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第4 节 幂函数与二次函数
考试要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图
象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、
不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y ＝
x α 叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax
2 ＋
bx
＋
c ( a ≠
0)
.
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为( m ，
n ) .
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
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图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0 时是偶函数，当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数y＝xα中，α 的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x 是幂函数.( )
(2)当α＞0 时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)当n 是偶数时，幂函数y＝x(m，n∈Z，且m 是奇数)是偶函数.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x 不是幂函数，故(1)错误.
(4)对称轴x＝－，当－不在给定定义域内时，最值不是，故(4)错误.
2.(2021·青岛联考)不等式(x2＋1)>(3x＋5)的解集为( )
A.∪(4，＋∞)
B.(－1，4)
C.(4，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)
答案 A
解析 不等式(x2＋1)>(3x＋5)等价于x2＋1>3x＋5≥0，
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解得－≤x<－1 或x>4.
所以原不等式的解集为
∪(4，＋∞).
3.函数y＝x－的大致图象是( )
答案 B
解析 由幂函数的性质可知，函数y＝x－的图象在(0，＋∞)上单调递减，故A、
C 错误；
函数y＝x－为偶函数，故D 错误.
4.已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.
答案 －1
解析 由y＝xα为奇函数，知α 取－1，1，3.
又y＝xα在(0，＋∞)上递减，
∴α<0，取α＝－1.
5.(易错题)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y 轴对称，且在
(0，＋∞)上是减函数，则n＝________.
答案 1
解析 由题意知n2＋2n－2＝1，解得n＝1 或n＝－3，经检验n＝1 符合题意.
6.(2022·杭州联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a＞1)的定义域和值域都为[1，a]，
则b＝________.
答案 5
解析 f(x)＝x2－2ax＋b 的图象关于x＝a 对称，
所以f(x)在[1，a]上为减函数，
又f(x)的值域为[1，a]，
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所以
∴a＝2，a＝1(舍)，∴b＝5.
考点一 幂函数的图象和性质
1.已知幂函数y＝x(p，q∈N*，q＞1 且p，q 互质)的图象如图所
示，则( )
A.p，q 均为奇数，且＞1
B.q 为偶数，p 为奇数，且＞1
C.q 为奇数，p 为偶数，且＞1
D.q 为奇数，p 为偶数，且0＜＜1
答案 D
解析 由幂函数的图象关于y 轴对称，可知该函数为偶函数，
所以p 为偶数，则q 为奇数.
因为幂函数y＝x 的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，
所以0＜＜1.
2.(2021·衡水调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝
f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c 的大小关系是( )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<c<a
D.b<a<c
答案 A
解析 由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，
所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.
又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R 上是增函数，
又ln π>1>2－＝>，
所以f(ln π)>f(2－)>f，则b>c>a.
3.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c 的大小关系是( )
A.a＜b＜c
B.c＜a＜b
C.b＜c＜a
D.b＜a＜c
答案 D
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解析 因为y＝x 在第一象限内是增函数，
所以a＝＞b＝，
因为y＝是减函数，
所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c.
4.幂函数y＝xα，当α 取不同的正数时，在区间[0，1]上它们
的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，
连接AB，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb 的
图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝________.
答案 0
解析 BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得a＝log，b＝log，
∴a－＝log－＝0.
感悟提升 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一
个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图
低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调
性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
考点二 求二次函数的解析式
例1 (1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x
＝2 对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0.请写出函数f(x)的一
个解析式________.(只要写出一个即可)
答案 f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)
解析 由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－
2)2＋1，
此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，
∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，
都有＜0，
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等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴f(x)＝(x－2)2＋1 满足③，
又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，
故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.
(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝
________.
答案 －4x2＋4x＋7
解析 法一 (利用“一般式”)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，
∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
∴y＝f(x)＝a＋8.
∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”)
由已知f(x)＋1＝0 的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4 或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
感悟提升 求二次函数解析式的方法
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训练1 (1)已知二次函数f(x)与x 轴的两个交点坐标分别为(0，0)和(－2，0)，且有
最小值－1，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x
解析 设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，
由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任
意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
答案 x2－4x＋3
解析 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R 恒成立，
所以y＝f(x)的图象关于x＝2 对称.
又y＝f(x)的图象在x 轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0 的两根为2－＝1 或2＋＝3.
所以二次函数f(x)与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).
因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).
又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，
所以3a＝3，则a＝1.
故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
考点三 二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象
例2 (多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，
图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确
的为( )
A.b2＞4ac
B.2a－b＝1
C.a－b＋c＝0
D.5a＜b
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答案 AD
解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A 正确.
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B 错误.
结合图象，当x＝－1 时，y＞0，即a－b＋c＞0，C 错误.
由对称轴为x＝－1 知，b＝2a.
根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D 正确.
感悟提升 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中
有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交
点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关
系成立的条件.
角度2 二次函数的单调性与最值
例3 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值.
解 (1)当a＝2 时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
函数图象的对称轴为直线
x＝－∈[－2，3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴f(x)的值域为.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.
综上可知，a＝－或－1.
感悟提升 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三
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点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性
及分类讨论的思想求解.
角度3 二次函数的恒成立问题
例4 (1)已知a 是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3 在x∈[－1，1]上恒小于零，则实
数a 的取值范围是________.
答案
解析 由题意知2ax2＋2x－3＜0 在[－1，1]上恒成立.
