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四川省绵阳市三台县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题只有一个正确答案，请将正确选项代号写在第3 页相应位置，每小题3 分，
共30 分）
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2．下列说法正确的是( )
A．一个点可以确定一条直线
B．平分弦的直径垂于直弦
C．三个点可以确定一个圆
D．在图形旋转中图形上可能存在不动点
3．已知关于x 的一元二次方程x2
m=2x
﹣
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )
A．m＞﹣1
B．m＜﹣2
C．m≥0 D．m＜0
4．抛物线的顶点坐标为P（1，3），且开口向下，则函数y 随自变量x 的增大而减小，那么x 的
取值范围为( )
A．x＜3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1
5．如图，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的最小角度是( )
A．45°
B．90°
C．180° D．360°
6．如图有两个边长为4cm 的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，绕着
中心旋转其中一个正方形，那么图中阴影部分的面积是( )
A．无法确定B．8cm2 C．16cm2 D．4cm2
7．一元二次方程x（x
1
﹣）=1
x
﹣的解是( )
A．﹣1 B．±1
C．0 或﹣1
D．0 或1
8．若方程x2
3x
1=0
﹣
﹣
的两根分别是x1，x2，则x1
2+x2
2的值为( )
A．3 B．﹣3
C．11
D．﹣11
9．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50
吨下降到40.5 吨，则平均每年下降的百分率是( )
A．10% B．15% C．20% D．25%
10．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB
交于点D，则AD 的长为( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题（请将正确答案写在第3 页相应的短横线上，每小题2 分，共16 分）
11．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1 与2m
4
﹣，则=__________．
12．已知：（x2+y2+1）2
4=0
﹣
，则x2+y2=__________．
13．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函
数”．请写出两个为“同簇二次函数”的函数__________．
14．二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴相交于负半轴，则关于x 的不等式cx＞c 的解集是
__________．
15．△ABC 的顶点A、B、C 均在⊙O 上，若∠ABC+ AOC=90°
∠
，则∠ACO 的大小是
__________．
16．圆的半径为13cm，两弦AB CD
∥
，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB，CD 的距离是
__________．
17．如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 内的一条射线，BE AD
⊥
，且△CHM 可由△BEM 旋转而得，
延长CH 交AD 于F，则下列结论中：（1）M 是BC 的中点．（2）CF AD
⊥
．（3）FM BC
⊥
．（4）
FM= EH，错误的是__________．
18．抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：
x
…
2
﹣
1
﹣
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是__________．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c 的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线
； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．
三、解答题（本大题有7 小题，共54 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
19．解方程：
（1）（2x+1）2=﹣（2x+1）（因式分解法）
（2）2x2
4x
9=0
﹣
﹣
（用配方法解）
20．已知关于x 的方程kx2﹣（k+2）x+2=0
（1）求证：无论k 取任意实数，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC 的两腰长b、c 恰好是这个方程的两个根，求第三边a 的取值范围．
21．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC 向右平移4 个单位，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC 关于x 轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC 绕原点O 旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
（4）与△A3B3C3成轴对称的图形是__________，对称轴是__________；与△A1B1C1成中心对
称的图形是__________．
22．如图，△ABC 内接于⊙O，BC=4，CA=3，∠A
B=90°
﹣∠
，求⊙O 的半径．
23．某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出210 件；如果每件商品的售
价每上涨1 元，则每个月少卖10 件（每件售价不能高于65 元）．设每件商品的售价上涨x 元
（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200 元？根据以上结论，请你直接写
