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1
2019 年北京市西城区初三期末数学试卷
数 学 2019.1
一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）
第1—8 题均有四个选项，符合题意的选项只有
．．一个．
1．抛物线
2
3(
1)
5
y
x
的顶点坐标是
A．(3 5)
，
B．(15)
，
C．(3,1)
D．( 1,5)
2．如果4 =3
x
y ，那么下列结论正确的是
A．3
4
x
y
B．4
3
x
y
C．
4
3
x
y
D．
4,
3
x
y
3．如图，圆的两条弦AB，CD 相交于点E，且
AD
CB
，
=40
A
∠
，
则
CEB
∠
的度数为
A．50
B．80
C．70
D．90
4．下列关于二次函数
2
2
y
x
的说法正确的是
A．它的图象经过点( 1, 2)
B．它的图象的对称轴是直线
2
x
C．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
D．当
0
x 时，y 有最大值为0
5．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点D．若BC=24，
cosB=12
13 ，则AD 的长为
A．12
B．10
C．6
D．5
E
D
B
C
A
D
C
B
A
2
6．如图，△ABC 的内切圆
O
与AB，BC ，CA分别相切于点D ，E，
F ，且
2
AD
，
5
BC
，则△ABC 的周长为
A．16
B．14
C．12
D．10
7．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标
示意图
相关数据
10m
CD
，
=45
，
=50
设铁塔顶端到地面的高度FE 为m
x
，根据以上条件，可以列出的
方程为
A．
(
10)tan50
x
x
B．
(
10)cos50
x
x
C．
10
tan50
x
x
D．
(
10)sin50
x
x
8．抛物线
2
y
ax
bx
c
经过点( 2,0)
，且对称轴为直线
1
x ，其部
分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①
0
ac
；②16
4
0
a
b
c
；③若
0
m
n
，则
1
x
m
时的函数值大于
1
x
n
时的函数值；④点(
,0)
2
c
a
一定
在此抛物线上．其中正确结论的序号是
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
A
E
C
B
D
F
F
β
α
H
D
B
C
E
A
E
F
D
O
C
B
A
x
y
-2
x=1
O
3
二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）
9． 如图所示的网格是正方形网格，点A，O，B
都在格点上，tan
AOB
的值为 ．
10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为(0,2) 的抛物线的
表达式： ．
11．如图，在△ABC 中，点D，E 分别在AB，AC 上，且DE∥BC．若
2
AD
，
3
AB ，
4
DE
，则BC 的长为 ．
12．草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°，且它的喷灌区域是一个
扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5平方米，则这个扇形的
半径是 米．
13．如图，抛物线
2
y
ax
bx
与直线y
mx
n
相交于点A( 3, 6)
，
B(1, 2)
，则关于x 的方程
2
ax
bx
mx
n
的解为 ．
A
B
O
C
E
B
D
A
y
x
B
A
O
4
14．如图，舞台地面上有一段以点O 为圆心的
AB，某同学要站在
AB
的中点C 的位置上．于是他想：只要从点O
出发，沿着与弦AB 垂直的方向走到
AB上，
就能找到
AB的中点C．老师肯定了他的想法．
（1）请按照这位同学的想法，在图中画出点C；
（2）这位同学确定点C 所用方法的依据是 ．
15．如图，矩形纸片ABCD 中，AB
AD
，E，F 分别是AB，DC 的
中点，将矩形ABCD 沿EF 所在直线对折，若
得到的两个小矩形都和矩形ABCD 相似，则用
等式表示AB 与AD 的数量关系为 ．
16．如图，O
的半径是5，点A 在
O
上．P 是
O
所在平面内一点，
且
2
AP
，过点P 作直线l，使l⊥PA．
（1）点O 到直线l 距离的最大值为 ；
（2）若M，N 是直线l 与
O
的公共点，则
当线段MN 的长度最大时，OP 的长
为 ．
三、解答题（本题共68 分，第17-22 题，每小题5 分，第23-26 题，
每小题6 分，第27，28 题，每小题7 分）解答应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．
17．计算：
2
4sin30
2 cos45
tan 60
.
