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2021 年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，
请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1. 2021 的倒数是（ ）
A. 2021
B. －2021
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据倒数的定义就可选出正确答案．
【详解】A：倒数是本身的数是1 和
,选项错误．
B：
是2021 的相反数,选项错误．
C：
,选项正确．
D：
,选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查倒数的定义，要注意区别相反数等相关知识，牢记定义是解题的关键．
2. 下列式子正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘;同底数幂相乘，底数不变指数相加;合并同类项法则．对各
选项分析判断后利用排除法求解选择正确选项即可．
【详解】A、
，因为
不属于同类项，不能进行加减合并，故A 错误；
B、
,故B 正确；
C、
，故C 错误；
D、
，故D 错误．
故选：B．
【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3. 2021 年5 月19 日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5 万名数学
爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风
尚．5 万用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10 n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．
【详解】解：5 万=50000=
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a 与n 的值是解题的关键．
4. 一组数据
的中位数和众数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两
个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：5,5,8,10,15,17，
因此中位数为：
，众数为：5，
故选：C．
【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，熟悉基础概念是解题的关键．
5. 如图，点
在矩形
的对角线
所在的直线上，
，则四边形
是（ ）
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2
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形
状．
【详解】解：由题意：
，
，
又
，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定定理及性质、平行四边形的判定，解题的关键是：掌
握平行四边形判定定理，利用三角形全等去得出相应条件．
6. 如图，
，点
在
边上，已知
，则
的度数为
（ ）
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3
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】取
的交点为点
，过点
作平行于
的线
，利用两直线平行的性质，找到角之
间的关系，通过等量代换即可求解．
【详解】解：取
的交点为点
，过点
作平行于
的线
，如下图：
根据题意：
，
，
，
，
，
，
相交于点
，
，
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4
，
故选：C．
【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直
线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．
7. 从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取
一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A.
B.
C.
D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称
图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：
分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是
轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆；
现从中任意抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为
，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，解题的关键是：首先判断出既是轴对称图形，又是中心对称图形的
图形，然后利用概率公式求解．
8.
是某三角形三边的长，则
等于（ ）
A.
B.
C. 10
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形三边的关系求出
的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：
是三角形的三边，
，
解得：
，
，
故选：D．
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5
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出
的范围，再对二次根式化
简．
9. 如图，直线
和
与x 轴分别相交于点
，点
，则
解集为（
）
A.
B.
C.
D.
或
【答案】A
【解析】
【分析】根据图像以及两交点
，点
的坐标得出即可．
【详解】解：∵直线
和
与x 轴分别相交于点
，点
，
∴观察图像可知
解集为
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键．
10. 如图，直角坐标系中，以5 为半径的动圆的圆心A 沿x 轴移动，当⊙
与直线
只有一个公
共点时，点A 的坐标为（ ）
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6
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】当⊙
与直线
只有一个公共点时，则此时⊙A 与直线
相切，（需考虑左右
两侧相切的情况）；设切点为
，此时
点同时在⊙A 与直线
上，故可以表示出
点坐标，过
点作
，则此时
，利用相似三角形的性质算出
长度，最终得出结论．
【详解】如下图所示，连接
，过
点作
，
此时
点坐标可表示为
，
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7
∴
，
，
在
中，
，
又∵
半径为5，
∴
，
∵
，
∴
，
则
，
∴
，
∴
，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A 点坐标为
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
11. 根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数
（a 为常数且
）的性质表述中，正确的是（ ）
①y 随x 的增大而增大；②y 随x 的增大而减小；③
；④
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
【答案】A
【解析】
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8
【分析】该函数可改写为
（a 为常数且
），此时可
以类比反比例函数的性质进行判断，或者利用赋值法也可快速进行选择，选择正确的选项即可．
【详解】解：
，
又∵
，
∴随着x 的增大，
也会随之增大，
∴
随着x 的增大而减小，
此时
越来越小，则
越来越大，
故随着x 的增大y 也越来越大．
因此①正确，②错误；
∵
，
∴
，
∴
，
故
，
因此③正确，④错误；
综上所述，A 选项符合．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是将已知函数的形式进行化简整理转化为反比例
函数进行判断．
12. 用数形结合等思想方法确定二次函数
的图象与反比例函数
的图象的交点的横坐标
所在的范围是（ ）
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9
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标
所在的范围．
【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：
由图知，显然
，
当
时，将其分别代入
与
计算得；
，
，
此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，
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10
