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贵州省黔南州都匀开发区匀东中学九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共13 小题，每小題4 分，满分52 分）
1．点A（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）
B．（﹣3，2）
C．（3，﹣2）
D．（﹣2，﹣3）
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x
1=0
﹣
B．2x2
y
3=0
﹣﹣
C．x
y
﹣+2=0
D．3x2
2x
1=0
﹣
﹣
3．关于x 的一元二次方程x2
6x
﹣
+2k=0 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某县2013 年对教育的投入为2500 万元，2015 年对教育的投入为3500 万元，求该县2013
2015
﹣
年对教育投入的年平均增长率，假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，则依题
意所列方程正确的是（ ）
A．2500x2=3500
B．2500（1+x）2=3500
C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500
6．如图，已知⊙O 的直径CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC 的长度为（ ）
A．4
cm
B．3
cm
C．2
cm
D．
cm
7．如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB=90°，连接AB，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC 的顶点A、B、C 均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠ABC 的大小是（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．70°
9．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是
（ ）
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x=
C．当x＜
时，y 随x 的增大而减小
D．当﹣1＜x＜3 时，y＞0
11．一个袋子中装有6 个黑球3 个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看
不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，是张老师出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示
张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧
面爬行一周后回到点A 的最短路程是（ ）
A．8
B．10
C．15
D．20
二、填空题
14．一元二次方程（a+1）x2
ax
﹣
+a2
1=0
﹣
的一个根为0，则a=______．
15．边长为3 的正六边形的面积为______．
16．把x2
3x
﹣
+4 配成（x+h）2+k 的形式，则x2
3x
﹣
+4=______．
17．如图，AB 为⊙O 的直径，∠CDB=30°，则∠CBA=______．
18．甲、乙两人分别到A、B、C 三个餐厅的其中一个用餐，那么甲乙在同一餐厅用餐的概率是
______．
19．如图，直线y=
x+4 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，把△A0B 绕点A 顺时针旋转90°
后得到△AO′B′，则点B′的坐标是______．
三、解答题（共7 小题，共74 分）
20．解方程：
（1）x2+2x
3=0
﹣
（2）x2
2x=2x
﹣
+1．
21．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和
②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．
（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；
（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
22．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1 个单位，在Rt△ABC 中，
∠C=90°，AC=3，BC=6．
①试作出△ABC 以A 为旋转中心沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
②若点C 的坐标为（﹣4，﹣1），试建立合适的直角坐标系，并写出A，B 两点的坐标；
③在所建的直角坐标系中，作出与△ABC 关于原点对称的图形△A2B2C2．
23．我市某服装厂主要做外贸服装，由于技术改良，2011 年全年每月的产量y（单位：万件）与
月份x 之间可以用一次函数y=x+10 表示，但由于“欧债危机”的影响，销售受困，为了不使
货积压，老板只能是降低利润销售，原来每件可赚10 元，从1 月开始每月每件降低0.5 元．试
求：
（1）几月份的单月利润是108 万元？
（2）单月最大利润是多少？是哪个月份？
24．如图，已知Rt△ABC 中，∠ABC=90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再
把△ABC 沿射线平移至△FEG，DE、FG 相交于点H．
（1）判断线段DE、FG 的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG 是正方形．
25．如图，以等腰△ABC 中的腰AB 为直径作⊙O，交底边BC 于点D．过点D 作DE⊥AC，垂
足为E．
（I）求证：DE 为⊙O 的切线；
（II）若⊙O 的半径为5，∠BAC=60°，求DE 的长．
26．如图，已知二次函数y=
x
﹣2+bx+c 的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）当x 为何值时，y＞0？
（3）在x 轴上方作平行于x 轴的直线l，与抛物线交于C，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过
点C，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．
贵州省黔南州都匀开发区匀东中学
九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共13 小题，每小題4 分，满分52 分）
1．点A（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）
B．（﹣3，2）
C．（3，﹣2）
D．（﹣2，﹣3）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得
答案．
【解答】解：点A（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x
1=0
﹣
B．2x2
y
3=0
﹣﹣
C．x
y
﹣+2=0
D．3x2
2x
1=0
﹣
﹣
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、x
1=0
﹣
是一元一次方程，故A 错误；
B、2x2
y
3=0
﹣﹣
是二元二次方程，故B 错误；
C、x
y
﹣+2=0 是二元一次方程，故C 错误；
D、3x2
2x
1=0
﹣
﹣
是一元二次方程，故D 正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否
