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辽宁省大连市九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3 分，共24 分在下列各个小题中，均给出了四个答案，其中有且只有一个
正确答案，将正确答案代号填入括号内）
1．（3 分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x
3
﹣
B．x2+3=0
C．（x2+3）2=9 D．
2．（3 分）如果x2+bx+16=（x
4
﹣）2，则b 的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣8
D．8
3．（3 分）如右图所示，折叠矩形ABCD，使点A 落在BC 边的点E 处，DF 为折痕，已知
AB=8cm，BC=10cm，则BE 的长等于（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
4．（3 分）一元二次方程x2
4=0
﹣
的解是（ ）
A．x=2 B．x=
2
﹣C．x1=2，x2=
2
﹣
D．x1=
，x2=﹣
5．（3 分）若代数式2x2
5x
﹣
与代数式x2
6
﹣的值相等，则x 的值是（ ）
A．﹣2 或﹣3 B．2 或3 C．﹣1 或6
D．1 或﹣6
6．（3 分）方程x2+6x
5=0
﹣
的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．
（x+3）2=14B．（x
3
﹣）2=14
C．
（x+6）2=
D．以上答案都不对
7．（3 分）关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+3x+m2
1=0
﹣
的一根为0，则m 的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2
C．±1
D．±2
8．（3 分）三角形两边的长分别是4 和6，第3 边的长是一元二次方程x2
16x
﹣
+60=0 的一个实
数根，则该三角形的周长是（ ）
A．20
B．20 或16
C．16
D．18 或21
二、填空题（每小题3 分，共24 分）
9．（3 分）根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c=0 （a≠0，a，b，c 为常数）的一个解x 的取值
范围是
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
0.06
﹣
0.02
﹣
0.03
0.09
10．（3 分）如图，△ABC 中，∠BAC=40°，把△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得△ADE，则
∠EAC 的度数为 ．
11．（3 分）已知x=
1
﹣是关于x 的方程2x2+ax
2=0
﹣
的一个根，则a= ．
12．（3 分）方程（x
2
﹣）（x+1）=0 的根是 ．
13．（3 分）已知m 是方程2x2+3x
1=0
﹣
的根，求
m2+
m 的值为 ．
14．（3 分）关于x 的方程x2+mx+16=0 有两个相等的实根，则m= ．
15．（3 分）已知m 是方程x2
x
2=0
﹣﹣
的一个根，则代数式m2
m
﹣
的值是 ．
16．（3 分）某种药品经过两次降价，由每盒60 元调至52 元，若设平均每次降价的百分率为
x，则由题意可列方程为 ．
三、解答题（第17-20 题28 分，21 题8 分24 题8 分，25 题10 分共54 分）
17．（7 分）解方程：x2+2x
3=0
﹣
（配方法）．
18．（7 分）解方程：5x+2=3x2．
19．（7 分）解方程：（x
2
﹣）2=（2x
3
﹣）2（分解因式法）．
20．（7 分）解方程（x
2
﹣）2
4
﹣（x
2
﹣）+3=0．
21．
（8 分）如图，在△ABC 中，AB=10
m，BC=40m，∠C=90°，点P 从点A 开始沿AC 边向
点C 以2m/s 的速度匀速移动，同时另一点Q 由C 点开始以3m/s 的速度沿着CB 匀速移动，
几秒时，△PCQ 的面积等于450m2？
22．（8 分）如图，ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E，F 分别为AB，CD 的中点，沿过
点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A′处，折痕交AE 于点G，则EG= cm．
23．（10 分）△ABC 在方格中的位置如图所示．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得A、B 两点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣
4）．并求出C 点的坐标；
（2）作出△ABC 关于横轴对称的△，再作出△ABC 以坐标原点为旋转中心、旋转180°后的
△A2B2C2，并写出C1，C2两点的坐标．
四、解答题
24．（5 分）李大妈加盟了“红红”全国烧烤连锁店，该公司的宗旨是“薄利多销”，经市场
调查发现，当羊肉串的单价定为7 角时，每天能卖出160 串，在此基础上，每加价1 角李大妈
每天就会少卖出20 串，考虑了所有因素后李大妈的每串羊肉串的成本价为5 角，若李大妈每
天销售这种羊肉串想获得利润是18 元，那么请问这种羊肉串应怎样定价？
25．（5 分）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD，以AD
为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF、BD 之间的位置关系为 ，数
量关系为 ．
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条
件时，CF⊥BC（点C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
26．（8 分）阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|
2=0
﹣
，
解：（1）当x≥0 时，原方程化为x2