出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200 元？
24．如图，正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A，点G、E 分别在线段AD、AB 上．
（1）连接DF、BF，若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，
线段DF 与BF 的长始终相等”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明；
（2）若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转过程中，你能否找到一条
线段的长与线段DG 的长始终相等？并以图为例说明理由．
25．如图，对称轴为直线x=
1
﹣的抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交点为A、B 两点．其中点A 的坐
标为（﹣3，0）
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与y 轴的交点为C，对称轴与x 轴交于D，抛物线的对称轴上是否存在点P，使
△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．
四川省绵阳市三台县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题只有一个正确答案，请将正确选项代号写在第3 页相应位置，每小题3 分，
共30 分）
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A 选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B 选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的
概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找
对称中心，旋转180 度后两部分重合．
2．下列说法正确的是( )
A．一个点可以确定一条直线
B．平分弦的直径垂于直弦
C．三个点可以确定一个圆
D．在图形旋转中图形上可能存在不动点
【考点】旋转的性质；直线的性质：两点确定一条直线；垂径定理；确定圆的条件．
【分析】利用直线的性质对A 进行判断；根据垂径定理的推理对B 进行判断；根据确定圆的条
件对C 进行判断；若以图形上一点为旋转中心，则根据旋转的性质可对D 进行判断．
【解答】解：A、两点确定一条直线，所以A 选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂于直弦，所以B 选项错误；
C、不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，所以C 选项错误；
D、在图形旋转中图形上可能存在不动点，所以D 选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直线的性质、垂径定理和确定圆的条件．
3．已知关于x 的一元二次方程x2
m=2x
﹣
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )
A．m＞﹣1
B．m＜﹣2
C．m≥0 D．m＜0
【考点】根的判别式．
【分析】因为关于x 的一元二次方程x2
m=2x
﹣
有两个不相等的实数根，所以△=4+4m＞0，解
此不等式即可求出m 的取值范围．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2
m=2x
﹣
有两个不相等的实数根，
=4+4m
∴△
＞0，
即m＞﹣1．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结一元二次方程根的情况与判别式
△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4．抛物线的顶点坐标为P（1，3），且开口向下，则函数y 随自变量x 的增大而减小，那么x 的
取值范围为( )
A．x＜3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1
【考点】二次函数的性质．
【分析】先根据抛物线的顶点坐标得到对称轴，再结合开口方向和增减性可求出x 的范围．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为P（1，3），
∴对称轴为直线x=1，
又∵开口向下，函数y 随自变量x 的增大而减小，
x
∴＞1．
故选C．
【点评】顶点式y=a（x
h
﹣）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．此题最好是借助图象解答．
5．如图，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的最小角度是( )
A．45°
B．90°
C．180° D．360°
【考点】旋转对称图形．
【分析】根据图形，用360 除以4 即为最小的旋转角．
【解答】解：∵360°÷4=90°，
∴旋转的最小角度是90°．
故选B．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图
形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
6．如图有两个边长为4cm 的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，绕着
中心旋转其中一个正方形，那么图中阴影部分的面积是( )
A．无法确定B．8cm2 C．16cm2 D．4cm2
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】计算题．
【分析】如图，根据正方形的性质得OD=OC，∠ODA= OCD=45°
∠
，∠DOC=90°，再利用等角
的余角相等得到∠DOE= COF
∠
，于是可根据“ASA”证明△ODE
OCF
△
≌
，
则S
ODE
△
=S
OCF
△
，所以S 四边形EOFD=S
DOC
△
= S 正方形ABCD．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD 为正方形，
