小关系是：m
n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【解答】解：二次函数y＝
x2﹣5 可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为y 轴，
所以当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，
所以m＞n．
故答案为＞．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
16.如图，正方形ABCD 中，AB＝4，E，F 分别是边AB，AD 上的动点，AE＝DF，连接DE，CF 交于点
P，过点P 作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK 的度数最大时，则BK 长为 ．
【解答】解：∵正方形ABCD 中，AD＝CD，∠A＝∠CDA＝90°，
∵AE＝DF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE＝∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠DCF+∠CDE＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴点P 在以CD 为直径的半圆上运动，
取CD 的中点O，过O 作OM⊥CD，且点M 在CD 的右侧，MO＝2，
连接OP，KM，
∵PK∥BC，BC⊥CD，
∴PK⊥CD，
∴PK∥OM，PK＝OM＝2，
∴四边形POMK 是平行四边形，
∵CD＝AB＝4，
∴OP＝
CD＝2，
∴OP＝OM，
∴四边形POMK 是菱形，
∴点K 在以M 为圆心，半径＝2 的半圆上运动，
当BK 与⊙M 相切时，∠CBK 最大，
∴∠BKM＝90°，
∵BM＝
＝2
，
∴BK＝
＝6，
8
故答案为：6．
【知识点】切线的性质、菱形的判定与性质、正方形的性质
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分。把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写
出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔）
17.已知关于x 的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣
）＝0．
（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC 的一边长a＝3，另两边b、c 恰好是这个方程的两个根，求k 值多少？
【解答】（1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣
）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴该方程总有实数根；
（2）x＝
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c 为等腰三角形的三边，
∴2k﹣1＝2 或2k﹣1＝3，
∴k＝
或2．
【知识点】一元二次方程的解、根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质
18.某旅馆有客房120 间，每间房的日租金为160 元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率
不低于60%，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表：
客房日租金x（元）
160
170
180
190
客房出租数量y（间）
120
114
108
102
（1）观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关
系式，并求出自变量x 的取值范围．
（2）设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，
客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？
【解答】解：（1）由已知图表可知：客房日租金每增加10 元，则客房每天少出租6 间，
∴设y＝kx+b（k≠0），
把（160，120），（170，114）代入得
，
9
解得：
，
∴每间房日租金x（元）与客房每天的出租数量y（间）的函数关系式为y＝﹣
x+216，
∵0≤y≤120，
∴0≤﹣
x+216≤120，
∴160≤x≤360；
（2）由已知图表可知：客房日租金每增加10 元，则客房每天少出租6 间，
∴设每间客房的日租金提高10x 元，则每天客房出租数会减少6x 间．
则W＝（160+10x）（120﹣6x），
即W＝﹣60（x﹣2）2+19440．
∵x≥0，且120﹣6x≥0，
∴0≤x≤20．
当x＝2 时，y 最大＝19440．
这时每间客房的日租金为160+10×2＝180（元）．
答：每间客房的日租金提高到180 元时，客房日租金的总收入最高；
【知识点】二次函数的应用
19.一项答题竞猜活动，在6 个式样、大小都相同的箱子中有且只有一个箱子里藏有礼物．参与选手将回
答5 道题目，每答对一道题，主持人就从6 个箱子中去掉一个空箱子．而选手一旦答错，即取消后面
的答题资格，从剩下的箱子中选取一个箱子．
（1）一个选手答对了4 道题，求他选中藏有礼物的箱子的概率；
（2）已知一个选手选中藏有礼物的箱子的概率为