x
2=0
﹣﹣
，解得：x1=2，x2=
1
﹣（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0 时，原方程化为x2+x
2=0
﹣
，解得：x1=
2
﹣，x2=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1=2，x2=
2
﹣
请参照例题解方程x2﹣|x
1
﹣|
1=0
﹣
．
辽宁省大连市九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共24 分在下列各个小题中，均给出了四个答案，其中有且只有一个
正确答案，将正确答案代号填入括号内）
1．（3 分）（2011 秋•仙游县校级期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x
3
﹣
B．x2+3=0
C．（x2+3）2=9 D．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足三个条件：
（1）是整式方程；
（2）含有一个未知数，且未知数的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0．
以上三个条件必须同时成立，据此即可作出判断．
【解答】解：A、不是方程，错误；
B、符合一元二次方程的定义，正确；
C、原式可化为x4+6x2=0，是一元四次方程，错误；
D、是分式方程，错误．
故选B．
【点评】在做此类判断题时，要特别注意二次项系数a≠0 这一条件．
2．（3 分）（2016 秋•大连月考）如果x2+bx+16=（x
4
﹣）2，则b 的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣8
D．8
【分析】先把原式的右边利用完全平方公式展开，再利用等式的对应项的系数相等可求b．
【解答】解：∵x2+bx+16=（x
4
﹣）2，
∴x2+bx+16=x2
8x
﹣
+16，
∴b=
8
﹣．
故选C．
【点评】本题考查了完全平方公式．（a±b）2=a2±2ab+b2．
3．
（3 分）
（2010•禄丰县校级模拟）如右图所示，折叠矩形ABCD，使点A 落在BC 边的点E 处，
DF 为折痕，已知AB=8cm，BC=10cm，则BE 的长等于（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】由DF 为折痕，可得AD=DE，由矩形ABCD，可得CD=AB=8cm，∠DCE=90°，设出BE
的长，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
【解答】解：设BE=x，则EC=BC
BE=10
x
﹣
﹣，
∵矩形ABCD，
∴CD=AB=8，∠DCE=90°，
∵DF 为折痕，
∴DE=AD=BC=10，
Rt△DCE 中，
DE2=EC2+CD2，
∴102=（10
x
﹣）2+82，
解得x=4．
故选A．
【点评】本题考查了翻折问题、矩形的性质及勾股定理的相关知识；找准相等的量是正确解答
本题的关键．
4．（3 分）（2010•德宏州）一元二次方程x2
4=0
﹣
的解是（ ）
A．x=2 B．x=
2
﹣C．x1=2，x2=
2
﹣
D．x1=
，x2=﹣
【分析】观察发现方程的两边同时加4 后，左边是一个完全平方式，即x2=4，即原题转化为求
4 的平方根．
【解答】解：移项得：x2=4，
∴x=±2，即x1=2，x2=
2
﹣．
故选：C．
【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b 同号且
a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c 同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常
数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
5．（3 分）（2014•碑林区校级模拟）若代数式2x2
5x
﹣
与代数式x2
6
﹣的值相等，则x 的值是（
）
A．﹣2 或﹣3 B．2 或3 C．﹣1 或6
D．1 或﹣6
【分析】由两个代数式的值相等，可以列出一个一元二次方程，分析方程的特点，用分组分解
法进行因式分解，求出方程的两个根．
【解答】解：因为这两个代数式的值相等，所以有：
2x2
5x=x
﹣
2
6
﹣，
x2
5x
﹣
+6=0，
（x
2
﹣）（x
3
﹣）=0，
x
2=0
﹣
或x
3=0
﹣
，
∴x=2 或3．
故选B．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，由题目所给条件得到一个一元二次方
程，分析化简后的方程，可用分组分解法因式分解求出方程的两个根．
6．（3 分）（2004•郴州）方程x2+6x
5=0
﹣
的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．
（x+3）2=14B．（x
3
﹣）2=14
C．
（x+6）2=
D．以上答案都不对
【分析】把方程变形得到x2+6x=5，方程两边同时加上一次项的系数一半的平方，两边同时加
上9 即可．
【解答】解：∵x2+6x
5=0
﹣
∴x2+6x=5
∴x2+6x+9=5+9
∴（x+3）2=14．
故选A．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍
数．
7．（3 分）（2016 秋•大连月考）关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+3x+m2
1=0
﹣
的一根为0，则
m 的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2
C．±1
D．±2
【分析】根据一元二次方程解的定义把x=0 代入方程求m，然后根据一元二次方程的定义确
定满足条件的m 的值．
【解答】解：把x=0 代入方程得m2
1=0
﹣
，解得m=±1，
而m
1
﹣≠0，
所以m=
1
﹣．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一
