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2021 年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共12 个小题，每小题3 分，满分36 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 8 的相反数是（ ）
A.
B. 8
C.
D.
2. 2021 年2 月25 日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000 农村
贫困人口全部脱贫．数98990000 用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 下列运算结果为
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 下列计算正确
是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6 名同学的成绩
（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 众数是82
B. 中位数是84
C. 方差是84
D. 平均数是85
7. 如图是由6 个相同
正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）．
A.
B.
C.
D.
8. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯
的倾斜角为
，大厅两层之间的距离
为
6 米，则自动扶梯
的长约为（
）（ ）．
A. 7.5 米
B. 8 米
C. 9 米
D. 10 米
9. 下列命题是真命题的是（ ）．
A. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B. 正六边形的每一个内角为
C. 有一个角是
三角形是等边三角形
D. 对角线相等的四边形是矩形
10. 不等式组
解集在数轴上可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式
B. 某彩票的中奖机会是1%，买100 张一定会中奖
C. 从装有3 个红球和4 个黑球的袋子里摸出1 个球是红球的概率是
D. 某校有3200 名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200 名学生，其中有85 名学
生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360 人
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12. 如图，矩形纸片
，点M、N 分别在矩形的边
、
上，将矩形纸片沿直线
折叠，使点C 落在矩形的边
上，记为点P，点D 落在G 处，连接
，交
于点Q，连接
．下列结论：①四边形
是菱形；②点P 与点A 重合时，
；③
的面积S 的取值
范围是
．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③
B. ①②
C. ①③
D. ②③
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分．）
13. 要使二次根式
有意义，则
的取值范围是________．
14. 计算：
=_____
15. 因式分解：
__________．
16. 底面半径为3，母线长为4 的圆锥的侧面积为__________．（结果保留
）
17. “绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000 棵．由于志愿者的加入，实际每天植
树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3 天完成任务．则实际每天植树__________棵．
18. 如图1，菱形
的对角线
与
相交于点O，P、Q 两点同时从O 点出发，以1 厘米/秒的速
度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为
，点Q 的运动路线为
．
设运动的时间为x 秒，P、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2 所示，当点P 在
段上运动且P、Q 两点间的距离最短时，P、Q 两点的运动路程之和为__________厘米．
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三、解答题（本大题共8 个小题，19～20 题每题6 分，21～24 题每题8 分，25 题10 分，26
题12 分，满分66 分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．）
19. 计算：
．
20. 如图，点A、B、D、E 在同一条直线上，
．求证：
．
21. “垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020 年起，我市将生活
垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情
况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．
（1）图中其他垃圾所在
扇形的圆心角度数是 度；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2 万元．若我市某天生活垃圾清运总量为
500 吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2 名学生参赛．甲
班经选拔后，决定从2 名男生和2 名女生中随机抽取2 名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女
的概率．
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22. 如图，点E 为正方形
外一点，
，将
绕A 点逆时针方向旋转
得到
的延长线交
于H 点．
（1）试判定四边形
的形状，并说明理由；
（2）已知
，求
的长．
23. 如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节
扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度
忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为
，单层部分的长度为
．经测量，得到下表中数据．
双层部分长度
2
8
14
20
单层部分长度
148
136
124
112
（1）根据表中数据规律，求出y 与x 的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为
时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；
（3）设背带长度为
，求L 的取值范围．
24. 如图，
是
的直径，D 为
上一点，E 为
的中点，点C 在
的延长线上，且
．
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（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，求
的长．
25. 如图，
的顶点坐标分别为
，动点P、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴
正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3 个单位和每秒2 个单位，点P 到达点B 时点P、Q 同时停止运
动．过点Q 作
分别交
、
于点M、N，连接
、
．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；
（2）求四边形
面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形
的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不
存在，请说明理由；
（4）连接
，当
时，求点N 到
的距离．
26. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如
……都是“雁点”．
（1）求函数
图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线
上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x 轴交于M、N 两点（点M 在点
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N 的左侧）．当
时．
①求c 的取值范围；
②求
的度数；
（3）如图，抛物线
与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线
上一点，连接
，以点P 为直角顶点，构造等腰
，是否存在点P，使点C 恰
好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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