OD=OC
∴
，∠ODA= OCD=45°
∠
，∠DOC=90°，
而∠POM=90°，
即∠DOF+ COF=90°
∠
，∠DOE+ DOF=90°
∠
，
DOE= COF
∴∠
∠
，
在△ODE 和△OCF 中，
，
ODE
OCF
∴△
△
≌
（ASA），
S
∴
ODE
△
=S
OCF
△
，
S
∴
四边形EOFD=S
DOC
△
= S 正方形ABCD= ×42=4（cm2）．
故选D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
7．一元二次方程x（x
1
﹣）=1
x
﹣的解是( )
A．﹣1 B．±1
C．0 或﹣1
D．0 或1
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x
1
﹣）=1
x
﹣，
x（x
1
﹣）+（x
1
﹣）=0，
（x
1
﹣）（x+1）=0，
x
1=0
﹣
，x+1=0，
x1=1，x2=
1
﹣，
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
8．若方程x2
3x
1=0
﹣
﹣
的两根分别是x1，x2，则x1
2+x2
2的值为( )
A．3 B．﹣3
C．11
D．﹣11
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1•x2=
1
﹣，再变形x1
2+x2
2=（x1+x2）2
2x
﹣
1•x2，然后
利用整体思想进行计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1•x2=
1
﹣，
x1
2+x2
2=（x1+x2）2
2x
﹣
1•x2=32
2×
﹣
（﹣1）=11．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，
则x1+x2=﹣，x1•x2= ．
9．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50
吨下降到40.5 吨，则平均每年下降的百分率是( )
A．10% B．15% C．20% D．25%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】解答此题利用的数量关系：原有降尘量×（1﹣平均每年下降的百分率）2=现在降尘量，
设出未知数，列出方程解答即可．
【解答】解：设平均每年下降的百分率是x，根据题意列方程得，
50×（1
x
﹣）2=40.5，
解得：x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去），
答：平均每年下降的百分率是10%．
故选A．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，解答时要抓住每年下降的百分率是相同的，列出方程
解答即可解决问题．
10．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB
交于点D，则AD 的长为( )
A．
B．
C．
D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】探究型．
【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，过C 作CM AB
⊥
，交AB 于点M，由垂径定理可知M
为AD 的中点，由三角形的面积可求出CM 的长，在Rt
ACM
△
中，根据勾股定理可求出AM
的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
AB=
∴
=
=5，
过C 作CM AB
⊥
，交AB 于点M，如图所示，
CM AB
⊥
∵
，
M
∴
为AD 的中点，
S
∵
ABC
△
= AC•BC= AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
CM=
∴
，
在Rt
ACM
△
中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（
）2，
解得：AM= ，
AD=2AM=
∴
．
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题（请将正确答案写在第3 页相应的短横线上，每小题2 分，共16 分）
11．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1 与2m
4
﹣，则=4．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】利用直接开平方法得到x=±
，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣
4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2 与﹣2，则有
=2，然后两边平方得到=4．
【解答】解：∵x2= ，
x=±
∴
，
∴方程的两个根互为相反数，
m+1+2m
4=0
∴
﹣
，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b 的两个根分别是2 与﹣2，
∴
=2，
∴=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p 或（nx+m）2=p（p≥0）的一元
二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p 的形式，那么可得
x=±
；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±
．
12．已知：（x2+y2+1）2
4=0
﹣
，则x2+y2=1．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【分析】首先根据条件可以得到（x2+y2+1）2=4，然后两边同时开平方即可求出x2+y2的值．
【解答】解：∵（x2+y2+1）2
4=0
﹣
，
∴（x2+y2+1）2=4，
x
∵2+y2+1＞0，
x
∴2+y2+1=2，
x
∴2+y2=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平方根的定义，形如x2=a 的方程的解法，一般直接开方计算即可．此题也