是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．关于x 的一元二次方程x2
6x
﹣
+2k=0 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】根的判别式．
【分析】关于x 的一元二次方程x2
6x
﹣
+2k=0 有两个不相等的实数根，即判别式△=b2
4ac
﹣
＞
0，即可确定k 的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2
4ac
﹣
＞0，即（﹣6）2
4
﹣×2k＞0，
解得k＜
，故选B．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与
原图重合．
5．某县2013 年对教育的投入为2500 万元，2015 年对教育的投入为3500 万元，求该县2013
2015
﹣
年对教育投入的年平均增长率，假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，则依题
意所列方程正确的是（ ）
A．2500x2=3500
B．2500（1+x）2=3500
C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据2013 年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2015 年教育经费支出额，列出方程即
可．
【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500．
故选B．
【点评】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化
后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间
的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．
6．如图，已知⊙O 的直径CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC 的长度为（ ）
A．4
cm
B．3
cm
C．2
cm
D．
cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AM 的长，再由勾股定理求出OM 的长，进而可得出
CM 的长，根据勾股定理即可得出AC 的长．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O 的直径CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，
∴OD=OC=OA=5cm，AM=
AB=4cm，
∴OM=
=
=3cm，
∴MC=OA
OM=5
3=2cm
﹣
﹣
，
∴AC=
=
=2
cm．
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7．如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB=90°，连接AB，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据S 阴影=S 扇形OAB
S
﹣
AOB
△
进行计算即可．
【解答】解：S 阴影=S 扇形AOB
S
﹣
AOB
△
=
﹣
=
π﹣
．
故选A．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S 阴影=S 扇形OAB﹣
S
AOB
△
是解答此题的关键．
8．如图，△ABC 的顶点A、B、C 均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠ABC 的大小是（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．70°
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC=
∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以
∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
【解答】解：∵∠ABC=
∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴
∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
∴∠ABC=30°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．
9．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据
对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，∴c＞0，
对称轴为x=
＞0，
∴a、b 异号，即b＞0．
故选D．
【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c 系数符号的确定．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是
（ ）
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x=
C．当x＜
时，y 随x 的增大而减小
D．当﹣1＜x＜3 时，y＞0
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；
根据图形直接判断B；
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，从而判断C；
根据图象，当x＜﹣1 或x＞2 时，抛物线落在x 轴的上方，则y＞0，进而判断D．
【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A 选项不符合题意；
B、∵抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=
，正确，故B 选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而
增大，正确，故C 选项符合题意；
D、由图象可知，当x＜﹣1 或x＞2 时，y＜0，错误，故D 选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象：y=ax2+bx+c 的图象为抛物线，可利用列表、描点、连线画
出二次函数的图象．也考查了二次函数的性质．
11．一个袋子中装有6 个黑球3 个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看
不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】概率公式．
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：6 个黑球3 个白球一共有9 个球，所以摸到白球的概率是
．
故选：B．
【点评】本题考查了概率的基本计算，摸到白球的概率是白球数比总的球数．
12．如图，是张老师出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示
张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】分别根据函数图象的实际意义可依次判断各个选项是否正确．
【解答】解：根据函数图象可知，张老师距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他
走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有D 符合题意．