元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．
8．（3 分）（2011 秋•济南期末）三角形两边的长分别是4 和6，第3 边的长是一元二次方程x2
16x
﹣
+60=0 的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）
A．20
B．20 或16
C．16
D．18 或21
【分析】由于第3 边的长是一元二次方程x2
16x
﹣
+60=0 的一个实数根，那么求出方程的根就
可以求出三角形的周长．
【解答】解：∵x2
16x
﹣
+60=0，
∴（x
6
﹣）（x
10
﹣
）=0，
∴x=6 或x=10，
当x=6 时，三角形的三边分别为6、4 和6，∴该三角形的周长是16；
当x=10 时，三角形的三边分别为10、4 和6，而4+6=10，∴三角形不成立．
故三角形的周长为16．
故选C．
【点评】主要考查了利用因式分解的方法解一元二次方程及等腰三角形的性质、周长，解题的
关键是利用因式分解求出三角形的第三边，然后求出三角形的周长．
二、填空题（每小题3 分，共24 分）
9．（3 分）（2011 秋•平江区校级期末）根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c=0 （a≠0，a，b，c
为常数）的一个解x 的取值范围是
3.24
＜
x ＜
3.25
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
0.06
﹣
0.02
﹣
0.03
0.09
【分析】根据上面的表格，可得二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标即为方程
ax2+bx+c=0 的解，当x=3.24 时，y=
0.02
﹣
；当x=3.25 时，y=0.03；则二次函数y=ax2+bx+c 的图
象与x 轴的交点的横坐标应在3.24 和3.25 之间．
【解答】解：∵当x=3.24 时，y=
0.02
﹣
；
当x=3.25 时，y=0.03；
∴方程ax2+bx+c=0 的一个解x 的范围是：3.24＜x＜3.25．
故答案为：3.24＜x＜3.25．
【点评】此题主要考查了用函数的图象求一元二次方程的近似根，要用到数形结合思想，应熟
练掌握．
10．（3 分）（2016 秋•大连月考）如图，△ABC 中，∠BAC=40°，把△ABC 绕点A 逆时针旋转
60°，得△ADE，则∠EAC 的度数为
60°
．
【分析】直接利用旋转的性质求解．
【解答】解：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得△ADE，
∴∠EAC=60°．
故答案为60°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11．（3 分）（2016 秋•大连月考）已知x=
1
﹣是关于x 的方程2x2+ax
2=0
﹣
的一个根，则a=
0
．
【分析】根据一元二次方程解的定义把x=
1
﹣代入2x2+ax
2=0
﹣
得到关于a 的方程，然后解关
于a 的方程即可．
【解答】解：把x=
1
﹣代入2x2+ax
2=0
﹣
得2
a
2=0
﹣﹣
，
解得a=0．
故答案为0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一
元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二
次方程的解也称为一元二次方程的根．
12．（3 分）（2013 秋•黔西县期末）方程（x
2
﹣）（x+1）=0 的根是
x=2
或
x=
1
﹣
．
【分析】原方程的左边是两个一次因式乘积的形式，而方程的右边为0，可令每个一次因式的
值为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解．
【解答】解：（x
2
﹣）（x+1）=0，
x
2=0
﹣
或x+1=0，
解得x=2 或x=
1
﹣．
【点评】在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数
式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个
一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．
13．（3 分）（2016 秋•大连月考）已知m 是方程2x2+3x
1=0
﹣
的根，求
m2+
m 的值为
．
【分析】把方程的解代入方程，两边同时除以6，可以求出代数式的值．
【解答】解：把m 代入方程有：
2m2+3m
1=0
﹣
2m2+3m=1
两边同时除以6 有：
m2+
m=
．
故答案是：
．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出代数式的值．
14．（3 分）（2016 秋•大连月考）关于x 的方程x2+mx+16=0 有两个相等的实根，则m=
±
8
．
【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m 的一元二次方程，解方
程即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+mx+16=0 有两个相等的实根，
∴△=m2
4
﹣×1×16=m2
64=0
﹣
，
解得：m=±8．
故答案为：±8．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是利用根的判别式得出m2
64=0
﹣
．本题属于基
础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况利用根的判别式得出方程（或不等
式）是关键．
15．（3 分）（2004•吉林）已知m 是方程x2
x
2=0
﹣﹣
的一个根，则代数式m2
m
﹣
的值是
2
．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数
的值．
【解答】解：把m 代入方程x2
x
2=0
﹣﹣
，得到m2
m
2=0
﹣﹣
，所以m2
m=2
﹣
．
