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用函数观点看一元二次方程—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3.经历探索验证二次函数
与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去
看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数
(a≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y＝0，求
中x
的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的
交点的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x 轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线
与x
轴交于
，
两
点，且
，
此时称抛物线与x 轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线
与x
轴交切于
这一点，此时称
抛物线与x 轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线
与x
轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称
无实数根）
要点诠释：
二次函数图象与x 轴的交点的个数由
的值来确定的.
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(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，
，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，
，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，
，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线
(a≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数
的交点问题．
抛物线
(a≠0)与y 轴的交点是(0，c)．
抛物线
(a≠0)与一次函数
(k≠0)的交点个数由方程组
的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时
两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时
两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时
两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将
求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程
的步骤：
1.作二次函数
的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程
的根的取值范围．即确定抛物线
与x 轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表
格的形式求出相应的y 值．
4.确定一元二次方程
的近似根．在(3)中最接近0 的y 值所对应的x 值即是一元
二次方
的近似根．
要点诠释：
求一元二次方程
的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数
的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程
的根；
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(2)先将方程变为
再在同一坐标系中画出抛物线
和直线
图象交点
的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为
，移项后得
，设
和
，在同一坐标
系中画出抛物线
和直线
的图象，图象交点的横坐标即为方程
的根.
要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0 时，设抛物线
与x 轴的两个交点为A(
，0)，B(
，0)，则
、
是一元二
次方程
的两个根．由根与系数的关系得
，
．
∴
即
（△＞0）
要点四、抛物线与不等式的关系
二次函数
(a≠0)与一元二次不等式
(a≠0)及
(a≠0)之间的关系如下
：
判别式
抛物线
与
x 轴的交点
不等式
的解集
不等式
的解
集
△＞0
或
△＝0
（或
）
无解
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△＜0
全体实数
无解
注：a＜0 的情况请同学们自己完成．
要点诠释：
抛物线
在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式
的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式
的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【典型例题】
类型一、二次函数图象与坐标轴交点
1．已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1，其中m 为常数，且满足-1<m<2，试判断此抛物线的开口方向，
与x 轴有无交点，与y 轴的交点在x 轴上方还是在x 轴下方.
【答案与解析】
∵-1<m<2.
∴m-2<0，抛物线开口向下，
又m+1>0，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方.
Δ=4m2-4(m-2)(m+1)
=4m2-4(m2-m-2)
=4m+8
=4(m+1)+4>0.
∴抛物线与x 轴有两个不同的交点.
【总结升华】此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x 轴有两个不同交点(用抛物线与y 轴的交点
C
在x 轴上方，开口向下，必与x 轴有两个不同交点).
举一反三：
【变式】二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1 的图象总在x 轴的上方，求m 的取值范围。
【答案】据题意，列
类型二、利用图象法求一元二次方程的解
2．用图象法求一元二次方程
的近似解(精确到0.1)．
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【答案与解析】
解法1：
，即对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，-2)．
列表如下：
x
1
2
2.5
3
-2
-1
0.25
2
描点连线，画出图象在对称轴右边的部分，利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，即得函数图象
如图所示．由图象知，当x≈-0.4 或x≈2.4 时，y＝0．因此方程
的解的近似值为-0.4
或2.4．
解法2：将方程
变形得
．在同一坐标系中画出函数
与y＝2x+1 的图
象如图所示．抛物线
与直线y＝2x+1 交于A、B，过A、B 分别作x 轴的垂线，垂足横坐标分别约
为-0.4 或2.4，所以方程
的近似解为x1≈-0.4，x2≈2.4．
【总结升华】本题的第一种解法是先求出对称轴及顶点坐标，利用其对称性作出整个函数的图象，从而观
察得方程的近似解．第二种解法是把其转化为两个函数图象的交点，由于函数
与y＝
2x+1 的图象简单易作，这种解法很有新意，同学们要注意从不同的角度去分析，培养多向思维的
能力．可画出函数
的图象，观察其与x 轴的交点坐标，也可转化为求直线y＝
2x+1 与抛物线
的交点的横坐标．
类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用
3．已知二次函数
与一次函数
交于A、B 两点．
(1)求A、B 两点的坐标；(2)求△AOB 的面积；(3)判断当x 为何值时，y1＜y2.
【答案与解析】
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(1)依题意可得一元二次方程
．
整理得
，解得x1＝-1，x2＝4．
把x1＝-1 代入y＝-3x-4 中得y1＝-1．
把x2＝4 代入y＝-3x-4 中得y2＝-16．
∴ A、B 两点的坐标分别为A(-1，-1)和B(4，-16)．
(2)直线AB 与y 轴交于点P(0，-4)，由图可知，
．
(3)由图象可知，当x＜-1 或x＞4 时，函数
的图象在直线y2＝3x+4 的下方，此时，y1＜y2．
【总结升华】解这类题目一般先利用一元二次方程求出直线与抛物线交点的坐标，然后把要求的图形分割
成以已知坐标为底和高的三角形来求面积．比较函数大小，可通过观察图象去求解． (1)联立方
程组可求A、B 两点的坐标；(2)把△AOB 分割成△AOP 和△BOP，利用已知点的坐标可求它们的面
积；(3)求y1＜y2时的x 的取值范围时，可结合图象求解，不需要解不等式．
举一反三：
【变式】已知点A（-1，-1）在抛物线
上,点B 与点A 关于抛物线的对称轴
对称,
（1）求
的值和点B 的坐标；（2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点B 的直线?
【答案】
（1）据题意,将x＝－1, y＝－1, 代入抛物线的解析式,
得
解得
1
2
1,
3.
k
k
∵
2
1
0
k
, ∴
3
k .
抛物线的解析式是
2
8
10
1
y
x
x
, 对称轴为直线
.
∵点B 和点A(－1,－1) 关于直线
对称, ∴
.
（2）存在这样的直线，理由如下：
设经过点B 的直线的解析式是y
mx
n
,
将B 点坐标代入得
4
4
m
n
. ①
又要使直线与抛物线只有一个公共点,
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只要使方程
2
8
10
1
mx
n
x
x
有两个相等的实数根,
方程
2
8
10
1
mx
n
x
x
整理得,
2
8
(10
)
1
0
x
m x
n
,
得=
2
(10
)
32(1
)
0.
m
n
②
将①代②，解出，
1
6,
2
m
n
,它的解析式是
1
6
2
y
x
.
又有过点B 平行于y 轴的直线与抛物线仅有一个公共点,即
1
4
x
.
答：直线的解析式是
1
6
2
y
x
或
1
4
x
.
4．已知：如图所示，一次函数
的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B；二次函数
的图象与一次函数
的图象交于B、C 两点，与x 轴交于D、E 两点，且D 点坐标
为（1，0）．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC 的面积S．
【答案与解析】
(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入
得
解之
所以抛物线的解析式为
．
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(2)设C(
，
)，则有
解得
∴ C(4，3)．
由图可知：
．
又由抛物线的对称轴为
可知E(2，0)．
∴
.
【总结升华】由图象知，抛物线经过点B(0，1)，D(1，0)．将B、D 两点坐标代入抛物线的解析式中求出b、c
的值．再联立方程组求出点C 的坐标．由抛物线对称性求出点E 的坐标．由
，
求出面积S．
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