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贵州省黔西南州牛场中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（以下每题只有一个答案是正确的，请把正确答案的代号填在相应的表格里，每小
题3 分，共30 分）
1．（3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x+y=1 B．x2+
1=0
﹣
C．x2=0 D．（x+1）（x+3）=x2
1
﹣
2．（3 分）抛物线y=3（x
2
﹣）2+3 的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．
（2，3）C．
（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
3．（3 分）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）将抛物线y=2x2向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y=2（x+1）2+2 B．y=2（x
1
﹣）2+2 C．y=2（x
1
﹣）2
2
﹣D．y=2（x+1）2
2
﹣
5．（3 分）方程x2
2x=0
﹣
的根是（ ）
A．x1=0，x2=
2
﹣
B．x1=0，x2=2 C．x=0 D．x=2
6．（3 分）用配方法解方程3x2
6x
﹣
+1=0，则方程可变形为（ ）
A．（x
3
﹣）2=
B．3（x
1
﹣）2=
C．（3x
1
﹣）2=1 D．（x
1
﹣）2=
7．（3 分）若A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2
2x
3
﹣
﹣的图象上的三点，则
y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
8．（3 分）贞丰县享有“中国花椒之乡”的赞誉，其中以北盘江镇顶坛花椒的品质最为出名．
据统计，2014 年贞丰北盘江镇花椒总产量约为4000 吨，经种植技术和管理水玉提高后，2016
年的总产量增长到6000 吨，设平均每年的年平均增长率均为x，则下列方程正确的是（ ）
A．6000（1+x）2=4000 B．4000（1+x）2=6000
C．4000（1
x
﹣）2=6000 D．6000（1
x
﹣）2=4000
9．（3 分）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3 分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2
4ac
﹣
＞0；（2）c＞1；（3）2a
b
﹣＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
二、填空题（本大题共10 小题，第小题3 分，共30 分）
11．（3 分）把方程x（x+3）﹣2x+1=5x
1
﹣化成一般形式为： ．
12．（3 分）方程（x+2）2
9=0
﹣
的解为： ．
13．（3 分）抛物线y=
2
﹣（x
1
﹣）2+3 可以通过抛物线y= 向 平移 个单位、再向
平移 个单位得到，其对称轴是 ．
14．（3 分）中心对称图形的旋转角是 ．
15．（3 分）方程x2+3x+1=0 的根的情况是： ．
16．（3 分）设x1、x2是方程2x2
x
1=0
﹣﹣
的两个根，则x1+x2= ，x1•x2= ．
17．（3 分）若y=（n2+n）x
是二次函数，则n= ．
18．（3 分）如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2
y=
②
x2
y=x
③
2的图象，则图象从里到外
的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．
19．（3 分）请写出一个开口向下，对称轴为直线x=1，且与y 轴的交点坐标为（0，2）的抛物线
的解析式 ．
20．（3 分）如图是一个三角形点阵图，从上向下有无数多行，其中第一行有1 个点，第二行有
2 个点…第n 行有n 个点，容易看出，10 是三角点阵中前4 行的点数和，则300 个点是前
行的点数和．
三、解答题（本大题共8 大题，共60 分）
21．（15 分）解下列方程
（1）x2
5x
6=0
﹣
﹣
（2）2（x
3
﹣）2=8
（3）4x2
6x
3=0
﹣
﹣
（4）（2x
3
﹣）2=5（2x
3
﹣）
22．（9 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1 个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点A
（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C 的图形．
（2）平移△ABC，使点A 的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图
形．
（3）若将△A1B1C 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
23．（10 分）阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0 时，如a=6 则|a|=|6|=6，故此时a 的绝对值是它本身；
当a=0 时，|a|=0，故此时a 的绝对值是零；
当a＜0 时，如a=
6
﹣则|a|=|
6
﹣|=﹣（﹣6），故此时a 的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
|a|=
问：（1）这种分析方法涌透了 数学思想．
（2）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式
的各种展开的情况．
（3）猜想
与|a|的大小关系．
（4）尝试用从以上探究中得到的结论来解决下面的问题：化简
（﹣
3≤x≤5）．
24．
（14 分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件赢利40 元．为了扩大销售，
商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1 元，商场平均每天可多售
出2 件．
（1）若使商场平均每天赢利1200 元，则每件衬衫应降价多少元？
（2）若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？
25．（12 分）已知：二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于A，B 两点，其中A 点坐标为（﹣3，