故本题答案为2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根的定义，是一个基础题．
16．（3 分）（2016 秋•大连月考）某种药品经过两次降价，由每盒60 元调至52 元，若设平均每
次降价的百分率为x，则由题意可列方程为
60
（
1
x
﹣
）
2 =52
．
【分析】本题可设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后药价为60（1
x
﹣）元，第二次在
60（1
x
﹣）元的基础之又降低x，变为60（1
x
﹣）（1
x
﹣）即60（1
x
﹣）2元，进而可列出方程，求
出答案．
【解答】解：设平均每次降价的百分率是x，则第二次降价后的价格为60（1
x
﹣）2元，
根据题意得：60（1
x
﹣）2=52，
故答案为：60（1
x
﹣）2=52．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是利用公
式：“a（1±x）n=b”的应用，理解公式是解决本题的关键．
三、解答题（第17-20 题28 分，21 题8 分24 题8 分，25 题10 分共54 分）
17．（7 分）（2016 秋•大连月考）解方程：x2+2x
3=0
﹣
（配方法）．
【分析】先移项得到x2+2x=3，再把方程两边加上1 得到x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，然后利用
直接开平方法求解．
【解答】解：∵x2+2x=3，
x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，
∴x+1=±2，
∴x1=1，x2=
3
﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到
方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，
再利用直接开平方法解方程．
18．（7 分）（2005 春•宜昌校级期中）解方程：5x+2=3x2．
【分析】将原方程转化为一般形式，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：由原方程，得
3x2
5x
2=0
﹣
﹣
，
∴（x
2
﹣）（3x+1）=0，
∴x
2=0
﹣
，或3x+1=0
解得，x=2，或x=﹣
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．本题要求对方程进行因式分解，只要将
方程化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
19．（7 分）（2016 秋•大连月考）解方程：（x
2
﹣）2=（2x
3
﹣）2（分解因式法）．
【分析】先移项，然后利用平方差公式分解因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次
方程即可．
【解答】解：∵（x
2
﹣）2=（2x
3
﹣）2，
∴（x
2
﹣）2﹣（2x
3
﹣）2=0，
∴[（x
2
﹣）+（2x
3
﹣）][（x
2
﹣）﹣（2x
3
﹣）]=0，
∴（3x
5
﹣）（﹣x+1）=0，
∴3x
5=0
﹣
或1
x=0
﹣
，
∴x1=
，x2=1．
【点评】本题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．
要熟练掌握因式分解的方法．
20．（7 分）（2016 秋•大连月考）解方程（x
2
﹣）2
4
﹣（x
2
﹣）+3=0．
【分析】设x
2=y
﹣
，则原方程变为y2
4y
﹣
+3=0，然后解关于y 的方程，最后再来求x 的值．
【解答】解：x
2=y
﹣
，则有
y2
4y
﹣
+3=0，
∴（y
1
﹣）（y
3
﹣）=0；
解得，y=1 或y=3；
①当y=1 时，x=3；
②当y=3 时，x=5．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的目的是降元．
21．
（8 分）
（2013 秋•上街区校级期中）如图，在△ABC 中，AB=10
m，BC=40m，∠C=90°，
点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2m/s 的速度匀速移动，同时另一点Q 由C 点开始以3m/s
的速度沿着CB 匀速移动，几秒时，△PCQ 的面积等于450m2？
【分析】根据勾股定理先求出AC 的长，然后根据运动速度，设x 秒后，△PCQ 的面积等于450
平方米，从而可列方程求解．
【解答】解：AC=
=50
设x 秒后，△PCQ 的面积等于450 平方米，
（50
2x
﹣
）•3x=450
x=10 或x=15．
∵CQ=3x15=45＞40＞BC，∴x=15 应舍去，
所以x=10
当10 秒时面积450 平方米．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，直角三角形的性质以及勾股定理的应
用．
22．（8 分）（2016 秋•大连月考）如图，ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E，F 分别为
AB，CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A′处，折痕交AE 于
点G，则EG=
4
cm．
【分析】由ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E，F 分别为AB，CD 的中点，可得
AE=DF=2cm，EF=AD=4cm，由翻折可得AG=A′G，AD=A′D，在Rt△DFA′与Rt△A′EG 中，利
用勾股定理可求得答案．
【解答】解：∵ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E、F 分别为AB，CD 的中点，
∴AE=DF=2cm，EF=AD=4cm，
DG 为折痕，
∴AG=A′G，AD=A′D，
Rt△DFA′中，A′F=
=2
，
∴A′E=4
2
﹣
，
Rt△A′EG 中，设EG=x，则A′G=AG=2
x
﹣，
∴x=
=
，
解得x=4
6
﹣．
故答案为：4
6
﹣．
【点评】本题考查了正方形的性质及图形的翻折问题；利用相关知识找出等量关系，两次利用