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是：准确画出函数的图象，再通过关键点
得出答案．
二、填空题（本大题共6 小题）
13. 函数
中，自变量
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方
数为非负数．
【详解】由题意得：x-1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了函数自变量
取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函
数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数
解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达
式有意义外，还要保证实际问题有意义．
14. 如图所示的扇形中，已知
，则
________．
【答案】100．
【解析】
【分析】先在小扇形中利用扇形弧长公式求解出圆心角度数，再在大扇形中利用公式求解出弧长即可．
【详解】解：设扇形圆心角度数为n°，
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11
∵
，
∴在扇形
中，
，
解得：
，
∴在扇形
中，
,
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，解题的关键是利用圆心角大小不变并熟悉弧长公式进行求解．
15. 如图，
中，
是
上任意一点，
于点
于点F，若
，则
________．
【答案】1
【解析】
【分析】将
的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出
的值．
【详解】解：连接
，如下图：
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12
于点
于点
，
，
，
，
故答案是：1．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将
的面
积拆成两个三角形面积之和来解答．
16. 已知
，则
________．
【答案】3．
【解析】
【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．
【详解】解：
，
又∵
，
∴
，
则
，
故答案为：3．
【点睛】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简
便运算．
17. 高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．
如图，用平行四边形
表示一个“鱼骨”，
平行于车辆前行方向，
，过B
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13
作
的垂线，垂足为
（A 点的视觉错觉点），若
，则
________
．
【答案】15．
【解析】
【分析】根据同角的余角相等得到
，进一步根据三角函数求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵
且四边形
为平行四边形，
∴
，
，
又∵
,
∴
，
∴
，
∴
,
又∵
，
∴
mm．
故答案为：15．
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角
函数关系求值．
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14
18. 弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1 弧度角，记作
．
已知
，则
与
的大小关系是
________
．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1 弧度角，记作
，当
时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1 弧度角，记作
，
当
时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：
．
【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
三、解答题（本大题共2 小题）
19. 计算：
．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．
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15
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算法则，
解题的关键是：掌握相关的运算法则．
20. 先化简，再求值：
，其中x 是
中的一个合适的数．
【答案】
，
．
【解析】
【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x 值代入计算即可．
【详解】解：
，
∵
，
，
∴
，
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16
原式
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．
四、解答题（本大题共2 小题）
21. “读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径．学校图书馆计划购
进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A 文史类、B 科普类、C 生活类、D 其它”的喜欢程度，随机
抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了如下不完整的
统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：
统计表：
频数
频率
A 历史
类
50
m
B 科普
类
900
0.45
C 生活
类
n
0.20
D 其它
20
0 10
合计
（1）本次调查的学生共_______人；
（2）
_______，
_______；
（3）补全条形统计图．
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17
【答案】（1）200；（2）0.25，40；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）用“科普类”的频数÷频率，即可求解；
（2）用50÷200 可得m 的值，用200×0.2，可得n 的值；
（3）利用（2）的数据，从而补全条形图．
【详解】解：（1）本次调查的学生有：90÷0.45=200（名），
故答案是：200；
（2）m=50÷200=0.25，n=200×0.2=40；
（3）补全直方图如图所示：
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18
．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图以及频数分布表，准确找出相关数据，是解题的关键．
22. 我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021 年5 月29 日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点
A 处时，在P 处测得A 点的仰角
为
且A 与P 两点的距离为6 千米，它沿铅垂线上升75 秒后到达
B 处，此时在P 处测得B 点的仰角
为
，求天舟二号从A 处到B 处的平均速度．（结果精确到
，取
）
【答案】
【解析】
【分析】根据在P 处测得A 点的仰角
为
且A 与P 两点的距离为6 千米，可以求出
的长，再
根据此时在P 处测得B 点的仰角
为
，
为等腰直角三角形，可以间接求出
的长，
再利用平均速度的计算公式即可求解．
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19
【详解】解：根据在P 处测得A 点的仰角
为
且A 与P 两点的距离为6 千米知；
在
中，
，
(千米)，
，
又由在P 处测得B 点的仰角
为
，
为等腰直角三角形，
，
（千米），
天舟二号从A 处到B 处的平均速度为：
，
答：天舟二号从A 处到B 处的平均速度为
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：掌握仰角俯角的定义．
五、解答题（本大题共2 小题）
23. 为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两
种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1 个甲种纪念品和2 个乙种纪念品共需20 元，购买2 个
甲种纪念品和5 个乙种纪念品共需45 元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；
（2）若要购买这两种纪念品共100 个，投入资金不少于766 元又不多于800 元，问有多少种购买方案？并
求出所花资金的最小值．
【答案】（1）购进甲种纪念品每个需要10 元，乙种纪念品每个需要5 元；（2）共有7 种进货方案；所花
资金的最小值为770 元．
【解析】
【分析】（1）设购进甲种纪念品每个需要x 元，乙种纪念品每个需要y 元，根据“购买1 个甲种纪念品和