利用整体代值的思想．
13．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函
数”．请写出两个为“同簇二次函数”的函数y=2
（
x
3
﹣
）
2 +4
与
y=3
（
x
3
﹣
）
2 +4
（答案不唯
一）．．
【考点】二次函数的性质．
【专题】新定义；开放型．
【分析】只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇
二次函数”的函数表达式即可．
【解答】解：设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x
h
﹣）2+k，
当a=2，h=3，k=4 时，
二次函数的关系式为y=2（x
3
﹣）2+4．
2
∵＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4 时，
二次函数的关系式为y=3（x
3
﹣）2+4．
3
∵＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x
3
﹣）2+4 与y=3（x
3
﹣）2+4 顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x
3
﹣）2+4 与y=3（x
3
﹣）2+4 是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x
3
﹣）2+4 与y=3（x
3
﹣）2+4．
故答案可以为y=2（x
3
﹣）2+4 与y=3（x
3
﹣）2+4（答案不唯一）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x
h
﹣）2+k 的顶点坐标为（h，k），对称轴为
x=h．当a＞0 时，抛物线开口向上；当a＜0 时，抛物线开口向下．
14．二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴相交于负半轴，则关于x 的不等式cx＞c 的解集是x
＜
1 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式．
【专题】计算题．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系易得c＜0，根据根据不等式的性质，解不等式cx＞c
得x＜1．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴相交于负半轴，
c
∴＜0，
∴不等式cx＞c 的解集为x＜1．
故答案为x＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a
决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；
一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在
y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛
物线与y 轴交于（0，c）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b2
4ac
﹣
＞0 时，抛物线与x 轴
有2 个交点；△=b2
4ac=0
﹣
时，抛物线与x 轴有1 个交点；△=b2
4ac
﹣
＜0 时，抛物线与x 轴没
有交点．也考查了解一元一次不等式．
15．△ABC 的顶点A、B、C 均在⊙O 上，若∠ABC+ AOC=90°
∠
，则∠ACO 的大小是60°．
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC=
AOC
∠
，由于∠ABC+ AOC=90°
∠
，所以
∠AOC+ AOC=90°
∠
，然后解方程即可．
【解答】解：∵∠ABC=
AOC
∠
，
而∠ABC+ AOC=90°
∠
，
∴
AOC+ AOC=90°
∠
∠
，
AOC=60°
∴∠
．
故答案是：60°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．
16．圆的半径为13cm，两弦AB CD
∥
，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB，CD 的距离是7cm
或
17cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】此题可以分两种情况，即两弦在圆心的一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个．
【解答】解：第一种情况：两弦在圆心的同侧时，已知CD=10cm，
∴由垂径定理得DE=5．
OD=13
∵
，
∴利用勾股定理可得：OE=12．
同理可求OF=5，
EF=7
∴
．
第二种情况：只是EF=OE+OF=17．其它和第一种一样．
故答案为：7cm 或17cm．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题时要注意分AB、CD 在圆心的同侧和异
侧两种情况讨论，不要漏解．
17．如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 内的一条射线，BE AD
⊥
，且△CHM 可由△BEM 旋转而得，
延长CH 交AD 于F，则下列结论中：（1）M 是BC 的中点．（2）CF AD
⊥
．（3）FM BC
⊥
．（4）
FM= EH，错误的是（
3 ）
．
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可判断（1）；结合BE AD
⊥
可判断（2）；利用（2）的结论和M 是EH 的
中点，可判断（3）和（4）；可得出答案．
【解答】解：∵△CHM 可由△BEM 旋转而得，
MC=MB
∴
，∠FCM= MBF
∠
，
∴（1）正确；
BE
AD
∵
⊥
，
BEF=90°
∴∠
BEF+ MBE= EFC+ FCM
∵∠
∠
∠
∠
，
CFE=90°
∴∠
，
CF AD
∴
⊥
，
∴（2）正确；
MH=ME
∵
，
M
∴
为EH 中点，FM 为EH 边上的中线，
FM=
∴
EH，但FM EH
⊥
不一定成立，
∴（3）错误，（4）正确；
综上可知错误的是（3）．
故答案为：（3）．