当x＝0 时，－3＜0，符合题意，a∈R；
当x≠0 时，a＜－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以当x＝1 时，不等号右边式子取最小值，所以a＜.
综上，实数a 的取值范围是.
(2)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x≥0 时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞
f(2m＋mt2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是________.
答案 (－∞，－)
解析 由题意知f(x)在R 上是增函数，
结合f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t 恒成立，
知－4t＞2m＋mt2对任意实数t 恒成立，
∴mt2＋4t＋2m＜0 对任意实数t 恒成立，
∴∴m∈(－∞，－).
感悟提升 不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二
是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函
数的最值问题.
训练2 (1)若关于x 的不等式x2－4x－m≥0 对任意x∈(0，1]恒成立，则m 的最大
值为________.
答案 －3
解析 可得m≤x2－4x 对一切x∈(0，1]恒成立，
又f(x)＝x2－4x 在(0，1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
(2)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上f(x)>2x＋m 恒成立，则实数m 的
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取值范围是________.
答案 (－∞，－1)
解析 f(x)>2x＋m 等价于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0 在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0 即可.
∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m 的取值范围是
(－∞，－1).
1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为(
)
A.1 或3
B.1
C.3
D.2
答案 B
解析 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.
2.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中
的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是( )
A.d＞c＞b＞a
B.a＞b＞c＞d
C.d＞c＞a＞b
D.a＞b＞d＞c
答案 B
解析 由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x
轴，由题图知a＞b＞c＞d.
3.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c 的大小
关系是( )
A.a<c<b
B.b<a<c
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C.b<c<a
D.c<a<b
答案 B
解析 ∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，
又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴b<a<c.
4.(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x＞1，则f(x)＞1
D.若0＜x1＜x2，则＜f
答案 ACD
解析 将点(4，2)代入函数f(x)＝xα，得2＝4α，则α＝，所以f(x)＝x.
显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，A 正确；
f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，B 不正确；
当x＞1 时，＞1，即f(x)＞1，C 正确；
当0＜x1＜x2时，
－
＝－
＝－
＝＝－＜0，
即＜f 成立，D 正确.
5.(2021·唐山二模)不等式≤的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝与y＝的图象(图略)，
当＝时，x＝，由图象知≤的解集是.
6.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋
1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t 的取值范围是( )
A.[－，]
B.[1，]
C.[2，3]
D.[1，2]
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答案 B
解析 由于f(x)＝x2－2tx＋1 的图象的对称轴为x＝t，
又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，
要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，
都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.
又t≥1，∴1≤t≤.
7.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，则实数a＝________.
答案
解析 设f(x)＝xα，则4α＝，
所以α＝－.
因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.
8.若(a＋1)－＜(3－2a)－，则实数a 的取值范围是________.
答案 (－∞，－1)∪
解析 不等式(a＋1)－＜(3－2a)－等价于a＋1＞3－2a＞0 或3－2a＜a＋1＜0 或a
＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1 或＜a＜.
9.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是
________.
答案 [－2，0]
解析 当0≤x＜1 时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0；
当x≥1 时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，则－≤1，则m≥－2.
综上，实数m 的取值范围是[－2，0].
10.已知关于x 的方程＝a|x|有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，0)
B.(0，1)
C.(1，＋∞)
D.(0，＋∞)
答案 C
解析 当a＝0 时，方程无解；当a＜0 时，则x＜－2，
原方程为＝－ax，
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∴ax2＋2ax＋1＝0，Δ＞0，x1x2＝＜0，即至多一解；
当a＞0 时，则x＞－2，当x≥0 时，原方程为＝ax，
∴ax2＋2ax－1＝0，Δ＞0，x1x2＝－＜0，即必有一解；
当－2＜x＜0 时，原方程为＝－ax，
∴ax2＋2ax＋1＝0，
则Δ＞0，x1x2＝＞0，对称轴为x＝－1，
∴a＞1，此时方程有两根，因此a＞1，原方程有三个不同的实数解.
11.(2022·西安模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.
解 (1)当a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0，1]上递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2.
(2)当a>0 时，f(x)＝ax2－2x 图象开口方向向上，且对称轴为x＝.
①当≤1，即a≥1 时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上递减，
在上递增.
∴f(x)min＝f＝－＝－.
②当>1，即0<a<1 时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，
1]上递减.
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(3)当a<0 时，f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y 轴的
左侧，
∴f(x)＝ax2－2x 在[0，1]上递减.
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝
12.已知函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值；
(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围.
解 (1)f(x)＝
＝＝a＋，
所以f(x)的对称中心为(－1，a)，
与P(－1，3)比较得a＝3.
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(2)由f(x)＝＝a＋，
当2－2a＞0，即a＜1 时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，故a 的取值范围是{a|a
＜1}.
13.如图，正方形OABC 的边长为a(a＞1)，函数y＝3x2的图象
交AB 于点Q，函数y＝x－的图象交BC 于点P，则当|AQ|＋|CP|
最小时，a 的值为________.
答案
解析 依题意得Q，P，
则|AQ|＋|CP|＝＋＝＋，
记＝t(t＞1)，f(t)＝|AQ|＋|CP|，
则f(t)＝＋，
所以f(t)＝＋≥2，
当且仅当＝，即t2＝时取等号，此时a＝.
14.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R 且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.
解 (1)由题意知解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－
∞，－1].
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x2＋x＋1 在区间
[－3，－1]上恒成立，
令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g(x)＝＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以
k<1，
故k 的取值范围是(－∞，1).
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