文档文本内容
数学
第Ⅰ卷 选择题（共30 分）
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.下面有理数比较大小，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这
些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是
（ ）
A．《九章算术》 B．《几何原本》 C．《海岛算经》 D．《周髀算经》
3.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.近年来快递业发展迅速，下表是
年
月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万
件）：
太原市
大同市
长治市
晋中市
运城市
临汾市
吕梁市
月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ）
A．
万件 B．
万件 C．
万件 D．
万件
6.黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西
千米处，是黄河上最具气势的
自然景观.其落差约
米，年平均流量
立方米/秒.若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记
数法表示为（ ）
A．
立方米/时 B．
立方米/时
C．
立方米/时 D．
立方米/时
7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色
后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.如图，在
中，
，
，
，将
绕点
按逆时针方向旋转得到
，此时点
恰好在
边上，则点
与点
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.用配方法将二次函数
化为
的形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.如图，正方形
内接于
，
的半径为
，以点
为圆心，以
长为半径画弧交
的延长
线于点
，交
的延长线于点
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90 分）
二、填空题（本大题共5 个小题，每小题3 分，共15 分）
11.计算：
．
12.图1 是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，
代表一种自然和谐美.图2 是从图1 冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则
度．
13.
年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高之和不超过
.某厂家生产符
合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为
，长与宽的比为
，则符合此规定的行李箱的高的最大值为
．
14.如图，直线
，直线
分别与
，
相交于点
，.小宇同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点
为圆心，以任意长为半径作弧交
于点
，交
于点
；②分别以
，
为圆心，以大于
长为半径作弧，两弧在
内交于点
；③作射线
交
于点
.若
，
，
则线段
的长为 ．
15.如图，在
中，
，
，
，点
是
的中点，以
为直径作
，
分别与
，
交于点
，
，过点
作
的切线
，交
于点
，则
的长为 ．
三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.计算：（1）
.
（2）
.
17.如图，一次函数
的图象分别与
轴，
轴相交于点
，
，与反比例函数
的图象相交于点
，
.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当
为何值时，
；
（3）当
为何值时，
，请直接写出
的取值范围.
18.在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目
为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年
级学生中随机抽取了
名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图
（均不完整）.
请解答下列问题：
（1）请补全条形统计图和扇形统计图；
（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？
（3）若该校七年级学生共有
人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？
（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项
目的女生的概率是多少？
19.祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设
对直线型斜拉索，造型新
颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作
为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表.
项目
内 容
课题
测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示意图
说明：两侧最长斜拉索
，
相交于点
，分别与桥面交于
，
两点，且点
，
，
在同一竖直平面内.
测量数据
的度数
的度数
的长度
米
…
…
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点
到
的距离（参考数据：
，
，
，
，
，
）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.
20.
年月
日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性
更好.已知“太原南—北京西”全程大约
千米，“复兴号”
次列车平均每小时比某列“和谐号”列
车多行驶
千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的
（两列车中途停留时间均除外）.经查询，
“复兴号”
次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留
分钟.求乘坐“复兴号”
次
列车从太原南到北京西需要多长时间.
21.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去.著名
美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一
个三角形
的
和
两边上分别取一点
和
，使得
.（如图）解
决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在
上作出一点
，使得
，连接
.第二步，在
上取一点
，作
，交
于点
，并在
上取一点
，使
.第三步，过点
作
，交
于点
.第四步，过点
作
，交
于点
，再过点
作
，交
于点
.
则有
.
下面是该结论的部分证明：
证明：∵
，∴
，
又∵
.∴
.
∴
.
同理可得
.∴
.
∵
，∴
.
任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形
的形状，并加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成
的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形
放大得到四边形
，从而确定了点
，
的位置，这里运用了下面一种图形的变化是________.
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
22.综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形
中，
，
是
延
长线上一点，且
，连接
，交
于点
，以
为一边在
的左下方作正方形
，连接
.试判断线段
与
的位置关系.
探究展示：勤奋小组发现，
垂直平分
，并展示了如下的证明方法：
证明：∵
，∴
.
∵
，∴
.
∵四边形
是矩形，∴
.
∴
.（依据1）
∵
，∴
.∴
.
即
是
的
边上的中线，
又∵
，∴
.（依据2）
∴
垂直平分
.
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1 中的点
是否在线段
的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接
，以
为一边在
的左下方作正方形
，发现点
在线段
的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3，连接
，以
为一边在
的右上方作正方形
，可以发现点
，点
都在线段
的
垂直平分线上，除此之外，请观察矩形
和正方形
的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边
的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明.