故选D．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从
中获取准确的信息．
13．如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧
面爬行一周后回到点A 的最短路程是（ ）
A．8
B．10
C．15
D．20
【考点】圆锥的计算；平面展开-最短路径问题．
【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面
展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．
【解答】解：圆锥的底面周长=2π×5=10π，
设侧面展开图的圆心角的度数为n．
∴
=10π，
解得n=90，
圆锥的侧面展开图，如图所示：
∴最短路程为：
=20
，故选D．
【点评】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点
之间的线段的长度．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
二、填空题
14．一元二次方程（a+1）x2
ax
﹣
+a2
1=0
﹣
的一个根为0，则a=
1
．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0 且a2
1=0
﹣
，然后
解不等式和方程即可得到a 的值．
【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2
ax
﹣
+a2
1=0
﹣
的一个根为0，
∴a+1≠0 且a2
1=0
﹣
，
∴a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的整式
方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．
15．边长为3 的正六边形的面积为
．
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据题意画出图形，边长为3 的正六边形可以分成六个边长为3 的正三角形，计算出
正六边形的面积即可．
【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵∠DOE=360°×
=60°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED=（180°
60°
﹣
）÷2=60°，
∴三角形ODE 为正三角形，
∴OD=OE=DE=3，
∴S
ODE
△
=
ODOEsin60°=
×3×3×
=
．
∴正六边形的面积=6×
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，构造出等边三角形是解答此题的关
键．
16．把x2
3x
﹣
+4 配成（x+h）2+k 的形式，则x2
3x
﹣
+4= （
x﹣
）
2 +
．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】根据完全平方公式得出=x2
3x
﹣
+（
）2﹣（
）2+4，即可得出答案．
【解答】解：x2
3x
﹣
+4
=x2
3x
﹣
+（
）2﹣（
）2+4
=（x﹣
）2+
，
故答案为：（x﹣
）2+
．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
17．如图，AB 为⊙O 的直径，∠CDB=30°，则∠CBA=
60°
．
【考点】圆周角定理．
【分析】连接AC，根据圆周角定理求出∠A 的度数，根据直径所对的圆周角是直角得到
∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接AC，
由圆周角定理得，∠A=∠CDB=30°，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠A=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相
等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
18．甲、乙两人分别到A、B、C 三个餐厅的其中一个用餐，那么甲乙在同一餐厅用餐的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式
求出该事件的概率．
【解答】解：画树状图得：
∴甲、乙两人一共有9 种用餐情况，
甲乙在同一餐厅用餐的情况有3 种，
∴甲乙在同一餐厅用餐的概率是
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
19．如图，直线y=
x+4 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，把△A0B 绕点A 顺时针旋转90°
后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 （
7 ，
3 ）
．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，B′的横坐标等于OA+OB，而纵坐标等
于OA，进而得出B′的坐标．
【解答】解：直线y=﹣
x+4 与x 轴，y 轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，
∵旋转前后三角形全等，∠O′AO=90°，∠B′O′A=90°
∴OA=O′A，OB=O′B′，O′B′∥x 轴，
∴点B′的纵坐标为OA 长，即为3，
横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7，
故点B′的坐标是（7，3），
故答案为：（7，3）．
【点评】本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点B 和点B′位置的特殊性，以及
点B′的坐标与OA 和OB 的关系．
三、解答题（共7 小题，共74 分）
20．解方程：
（1）x2+2x
3=0
﹣
（2）x2
2x=2x
﹣
+1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）首先把方程移项变形为x2
4x=1
﹣
的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一
半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵x2+2x
3=0
﹣
，
∴（x+3）（x
1
﹣）=0，
∴x+3=0 或x
1=0
﹣
，
∴x1=
3
﹣，x2=1；
（2）∵x2
2x=2x
﹣
+1，
∴x2
4x=1
﹣
，
∴x2
4x
﹣
+4=1+4，
∴（x
2
﹣）2=5，
∴x
2=
﹣
±
，
∴x1=2+
，x2=2﹣
．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握降次的方法，把二次化为一次，再
解一元一次方程．
21．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和
②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．
（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；
（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得恰好选派一男一女两位同学参赛的有8 种情况，然后利用概率公式求解即
可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有12 种等可能的结果；
（2）∵恰好选派一男一女两位同学参赛的有8 种情况，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：