0），与y 轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD 的最小值；
（3）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP 的面积为6，求P 点坐标．
贵州省黔西南州牛场中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（以下每题只有一个答案是正确的，请把正确答案的代号填在相应的表格里，每小
题3 分，共30 分）
1．（3 分）（2014 秋•抚顺期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x+y=1 B．x2+
1=0
﹣
C．x2=0 D．（x+1）（x+3）=x2
1
﹣
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程
是一元二次方程，运用定义对每个方程进行分析，再作出准确的判断．
【解答】解：A：含有两个未知数，不是一元二次方程；
B：含有分母，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
C：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
D：化简后不含二次项，不是一元二次方程；
故本题选C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的
整式方程是一元二次方程．
2．（3 分）（2012 秋•东阳市期末）抛物线y=3（x
2
﹣）2+3 的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．
（2，3）C．
（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
【分析】根据抛物线顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y=3（x
2
﹣）2+3 的顶点坐标为（2，3）．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式解析式是解题的关键．
3．（3 分）（2015•呼和浩特一模）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合；轴对称图形
被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；据此判断出既是轴对称图形，又
是中心对称图形的是哪个即可．
【解答】解：∵选项A 中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，
∴选项A 不正确；
∵选项B 中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴此图形是中心对称图形，它也是轴对称图形，
∴选项B 正确；
∵选项C 中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，
∴选项C 不正确；
∵选项D 中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴此图形是中心对称图形，但它不是轴对称图形，
∴选项D 不正确．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了中心对称图形问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：把
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫
做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
（2）此题还考查了轴对称图形，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：轴对称图形是针对一
个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，
互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
4．（3 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）将抛物线y=2x2向左平移1 个单位，再向下平移2 个单
位，得到的抛物线是（ ）
A．y=2（x+1）2+2 B．y=2（x
1
﹣）2+2 C．y=2（x
1
﹣）2
2
﹣D．y=2（x+1）2
2
﹣
【分析】求出抛物线平移后的顶点坐标，然后利用顶点式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=2x2向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位后的顶点坐标为（﹣1，﹣
2），
∴得到的抛物线是y=2（x+1）2
2
﹣．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式求解更简
便．
5．（3 分）（2013 秋•重庆期末）方程x2
2x=0
﹣
的根是（ ）
A．x1=0，x2=
2
﹣
B．x1=0，x2=2 C．x=0 D．x=2
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x
2
﹣）=0，
x=0 或x
2=0
﹣
，
所以x1=0，x2=2．
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因
式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两
个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次
方程的问题了（数学转化思想）．
6．（3 分）（2009•呼和浩特）用配方法解方程3x2
6x
﹣
+1=0，则方程可变形为（ ）
A．（x
3
﹣）2=
B．3（x
1
﹣）2=
C．（3x
1
﹣）2=1 D．（x
1
﹣）2=
【分析】本题考查分配方法解一元二次方程．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍
数．
【解答】解：原方程为3x2
6x
﹣
+1=0，二次项系数化为1，得x2
2x=
﹣
﹣
，
即x2
2x
﹣
+1=﹣
+1，所以（x
1
﹣）2=
．故选D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
7．
（3 分）
（2016 秋•贞丰县校级期中）若A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2﹣