勾股定理是正确解答本题的关键．
23．（10 分）（2013•江门模拟）△ABC 在方格中的位置如图所示．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得A、B 两点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣
4）．并求出C 点的坐标；
（2）作出△ABC 关于横轴对称的△，再作出△ABC 以坐标原点为旋转中心、旋转180°后的
△A2B2C2，并写出C1，C2两点的坐标．
【分析】（1）根据已知点的坐标，画出坐标系，由坐标系确定C 点坐标；
（2）由轴对称性画△A1B1C1，由关于原点中心对称性画△A2B2C2，可确定写出C1，C2两点的
坐标．
【解答】解：（1）坐标系如图所示，C（3，﹣3）；
（2）△A1B1C1，△A2B2C2如图所示，C1（3，3），C2（﹣3，3）．
【点评】本题考查了坐标系的确定方法，轴对称、中心对称的画图．关键是根据题意，建立坐标
系．
四、解答题
24．（5 分）（2016 秋•大连月考）李大妈加盟了“红红”全国烧烤连锁店，该公司的宗旨是
“薄利多销”，经市场调查发现，当羊肉串的单价定为7 角时，每天能卖出160 串，在此基础
上，每加价1 角李大妈每天就会少卖出20 串，考虑了所有因素后李大妈的每串羊肉串的成本
价为5 角，若李大妈每天销售这种羊肉串想获得利润是18 元，那么请问这种羊肉串应怎样定
价？
【分析】设这种羊肉串定价为x 角，根据当羊肉串的单价定为7 角时，每天能卖出160 串，在
此基础上，每加价1 角李大妈每天就会少卖出20 串，考虑了所有因素后李大妈的每串羊肉串
的成本价为5 角，若李大妈每天销售这种羊肉串想获得利润是18 元，可列方程求解．
【解答】解：设这种羊肉串定价为x 角，
（x
5
﹣）[160
20
﹣
（x
7
﹣）]=180，
化简得：x2
20x
﹣
+84=0，
解得：x1=6（舍去），x2=14，
故这种羊肉串应定价为14 角．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键看到涨价和销售量的关系根据利润列方程求解．
25．
（5 分）（2016 秋•大连月考）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动
点，连接AD，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF、BD 之间的位置关系为 垂直
，数量关系为 相等 ．
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条
件时，CF⊥BC（点C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等
三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三
角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）过点A 作AG⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G，于是得到∠GAC=90°，可推出
∠ACB=∠AGC，证得AC=AG，根据（1）的结论于是得到结果．
【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB 与△FAC 中，
，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
故答案为：垂直、相等；
②成立，理由如下：
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD 与△CAF 中，
∵
．
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD；
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A 作AG⊥AC 交CB 的延长线于点G，
则∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，
∴∠AGC=90°
45°=45°
﹣
，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG，
在△GAD 与△CAF 中，
，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGC=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，过点A 作
AG⊥AC 交CB 的延长线于点G 构造全等三角形是解题的关键．
26．（8 分）（2016 秋•江都区校级期中）阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|
2=0
﹣
，
解：（1）当x≥0 时，原方程化为x2
x
2=0
﹣﹣
，解得：x1=2，x2=
1
﹣（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0 时，原方程化为x2+x
2=0
﹣
，解得：x1=
2
﹣，x2=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1=2，x2=
2
﹣
请参照例题解方程x2﹣|x
1
﹣|
1=0
﹣
．
【分析】分为两种情况：（1）当x≥1 时，原方程化为x2
x=0
﹣
，（2）当x＜1 时，原方程化为x2+x
2=0
﹣
，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣|x
1
﹣|
1=0
﹣
，
（1）当x≥1 时，原方程化为x2
x=0
﹣
，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．
（2）当x＜1 时，原方程化为x2+x
2=0
﹣
，解得：x1=
2
﹣，x2=1（不合题意，舍去）．
故原方程的根是x1=1，x2=
2
﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．