=
．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完
成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1 个单位，在Rt△ABC 中，
∠C=90°，AC=3，BC=6．
①试作出△ABC 以A 为旋转中心沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
②若点C 的坐标为（﹣4，﹣1），试建立合适的直角坐标系，并写出A，B 两点的坐标；
③在所建的直角坐标系中，作出与△ABC 关于原点对称的图形△A2B2C2．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】①利用网格特点和旋转的性质画出点B、C 的对应点B1、C1即可；
②建立直角坐标系，然后写出点A、B 的坐标；
③根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A、B、C 的对应点A2、B2、C2，然后描点即可．
【解答】解：①如图，△AB1C1为所作；
②如图，A 点坐标为（﹣1，﹣1），B 点的坐标位（﹣4，3）；
③如图，△A2B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对
应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，
顺次连接得出旋转后的图形．
23．我市某服装厂主要做外贸服装，由于技术改良，2011 年全年每月的产量y（单位：万件）与
月份x 之间可以用一次函数y=x+10 表示，但由于“欧债危机”的影响，销售受困，为了不使
货积压，老板只能是降低利润销售，原来每件可赚10 元，从1 月开始每月每件降低0.5 元．试
求：
（1）几月份的单月利润是108 万元？
（2）单月最大利润是多少？是哪个月份？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】
（1）单月利润=每月的产量×（10
0.5
﹣
×相应的月份），把相关数值代入求解即可；
（2）根据（1）得到的关系式，利用配方法可得二次函数的最值问题．
【解答】解：（1）由题意得：（10
0.5x
﹣
）（x+10）=108，
0.5x
﹣
2+5x
8=0
﹣
，
x2
10x
﹣
+16=0，
（x
2
﹣）（x
8
﹣）=0，
x1=2，x2=8．
答：2 月份和8 月份单月利润都是108 万元．
（2）设利润为w，则
w=（10
0.5x
﹣
）（x+10）=
0.5x
﹣
2+5x+100=
0.5
﹣
（x
5
﹣）2+112.5，
所以当x=5 时，w 有最大值112.5．
答：5 月份的单月利润最大，最大利润为112.5 万元．
【点评】考查二次函数的应用；得到单月利润的关系式是解决本题的关键．
24．如图，已知Rt△ABC 中，∠ABC=90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再
把△ABC 沿射线平移至△FEG，DE、FG 相交于点H．
（1）判断线段DE、FG 的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG 是正方形．
【考点】旋转的性质；正方形的判定；平移的性质．
【分析】（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得
∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG 的位置关系是垂直；
（2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形
CBEG 是正方形．
【解答】（1）解：FG⊥ED．理由如下：
∵△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，
∴∠DEB=∠ACB，
∵把△ABC 沿射线平移至△FEG，
∴∠GFE=∠A，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠DEB+∠GFE=90°，
∴∠FHE=90°，
∴FG⊥ED；
（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，
∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠CBE=90°，
∴四边形BCGE 是矩形，
∵CB=BE，
∴四边形CBEG 是正方形．
【点评】此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中
的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
25．如图，以等腰△ABC 中的腰AB 为直径作⊙O，交底边BC 于点D．过点D 作DE⊥AC，垂
足为E．
（I）求证：DE 为⊙O 的切线；
（II）若⊙O 的半径为5，∠BAC=60°，求DE 的长．
【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【分析】（1）连接圆心和切点，只要证得∠ODB=90°即可．
（2）应得到DE 所在的三角形的一条线段的长和一个角的度数，利用三角函数求解即可．
【解答】（I）证明：连接AD，连接OD；
∵AB 是直径，
∴AD⊥BC，
又∵△ABC 是等腰三角形，
∴D 是BC 的中点．
∴OD∥AC，DE⊥AC．
∴OD⊥DE．
∴DE 为⊙O 的切线．
（II）解：∵在等腰△ABC 中，∠BAC=60°，
∴△ABC 是等边三角形．
∵⊙O 的半径为5，
∴AB=BC=10，
．
∴
．
【点评】连接圆心和切点，做直径所对的圆周角是常用的辅助线方法；需注意利用直角三角形
的三角函数来进行求解．
26．如图，已知二次函数y=
x
﹣2+bx+c 的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）当x 为何值时，y＞0？
（3）在x 轴上方作平行于x 轴的直线l，与抛物线交于C，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过
点C，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式，再用配方法或公式法求出对称轴即可；
（2）求出二次函数与x 轴交点坐标即可，再利用函数图象得出x 取值范围；
（3）利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y=
x
﹣2+bx+c 的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点．
∴
，
解得：
，
∴y=
x
﹣2+2x+7，
=﹣（x2
2x
﹣
）+7，
=﹣[（x2
2x
﹣
+1）﹣1]+7，
=﹣（x
1
﹣）2+8，
∴对称轴为：直线x=1．
（2）当y=0，
0=﹣（x
1
﹣）2+8，
∴x
1=
﹣
±2
，
x1=1+2
，x2=1
2
﹣
，
∴抛物线与x 轴交点坐标为：（1
2
﹣
，0），（1+2
，0），
∴当1
2
﹣
＜x＜1+2
时，y＞0；
（3）当矩形CDEF 为正方形时，
假设C 点坐标为（x，﹣x2+2x+7），
∴D 点坐标为（﹣x2+2x+7+x，﹣x2+2x+7），
即：（﹣x2+3x+7，﹣x2+2x+7），
∵对称轴为：直线x=1，D 到对称轴距离等于C 到对称轴距离相等，
∴﹣x2+3x+7
1=
x
﹣
﹣+1，
解得：x1=
1
﹣，x2=5（不合题意舍去），
x=
1
﹣时，﹣x2+2x+7=4，
∴C 点坐标为：（﹣1，4）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及利用图象观察函数值和正方形性
质等知识，根据题意得出C、D 两点坐标之间的关系是解决问题的关键．