2x
3
﹣的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）分别代入二
次函数的关系式，分别求得y1，y2，y3的值，最后比较它们的大小即可．
【解答】解：∵A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2
2x
3
﹣
﹣的图象上的三点，
∴y1=9+6
3=12
﹣
，即y1=12，
y2=1+2
3=0
﹣
，即y2=0，
y3=4
4
3=
3
﹣﹣
﹣，即y3=
3
﹣，
∵﹣3＜0＜12，
∴y3＜y2＜y1．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象
上．
8．（3 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）贞丰县享有“中国花椒之乡”的赞誉，其中以北盘江镇
顶坛花椒的品质最为出名．据统计，2014 年贞丰北盘江镇花椒总产量约为4000 吨，经种植技
术和管理水玉提高后，2016 年的总产量增长到6000 吨，设平均每年的年平均增长率均为x，
则下列方程正确的是（ ）
A．6000（1+x）2=4000 B．4000（1+x）2=6000
C．4000（1
x
﹣）2=6000 D．6000（1
x
﹣）2=4000
【分析】设平均年增长的百分率为x，根据增长后=增长前的×（1+增长率），即可得到2015 年
的产量是4000（1+x），2016 年的产量是4000（1+x）2，由题意得出题中的等量关系列出方程即
可．
【解答】解：设平均年增长的百分率为x，由题意得
4000（1+x）2=6000
故选B．
【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为
a，平均每次增长或降低的百分率为x 的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第
二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
9．（3 分）（2015•潮阳区一模）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c 的
图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得
相关图象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故B 选项错误；
当a＞0 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C 选项错误；
当a＜0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A 选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数
的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；
小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，
图象开口向下．
10．（3 分）（2013•黔西南州）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了
下面四条信息：（1）b2
4ac
﹣
＞0；（2）c＞1；（3）2a
b
﹣＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，
然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：（1）图象与x 轴有2 个交点，依据根的判别式可知b2
4ac
﹣
＞0，正确；
（2）图象与y 轴的交点在1 的下方，所以c＜1，错误；
（3）∵对称轴在﹣1 的右边，∴﹣
＞﹣1，又∵a＜0，∴2a
b
﹣＜0，正确；
（4）当x=1 时，y=a+b+c＜0，正确；
故错误的有1 个．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关
系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本大题共10 小题，第小题3 分，共30 分）
11．（3 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）把方程x（x+3）﹣2x+1=5x
1
﹣化成一般形式为：
x 2 ﹣
4x
+ 2=0
．
【分析】把方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式即可．
【解答】解：x（x+3）﹣2x+1=5x
1
﹣，
x2+3x
2x
﹣
+1
5x
﹣
+1=0，
x2
4x
﹣
+2=0，
故答案为：x2
4x
﹣
+2=0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x 的一元二次
方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
12．（3 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）方程（x+2）2
9=0
﹣
的解为：
x 1=1
，
x 2=
5
﹣
．
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：（x+2）2=9，
∴x+2=±3，
∴x=
2
﹣±3，
即x1=1，x2=
5
﹣，
故答案为：x1=1，x2=
5
﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关
键．
13．（3 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）抛物线y=
2
﹣（x
1
﹣）2+3 可以通过抛物线y=
y=
2x
﹣
2
向 右 平移
1
个单位、再向 上 平移
3
个单位得到，其对称轴是
x=1
．
【分析】确定出y=
2
﹣（x
1
﹣）2+3 的顶点坐标，再根据顶点的变化确定出平移方法，然后根据
二次函数的性质分别写出开口方向，对称轴，顶点坐标和最值即可．
【解答】解：∵y=
2
﹣（x
1
﹣）2+3 的顶点坐标为（1，3），y=
2x
﹣
2的顶点坐标为（0，0），
∴二次函数y=
2
﹣（x
1
﹣）2+3 的图象是由抛物线y=
3x
﹣
2向右平移1 个单位，再向上平移3 个
单位得到的；对称轴是直线x=1，
故答案为：y=
2x
﹣
2，右，1，上，3，x=1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，根据两个函数图象的顶点