【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等形是解题的关键．
18．抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：
x
…
2
﹣
1
﹣
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是①③④．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c 的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线
； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．
【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】压轴题；图表型．
【分析】根据表中数据和抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向下，当x=3 时，y=0，即抛物
线与x 轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；因此可得抛物线的对称轴是直线x=3﹣= ，再根据抛
物线的性质即可进行判断．
【解答】解：根据图表，当x=
2
﹣，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3 时，y=0，即抛物线与x 轴
的交点为（﹣2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣= ，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x= 时，函数有最大值，而不是x=0，或1 对应的函数值6，
并且在直线x= 的左侧，y 随x 增大而增大．
所以①③④正确，②错．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c 的性质：抛物线是轴对称图形，它与x 轴的两个交点是
对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a＜0 时，函数有最大值，在对称轴左侧，y
随x 增大而增大．
三、解答题（本大题有7 小题，共54 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
19．解方程：
（1）（2x+1）2=﹣（2x+1）（因式分解法）
（2）2x2
4x
9=0
﹣
﹣
（用配方法解）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）移项、然后提公因式，即可化为两个一元一次方程，即可求解；
（2）首先移项、二次项次数化成1，然后配方，转化为两个一元一次方程，即可求解．
【解答】解：（1）原方程可化为：（2x+1）[（2x+1）+1]=0，
x
∴1=﹣，x2=
1
﹣；
（2）原方程可化为：x2
2x=
﹣
，
配方，得：x2
2x+1=
﹣
，
则（x
1
﹣）2=
，
x
1=±
﹣
，
x
∴1=1+
，x2=1﹣
．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．已知关于x 的方程kx2﹣（k+2）x+2=0
（1）求证：无论k 取任意实数，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC 的两腰长b、c 恰好是这个方程的两个根，求第三边a 的取值范围．
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】（1）当k=0 时，方程是一元一次方程，有一个实数根．当k≠0 时是一元二次方程，求出
△的值，并判断出符号即可；
（2）由（1）知k=2，求出b，c 的值，根据三角形三边关系即可得出结论．
【解答】解：（1）当k=0 时，方程kx2﹣（k+2）x+2=0 可化为﹣2x+2=0，有实根x=1；
当k≠0 时，∵△=（k+2）2
4k×2=
﹣
（k
2
﹣）2≥0，
∴方程总有实根．
综合上所述，无论k 取任意实数，方程总有实数根．
（2）∵b、c 为方程的等根，
∴由（1）知k=2
b=c=1
∴
，
0
∴＜a＜2．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2
4ac
﹣
的
关系是解答此题的关键．
21．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC 向右平移4 个单位，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC 关于x 轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC 绕原点O 旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
（4）与△A3B3C3成轴对称的图形是△
A 2B2C2，对称轴是y 轴
；与△A1B1C1成中心对称的图形
是△
A 3B3C3或△
ABC
．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（4）利用所画图形进而分析得出即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）如图所示：△A3 B3C3，即为所求；
（4）与△A3 B3C3成轴对称的图形是△A2B2C2，对称轴是y 轴；
与△A1B1C1成中心对称的图形是△A3B3C3或△ABC．
故答案为：△A2B2C2，y 轴，△A3B3C3或△ABC．
【点评】此题主要考查了轴对称变换、旋转变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题
关键．
22．如图，△ABC 内接于⊙O，BC=4，CA=3，∠A
B=90°
﹣∠
，求⊙O 的半径．
【考点】圆周角定理；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】作直径BD，连结DC、DA，如图根据圆周角定理得∠BAD= BCD=90°
∠
，由于∠CAB
CBA=90°
﹣∠
，可得到∠CAD= CBA
∠
，则可证出∠CAD= CDA
∠
，所以CA=CD=3，然后在
Rt
BCD
△