，则他答对了几道题？
【解答】解：（1）∵共6 个箱子，答对了4 道取走4 个箱子，
∴还剩2 个箱子，
∴一个选手答对了4 道题，求他选中藏有礼物的箱子的概率
；
（2）∵一个选手选中藏有礼物的箱子的概率为
，
∴他从5 个箱子中选择一个箱子，
∴则他答对了1 道题；
【知识点】概率公式
20.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D，过点D 作DE⊥BC，交BC
的延长线于点 E．
（1）求证：ED 为⊙O 的切线；
（2）若AB＝10，ED＝2CE，求BC 的长．
10
【解答】证明：（1）连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，
∴∠ODE+∠E＝180°，
∴∠ODE＝90°，
即OD⊥DE，且OD 是半径，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）过点O 作OM⊥BE 于M，且OD⊥DE，∠E＝90°，
∴四边形ODEM 是矩形，
∴DE＝OM，OD＝EM，
∵AB＝10，
∴OD＝EM＝5＝OB，
∴CM＝5﹣CE，
∵OM⊥BC，
∴CM＝BM＝5﹣CE，
∵OB2＝OM2+BM2，
∴25＝4CE2+（5﹣CE）2，
∴CE＝2，CE＝0（不合题意舍去）
∴BC＝2BM＝6．
【知识点】圆周角定理、切线的判定与性质
21.某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量y（瓶）与销售单
价x（元）满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：（已知每瓶进价为4 元，每瓶利润＝销售单价
﹣进价）
单价x（元）
5
6
7
…
销售量y（瓶）
150
140
130
…
11
（1）求y 关于x 的函数表达式．
（2）该新型饮料每月的总利润为w（元），求w 关于x 的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最
大，最大利润是多少元？
（3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了a 元，每月销售量
与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过14 元时，利润随着x 的增大而增大，求a
的最小值．
【解答】解：（1）设y 关于x 的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）
由题意得：
解得：
∴y 关于x 的函数表达式为y＝﹣10x+200．
（2）由题意得：
w＝（x﹣4）（﹣10x+200）
＝﹣10x2+240x﹣800
＝﹣10（x﹣12）2+640
∵﹣10＜0
∴当x＝12 时，w 有最大值640 元．
∴w 关于x 的函数表达式为w＝﹣10x2+240x﹣800，单价为12 元时利润最大，最大利润是640
元．
（3）由题意得：
w＝（x﹣4﹣a）（﹣10x+200）
＝﹣10x2+（240+10a）x﹣800
二次函数的对称轴为：x＝12+
∵﹣10＜0，当销售单价不超过14 元时，利润随着x 的增大而增大
∴12+
≥14
∴a≥4
∴a 的最小值为4．
【知识点】二次函数的应用
22.如图，在矩形ABCD 中，AB＝8cm，AD＝6cm，点P 从点A 出发沿AB 以2cm/s 的速度向终点B 匀速
运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm/s 的速度向终点C 匀速运动，P、Q 中有一点到达终点时，另
一点随之停止运动．
（1）几秒后，点P、D 的距离是点P、Q 的距离的2 倍；
（2）几秒后，△DPQ 是直角三角形；
（3）在运动过程中，经过 秒，以P 为圆心，AP 为半径的⊙P 与对角线BD 相切．
12
【解答】解：（1）设t 秒后点P、D 的距离是点P、Q 距离的2 倍，
∴PD＝2PQ，∴PD2＝4 PQ2，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，
∵PD2＝4 PQ2，
∴62+（2t）2＝4[（8﹣2t）2+t2]，
解得：t1＝
，t2＝
；
∵0≤t≤4，
∴t＝
，
答：
秒后，点P、D 的距离是点P、Q 的距离的2 倍；
（2）∵△DPQ 是直角三角形，
∴∠DPQ＝90°或∠DQP＝90°．
当∠DPQ＝90°时，∠ADP＝∠BPQ，
∴tan∠ADP＝tan∠BPQ，
∴
＝
，即
＝
，
解得：t＝
，或t＝0（舍去）；
当∠DQP＝90°时，∠CDQ＝∠BQP，
∴tan∠CDQ＝tan∠BQP，
∴
＝
，
即
＝
，
解得：t＝11﹣
，或t＝11+
（舍去），
综上所述，当运动时间为
秒或（11﹣
）秒时，△DPQ 是直角三角形．
（3）设经过x，秒以P 为圆心，AP 为半径的⊙P 与对角线BD 相切于点E，连接PE、PD，
如图所示：
则PE⊥BD，PE＝AP，
在Rt△APD 和Rt△EPD 中，
，
∴Rt△APD≌Rt△EPD（HL），
∴AD＝ED＝6，
13
∵BD＝
＝
＝10，
∴BE＝BD﹣ED＝4，
∵PE＝PA＝2x，则BP＝8﹣2x，
在Rt△BPE 中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（8﹣2x）2，
解得：x＝
，
即经过
秒，以P 为圆心，AP 为半径的⊙P 与对角线BD 相切，
故答案为：
．
【知识点】一元二次方程的应用、切线的判定、勾股定理