坐标确定平移方法更简便．
14．（3 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）中心对称图形的旋转角是
180°
．
【分析】利用中心对称图形的定义解答即可；
【解答】解：中心对称图形的旋转角是180°，
故答案为：180°．
【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°
后能够重合．
15．（3 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）方程x2+3x+1=0 的根的情况是： 有两个不相等的实
数根 ．
【分析】求出根的判别式的值即可得．
【解答】解：∵b2
4ac=3
﹣
2
4
﹣×1×1=5＞0
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查利用一元二次方程根的判别式（△=b2
4ac
﹣
）判断方程的根的情况．一元二
次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2
4ac
﹣
有如下关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数
根；③当△＜0 时，方程无实数根．
16．（3 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）设x1、x2是方程2x2
x
1=0
﹣﹣
的两个根，则x1+x2=
，x1•x2= ﹣
．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程2x2
x
1=0
﹣﹣
的两个根，
∴x1+x2=
，x1•x2=﹣
，
故答案为：
，﹣
．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设x1，x2是关于x 的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣
，x1x2=
．
17．（3 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）若y=（n2+n）x
是二次函数，则n=
2
．
【分析】根据二次函数定义可得n2
n=2
﹣
，且n2+n≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：n2
n=2
﹣
，且n2+n≠0，
解得：n=2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的
函数，叫做二次函数．
18．（3 分）（2008 秋•安庆期末）如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2
y=
②
x2
y=x
③
2的
图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ①③② ．
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
【解答】解：①y=3x2，
y=
②
x2，
y=x
③
2中，二次项系数a 分别为3、
、1，
∵3＞1＞
，
∴抛物线②y=
x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄．
故依次填：①③②．
【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口
越宽．
19．（3 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）请写出一个开口向下，对称轴为直线x=1，且与y 轴的
交点坐标为（0，2）的抛物线的解析式
y=
x
﹣
2 + 2x
+ 2
．
【分析】可设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，由开口向下可取a 的值为﹣1，由对称轴可求得b，
由过（0，2）可求得c，可求出答案．
【解答】解：
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵开口向下，
∴可取a=
1
﹣，
∵对称轴为直线x=1，
∴﹣
=1，解得b=2，
∵与y 轴的交点坐标为（0，2），
∴c=2，
∴抛物线解析式为y=
x
﹣2+2x+2，
故答案为：y=
x
﹣2+2x+2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握a 决定抛物线的开口方向、a 和b 决定对称轴、c
与y 轴的交点有关是解题的关键．
20．
（3 分）
（2016 秋•贞丰县校级期中）如图是一个三角形点阵图，从上向下有无数多行，其中
第一行有1 个点，第二行有2 个点…第n 行有n 个点，容易看出，10 是三角点阵中前4 行的点
数和，则300 个点是前
24
行的点数和．
【分析】由于第一行有1 个点，第二行有2 个点…第n 行有n 个点…，则前n 行共有
（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们的和，前n 行共有
个点，则
=300，然后
解方程得到n 的值；
【解答】解：设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有
n（n+1）=300
整理这个方程，得：n2+n
600=0
﹣
解方程得：n1=24，n2=
25
﹣
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24 行的点数的和是300．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的
题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是
按照什么规律变化的．
三、解答题（本大题共8 大题，共60 分）
21．（15 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）解下列方程
（1）x2
5x
6=0
﹣
﹣
（2）2（x
3
﹣）2=8
（3）4x2
6x
3=0
﹣
﹣
（4）（2x
3
﹣）2=5（2x
3
﹣）
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）直接开平方法求解可得；
（3）公式法求解可得；
（4）因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）原方程可化为：（x
6
﹣）（x+1）=0，
∴x
6=0
﹣
或x+1=0，
∴x=6 或x=
1
﹣；
（2）方程两边同除以2，得：（x
3