中根据勾股定理计算出BD，从而可得到圆的半径．
【解答】解：作直径BD，连结DC、DA，如图，
BD
∵
为直径，
BAD= BCD=90°
∴∠
∠
，
CAB
CBA=90°
∵∠
﹣∠
，
CAD= CBA
∴∠
∠
，
而∠CBA= CDA
∠
，
CAD= CDA
∴∠
∠
，
CA=CD=3
∴
，
在Rt
BCD
△
中，∵BC=4，CD=3，
BD=
∴
=5，
B
O
∴⊙
的半径为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦
是直径．也考查了勾股定理．
23．某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出210 件；如果每件商品的售
价每上涨1 元，则每个月少卖10 件（每件售价不能高于65 元）．设每件商品的售价上涨x 元
（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200 元？根据以上结论，请你直接写
出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200 元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据题意可知y 与x 的函数关系式．
（2）根据题意可知y=
10
﹣
﹣（x
5.5
﹣
）2+2402.5，当x=5.5 时y 有最大值．
（3）设y=2200，解得x 的值．然后分情况讨论解．
【解答】解：（1）由题意得：y=（210
10x
﹣
）（50+x
40
﹣
）
=
10x
﹣
2+110x+2100（0＜x≤15 且x 为整数）；
（2）由（1）中的y 与x 的解析式配方得：y=
10
﹣
（x
5.5
﹣
）2+2402.5．
a=
10
∵
﹣
＜0，∴当x=5.5 时，y 有最大值2402.5．
0
∵＜x≤15，且x 为整数，
当x=5 时，50+x=55，y=2400（元），当x=6 时，50+x=56，y=2400（元）
∴当售价定为每件55 或56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400 元．
（3）当y=2200 时，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10．
∴当x=1 时，50+x=51，当x=10 时，50+x=60．
∴当售价定为每件51 或60 元，每个月的利润为2200 元．
当售价不低于51 或60 元，每个月的利润为2200 元．
当售价不低于51 元且不高于60 元且为整数时，每个月的利润不低于2200 元（或当售价分别
为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60 元时，每个月的利润不低于2200 元）．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．
24．如图，正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A，点G、E 分别在线段AD、AB 上．
（1）连接DF、BF，若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，
线段DF 与BF 的长始终相等”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明；
（2）若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转过程中，你能否找到一条
线段的长与线段DG 的长始终相等？并以图为例说明理由．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】几何图形问题；综合题．
【分析】（1）显然，当A，F，B 在同一直线上时，DF≠BF．
（2）注意使用两个正方形的边和90°的角，可判断出△DAG
BAE
≌△
，那么DG=BE．
【解答】解：（1）不正确．
若在正方形GAEF 绕点A 顺时针旋转45°，这时点F 落在线段AB 或AB 的延长线上．（或将
正方形GAEF 绕点A 顺时针旋转，使得点F 落在线段AB 或AB 的延长线上）．如图：
设AD=a，AG=b，
则DF=
＞a，
BF=|AB
AF|=|a
﹣
﹣
b|＜a，
DF
∴
＞BF，即此时DF≠BF；
（2）连接BE，可得△ADG
ABE
≌△
，
则DG=BE．如图，
∵四边形ABCD 是正方形，
AD=AB
∴
，
∵四边形GAEF 是正方形，
AG=AE
∴
，
又∵∠DAG+ GAB=90°
∠
，∠BAE+ GAB=90°
∠
，
DAG= BAE
∴∠
∠
，
DAG
BAE
∴△
△
≌
，
DG=BE
∴
．
【点评】注意点在特殊位置时所得到的关系，判断边相等，通常要找全等三角形．
25．如图，对称轴为直线x=
1
﹣的抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交点为A、B 两点．其中点A 的坐
标为（﹣3，0）
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与y 轴的交点为C，对称轴与x 轴交于D，抛物线的对称轴上是否存在点P，使
△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据对称轴与A 点坐标可立即求出B 点坐标，再根据A、B 两点坐标求出解析式；
（2）分类讨论：①以C 为等腰三角形的顶点；②以D 为等腰三角形的顶点．
【解答】解：
（1）∵抛物线的对称轴为x=
1
﹣，A（﹣3，0）为抛物线与x 轴的交点，B 为另一个交
点，
B
∵（1，0），
将A、B 两点坐标代入抛物线解析式得：
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x
3
﹣；
（2）∵D（﹣1，0），C（0，﹣3），
CD=
∴
，
①若DC=DP，如图1，
此时P 点的坐标为：（﹣1，
）、（﹣1，
）；
②若CD=CP，如图2，
此时P 点的坐标为：（﹣1，﹣6）；
综上所述，满足要求的P 点坐标有：（﹣1，
）、（﹣1，
）、（﹣1，﹣6）．
【点评】本题考查了待定系数法二次函数解析式、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，是
一道基础题．第（2）问体现分类讨论的思想，要注意考虑周全．