2 个乙种纪念品共需20 元；购买2 个甲种纪念品和5 个乙种纪念品共需45 元”，即可得出关于x、y 的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种纪念品m 个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为
元，根据总价=单价×数量
得到
关于m 的函数解析式，结合进货资金不少于766 元且不超过800 元，即可得出关于m 的一元一次不
等式组，解之即可得出m 的取值范围，再由m 为整数即可找出各进货方案，利用一次函数的性质从而得出
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20
答案．
【详解】解：（1）设购进甲种纪念品每个需要x 元，乙种纪念品每个需要y 元，
根据题意得：
，
解得：
；
答：购进甲种纪念品每个需要10 元，乙种纪念品每个需要5 元；
（2）设购进甲种纪念品m 个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为
元，
∴
，
根据题意得：
，
解得：53.2≤m≤60．
∵m
整数，
∴m=54、55、56、57、58、59 或60．
∴共有7 种进货方案；
∵5>0，
∴
随m 的增大而增大，
∴m=54 时，
有最小值，最小值为770 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据各数量间的关系，正确列出
关于m 的函数解析式和一元一
次不等式组．
24. 如图，点A 在以
为直径的⊙
上，
的角平分线与
相交于点E，与⊙
相交于点D，延
长
至M，连结
，使得
，过点A 作
的平行线与
的延长线交于点N．
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21
（1）求证：
与⊙
相切；
（2）试给出
之间的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）见详解；（2）
．
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90°，
，以及
是
的角平分线，推导出各个
角度之间的关系，等量代换即可证出；
（2）由圆周角相等推导出所对应的弧相等进一步得到弦相等，据此得出
为等腰三角形，再根据
以及（1）中的
，进一步通过推导角度关系得到
，
为等腰三角形，再根据子母型相似得到
∽
，最终根据相似三角形的性质即可得出
．
【详解】（1）如图所示，
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22
∵
,
是
的角平分线，
∴
，
，
又∵
为直径，
∴
，
∴
,
∴
，
即
与⊙
相切．
（2）∵
，
∴
，
∴
∴
，
∴
为等腰三角形，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，且由（1）可得
，
，
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23
∴
，
即
，
∴
为等腰三角形，
在
和
中，
，
∴
∽
，
∴
，
∴
，
又∵
，
故：
．
【点睛】本题考察了圆的综合应用，切线的证明，等腰三角形的性质，直角三角形的性质及判定以及相似
三角形的性质及判定等知识点，综合运用以上性质定理是解题的关键．
六、综合题（本大题共2 小题）
25. 如图①，
是等腰
的斜边
上的两动点，
且
．
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24
（1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）如图②，作
，垂足为H，设
，不妨设
，请利用（2）
的结论证明：当
时，
成立．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．
【解析】
【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE 即可；
（2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可证△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF
中，根据勾股定理，
即可；
（3）将△ABE 逆时针绕点A 旋转90°到△ACD，由△ABC 为等腰直角三角形，可求∠DCF=90°，由
，在Rt△ABC 中由勾股定理
，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH= ，可表示EF= tanα+
tanβ,BE =1-tanα,CF= 1-tanβ，可证△AEF≌△ADF（SAS），得到EF=DF，由
可得
，整理即得结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵CD⊥BC，
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25
∴∠DCB=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，
在△ABE 和△ACD 中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，
在△AEF 和△ADF 中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF 中，根据勾股定理，
，
即
；
（3）证明：将△ABE 逆时针绕点A 旋转90°到△ACD，连结FD，
∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，
∵
，
∴AC=
，
在Rt△ABC 中由勾股定理
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26
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=AH=
，
∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，
在△AEF 和△ADF 中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF 中，
即
，
∴
，
整理得
，
即
，
∴
，
∴
，
∴
．
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27
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，三角形旋转变换，勾股定理，锐角三
角函数及其公式推导，掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键．
26. 如图，在直角坐标系中，二次函数
的图象与x 轴相交于点
和点
，与y
轴交于点C．
（1）求
的值；
（2）点
为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线
于点Q．
①当
时，求当P 点到直线
的距离最大时m 的值；
②是否存在m，使得以点
为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求
出m 的值．
【答案】（1）b=
，c=
；（2）①
；②不存在，理由见解析
【解析】
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【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴
，
解得：
，
∴b=
，c=
；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2
，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0<m<3，
∴PQ=m-( m2-2m-3)=-m2+3m+3=-
+
，
∵-1<0，
∴当
时，PQ 有最大值，最大值为
；
②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，
∴C（0，-3），
∴OB=OC=3，
由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵PQ∥OC，
当OC 为菱形的边，则PQ=OC=3，
当点Q 在点P 上方时，
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∴PQ=
，即
，
∴
，
解得
或
，
当
时，点P 与点O 重合，菱形不存在，
当
时，点P 与点B 重合，此时BC=
，菱形也不存在；
当点Q 在点P 下方时，
若点Q 在第三象限，如图，
∵∠COQ=45°，
根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P 与点A 重合，
此时OA=1
OC=3，菱形不存在，
若点Q 在第一象限，如图，
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同理，菱形不存
，
综上，不存在以点O、C、P、Q 为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握
方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．
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