23.综合与探究
如图，抛物线
与
轴交于
，
两点（点
在点
的左侧），与
轴交于点
，连接
，
.点
是第四象限内抛物线上的一个动点，点
的横坐标为
，过点
作
轴，垂足为点
，
交
于点
，过点
作
交
轴于点
，交
于点
.
（1）求
，
，
三点的坐标；
（2）试探究在点
运动的过程中，是否存在这样的点
，使得以
，，为顶点的三角形是等腰三角形.若
存在，请直接写出此时点
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含
的代数式表示线段
的长，并求出
为何值时
有最大值.
试卷答案
一、选择题
1-5: BBDCC 6-10: CADBA
二、填空题
11.
12.
13.
14.
15.
三、解答题
16.（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
17. 解：（1）∵一次函数
的图象经过点
，
，
∴
，
解得
.
∴一次函数的表达式为
.
∵反比例函数
的图象经过点
，∴
.∴
.
∴反比例函数的表达式为
.
（2）由
,得
.
∴
.∴当
时，
.
（3）
或
.
18.解：（1）
（2）
.
答：男生所占的百分比为
.
（3）
（人）.
答：估计其中参加“书法”项目活动的有
人.
（4）
.
答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为
.
19.解：（1）过点
作
于点
.
设
米，在
中，
，
.
∵
，∴
.
在
中，
，
.
∵
，∴
.
∵
，∴
.
解得
.
答：斜拉索顶端点
到
的距离为
米.
（2）答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等.
20.解法一：设乘坐“复兴号”
次列车从太原南到北京西需要
小时，
由题意，得
.
解得
.
经检验，
是原方程的根.
答：乘坐“复兴号”
次列车从太原南到北京西需要
小时.
解法二：设“复兴号”
次列车从太原南到北京西的行驶时间需要
小时，
由题意，得
.
解得
.
经检验，
是原方程的根.
（小时）.
答：乘坐“复兴号”
次列车从太原南到北京西需要
小时.
21.解：（1）四边形
是菱形.
证明：∵
，
，∴四边形
是平行四边形.
∵
，∴
是菱形.
（2）证明：∵
，∴
.
∵
，∴
.
∴
.∴
.
∵四边形
是菱形，∴
.
∴
.
（3）
（或位似）.
22.（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）.
依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）.
②答：点
在线段
的垂直平分线上.
（2）证明：过点
作
于点
，
∵四边形
是矩形，点
在
的延长线上，
∴
，∴
.
∵四边形
为正方形，
∴
，
，∴
.∴
.
∴
.
∴
，∵四边形
是矩形，∴
.
∵
，
，∴
，∴
.
∴
垂直平分
.∴点
在
的垂直平分线上.
（3）答：点
在
边的垂直平分线上（或点
在
边的垂直平分线上）.
证法一：过点
作
于点
，过点
作
于点
.
∴
。
∵四边形
是矩形，点
在
的延长线上，
∴
，∴四边形
为矩形.
∴
，
.∴
.
∵四边形
为正方形，
∴
，
.∴
.
∴
.∵
，
∴
.
∴
.∴
.
∵四边形
是矩形，∴
.
∵
，
.∴
.∴
.
∴
垂直平分
.∴点
在
边的垂直平分线上.
证法二：过
作
交
的延长线于点
，连接
，
.
∵四边形
是矩形，点
在
的延长线上，
∴
.∴
.
∵四边形
为正方形，∴
，
.∴
.∴
.
∴
.
∴
，
.
∵四边形
是矩形，∴
.
∵
，
.∴设
，则
，
，
∴
.
.
.
∴
.∴点
在
边的垂直平分线上.
23.解：（1）由
，得
.
解得
，
.
∴点
，
的坐标分别为
，
.
由
，得
.∴点
的坐标为
.
（2）答：
，
.
（3）解：过点
作
于点
，
则
轴.由
，
，得
为等腰直角三角形.
∴
.∴
.
∵
，∴
.
∵
轴，∴
.∴
.
∵
，∴
.
∴
，即
.
∴
.
∴
.∴
.
∵
轴，点
的横坐标为
，
，
∴
，
.
∴
.
∴
.
∵
，∴
有最大值.∴当
时，
有最大值.
解法二：提示，先分别求出
和
关于
的代数式，再由
得到
关于
的代数式.