﹣）2=4，
∴x
3=
﹣
±2，
∴x
3=2
﹣
或x
3=
2
﹣
﹣；
∴x1=5，x2=1；
（3）∵a=4，b=
6
﹣，c=
3
﹣
∴△=b2
4ac=
﹣
（﹣6）2
4
﹣×4×（﹣3）=84＞0，
∴x=
=
=
，
∴x1=
，x2=
；
（4）移项，得：（2x
3
﹣）2
5
﹣（2x
3
﹣）=0，
∴（2x
3
﹣）〔（2x
3
﹣）﹣5〕=0，
∴2x
3=0
﹣
或2x
8=0
﹣
，
∴x=
或x=4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关
键．
22．（9 分）（2014•黑龙江）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1 个单位长度，Rt△ABC
的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C 的图形．
（2）平移△ABC，使点A 的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图
形．
（3）若将△A1B1C 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C 即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解
题关键．
23．（10 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0 时，如a=6 则|a|=|6|=6，故此时a 的绝对值是它本身；
当a=0 时，|a|=0，故此时a 的绝对值是零；
当a＜0 时，如a=
6
﹣则|a|=|
6
﹣|=﹣（﹣6），故此时a 的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
|a|=
问：（1）这种分析方法涌透了 分类讨论 数学思想．
（2）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式
的各种展开的情况．
（3）猜想
与|a|的大小关系．
（4）尝试用从以上探究中得到的结论来解决下面的问题：化简
（﹣
3≤x≤5）．
【分析】（1）根据数学上的分类讨论思想得出即可；
（2）利用利用分类讨论得出即可；
（3）利用化简结果得出即可；
（4）利用（2）中所求进而化间得出即可．
【解答】解：（1）分类讨论；
（2）当a＞0 时，如a=5 则
，故此时
展开后是它本身，
当a=0 时，
，故此时
是零，
当a＜0 时，如a=
6
﹣，则
，
故此时
的展开后是它的相反数，
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，
=
；
（3）
；
（4）
（﹣3≤x≤5）
=|x
5
﹣|+|x+3|
=5
x
﹣+x+3
=8．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式利用分类讨论得出是解题
关键．
24．（14 分）（2016 秋•贞丰县校级期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每
件赢利40 元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降
价1 元，商场平均每天可多售出2 件．
（1）若使商场平均每天赢利1200 元，则每件衬衫应降价多少元？
（2）若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？
【分析】（1）设每件衬衫应降价x 元，根据每件的利润×销售量=平均每天的盈利，列方程求
解即可；
（2）根据：总利润=单件利润×销售量列出函数关系式，配方成二次函数顶点式可得函数最值
情况．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x 元，
则依题意，得：（40
x
﹣）（20+2x）=1200，
整理，得，﹣2x2+60x+800=1200，
解得：x1=10，x2=20，
答：若商场平均每天赢利1200 元，每件衬衫应降价10 元或20 元；
（2）设每件衬衫降价x 元时，商场平均每天赢利最多为y，
则y=（40
x
﹣）（20+2x）=
2x
﹣
2+60x+800=
2
﹣（x2
30x
﹣
）+800=
2
﹣（x
15
﹣
）2+1250
∵﹣2（x
15
﹣
）2≤0，
∴x=15 时，赢利最多，此时y=1250 元，
答：每件衬衫降价15 元时，商场平均每天赢利最多．
【点评】主要考查你对一元二次方程的应用，求二次函数的解析式及二次函数的应用等考点
的理解，根据题意准确抓住相等关系式并加以应用是关键．
25．（12 分）（2016 秋•秀峰区校级期中）已知：二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于A，B 两
点，其中A 点坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD 的最小值；
（3）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP 的面积为6，求P 点坐标．
【分析】（1）把A、D 两点坐标代入二次函数y=x2+bx+c，解方程组即可解决．
（2）利用轴对称找到点P，用勾股定理即可解决．
（3）根据三角形面积公式，列出方程即可解决．
【解答】解：（1）因为二次函数y=x2+bx+c 的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），所以
，
解得
．
所以一次函数解析式为y=x2+2x
3
﹣．
（2）∵抛物线对称轴x=
1
﹣，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），
∴C、D 关于x 轴对称，连接AC 与对称轴的交点就是点P，
此时PA+PD=PA+PC=AC=
=
=3
．
（3）设点P 坐标（m，m2+2m
3
﹣），
令y=0，x2+2x
3=0
﹣
，
x=
3
﹣或1，
∴点B 坐标（1，0），
∴AB=4
∵S△PAB=6，
∴
•4•|m2+2m
3
﹣|=6，
∴m2+2m
6=0
﹣
，m2+2m=0，
∴m=0 或﹣2 或1+
或1﹣
．
∴点P 坐标为（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（1+
，3）或（1﹣
，3）．
【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、轴对称﹣最短问题，解题关键是熟练掌握
待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程的思想去思考问题，属于
中考常考题型．
