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辽宁省丹东市2021 中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3 分，共24 分）
1.
的相反数是（ ）
A. 5
B.
C.
D. 0.5
2. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 若一组数据1，3，4，6，m 的平均数为4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 4，6
B. 4，4
C. 3，6
D. 3，4
5. 若实数k、b 是一元二次方程
的两个根，且
，则一次函数
的图象不经
过（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6. 如图，在矩形
中，连接
，将
沿对角线
折叠得到
交
于点O，
恰好平分
，若
，则点O 到
的距离为（ ）
A.
B. 2
C.
D. 3
7. 如图，点A 在曲线到
上，点B 在双曲线
上，
轴，点C 是x 轴上一点，
连接
、
，若
的面积是6，则k 的值（ ）
A
B.
C.
D.
8. 已知抛物线
，且
．判断下列结论：①
；
②
；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当
时，
；⑤该抛物线
与直线
有两个交点，其中正确结论的个数（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
第二部分 主观题
二、填空题（每小题3 分，共24 分）
9. 按照现行贫困标准计算，中国770000000 村贫困人口摆脱贫困，将数据770000000 用科学记数法表示
_________．
10. 在函数
中，自变量x 的取值范围_________．
11. 分解因式：
＝________．
12. 关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．
13. 不等式组
无解，则m 的取值范围_________．
14. 如图，在
中，
的垂直平分线交
于点D，交
于点
，点F 是
的中点，
连接
、
，若
，则
的周长为_________．
15. 如图，在矩形
中，连接
，过点C 作
平分线
的垂线，垂足为点E，且交
于点F；过点C
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作
平分线
的垂线，垂足为点H，且交
于点G，连接
，若
，
，则线段
的长
度为_________．
16. 已知：到三角形3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果
是锐角（或直角）三
角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足
．（例如：等边三角形的费
马点是其三条高的交点）．若
，P 为
的费马点，则
_________；若
，P 为
的费马点，则
_________．
三、（每小题8 分，共16 分）
17. 先化简，再求代数式
值：
，其中
．
18. 如图，在
中，点O 是
的中点，连接
并延长交
的延长线于点E，连接
、
．
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）若
，判断四边形
形状，并说明理由．
四、（每小题10 分，共20 分）
19. 某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解
学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查（每人只能选择一种体育活动），并绘制成
如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
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（1）求这次抽样调查的学生有多少人？
（2）求出B 所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）若该校有800 名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B 的人数．
20. 一个不透明的袋子中装有4 个只有颜色不同的小球，其中2 个红球，2 个白球，摇匀后从中一次性摸出
两个小球．
（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公
平吗？请说明理由．
五、（每小题10 分，共20 分）
21. 为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，
已知乙队比甲队每天少改造20 米，甲队改造400 米的道路与乙队改造300 米的道路所用时间相同，求甲、
乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？
22. 如图，
是
外接圆，点D 是
的中点，过点D 作
分别交
、
的延长线于点E 和
点F，连接
、
，
的平分线
交
于点M．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
，求线段
的长．
六、（每小题10 分，共20 分）
23. 如图，一架无人机在空中A 处观测到山顶B 的仰角为
，山顶B 在水中的倒影C 的俯角为
，
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此时无人机距水面的距离
米，求点B 到水面距离
的高度．
（参考数据：
，
，
，
，
，
）
24. 某超市销售一种商品，每件成本为50 元，销售人员经调查发现，销售单价为100 元时，每月的销售量
为50 件，而销售单价每降低2 元，则每月可多售出10 件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范
围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000 元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为
了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
七、（本题12 分）
25. 已知,在正方形
中,点M､N 为对角线
上的两个动点,且
,过点M、N 分别作
､
的垂线
相交于点E,垂足分别为F､G,设
的面积为
,
的面积为
,
的面积为
．
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（1）如图（1）,当四边形
为正方形时,
①求证:
;
②求证:
;
（2）如图（2）,当四边形
为矩形时,写出
,
,
三者之间的数量关系,并说明理由;
（3）在（2）的条件下,若
,请直接写出
的值．
八、（本题14 分）
26. 如图，已知点
，点
，直线
过点B 交y 轴于点C，交x 轴于点D，抛物线
经过点A、C、D，连接
、
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断
的形状，并说明理由；
（3）E 为直线
上方的抛物线上一点，且
，求点E 的坐标；
（4）N 为线段
上的动点，动点P 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿线段
运动到点N，再以每
秒
个单位长度的速度沿线段
运动到点C，又以每秒1 个单位长度的速度沿线段
向点O 运动，当点P
运动到点O 后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N 的坐标．
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