B
O
A
F
E
C
B
D
A
A
O
5
18．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B=∠ACB，点E，F 分
别在AB，BC 上，且∠EFB=∠D．
（1）求证：△EFB∽△CDA；
（2）若AB=20，AD=5，BF=4，求EB 的长．
19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值
如下表所示：
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
0
-3
-4
-3
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当4
2
x
时，直接写出y 的取值范围.
B
C
A
E
F
D
x
y
1
1
O
6
20．如图，四边形ABCD 内接于O，OC=4，AC=4 2 ．
（1）求点O 到AC 的距离；
（2）求∠ADC 的度数.
21．一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单
位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系
2
1
2
12
3
y
x
x
c
，其图象如图所示.已知铅球落地时的水平距离
为10m．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为11
12 m 时，求此时
铅球的水平距离.
y
x
O
O
A
B
C
D
7
22．如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，以OC，OD 为
邻边作平行四边形OCED，连接OE．
（1）求证：四边形OBCE 是平行四边形；
（2）连接BE 交AC 于点F. 若AB=2，∠AOB=60°，求BF 的长．
23．如图，直线l：
2
y
x
m
与x 轴交于点A（-2,0），抛物线
2
1 :
4
3
C
y
x
x
与x 轴的一个交点为B（点B 在点A 的左侧），
过点B 作BD 垂直x 轴交直线l 于点D．
（1）求m 的值和点B 的坐标；
（2）将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°，点B，D 的对应点分别为
点E，F.
①点F 的坐标为___________________；
②将抛物线
1
C 向右平移使它经过点F，此时得到的抛物线记
为
2
C ，直接写出抛物线
2
C 的表达式．
E
D
C
A
B
O
y
x
A
B
D
O
8
24．如图，AB 是
O
的直径，△ABC 内接于
O
．点D 在
O
上，
BD 平分∠ABC 交AC 于点E，DF⊥BC 交BC 的延长线于点F．
（1）求证：FD 是
O
的切线；
（2）若
8
BD ，
3
sin
5
DBF
，求DE 的长．
25．小明利用函数与不等式的关系，对形如
1
2
0
n
x
x
x
x
x
x
（n 为正整数）的不等式的解法进行了探究．
（1）下面是小明的探究过程，请补充完整
．．．．．：
①对于不等式
3
0
x
，观察函数
3
y
x
的图象可以得到如下
表格：
x 的范围
3
x
3
x
y 的符号
+
由表格可知不等式
3
0
x
的解集为
3
x
．
②对于不等式
3
1
0
x
x
，观察函数
3
1
y
x
x
的图象可
以得到如下表格：
x 的范围
3
x
1
3
x
1
x
y 的符号
+
+
E
D
O
A
C
B
F
9
由表格可知不等式
3
1
0
x
x
的解集为 ．
③对于不等式
3
1
1
0
x
x
x
，请根据已描出的点画出函数
3
1
1
y
x
x
x
的图象；
观察函数
3
1
1
y
x
x
x
的图象补全下面的表格：
x 的范围
3
x
1
3
x
1
1
x
1
x
y 的符号
+
由表格可知不等式
3
1
1
0
x
x
x
的解集为 ．
小明将上述探究过程总结如下：对于解形如
1
2
0
n
x
x
x
x
x
x
（n 为正整数）的不等式，先将
1
2
n
x ,x
,x 按从大到小的顺序排列，
再划分x 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y 的
符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．
（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：
①不等式
6
4
2
2
0
x
x
x
x
的解集为 ．
②不等式
2
9
8
7
0
x
x
x
的解集为 ．
y
x
3
-1
1
O
10
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
4
3
y
ax
ax
a ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当
0
a
时，设抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B
左侧），顶点为C，若△ABC 为等边三角形，求a 的值；
（3）过
0
T
,t （其中1
2
t
）且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于
M，N 两点. 若对于满足条件的任意t 值，线段MN 的长都
不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．
y
x
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
O
11
27．如图，在△ABC 中，AB=AC．△ADE∽△ABC，连接BD，CE．
（1）判断BD 与CE 的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB=2，AD= 2 2 ，∠BAC=105°，∠CAD=30°．
①BD 的长为 ；
②点P，Q 分别为BC，DE 的中点，连接PQ，写出求PQ 长的
思路．
B
C
A
D
E
12
28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W，如果以P 为端
点的任意
．．一条射线
．．与图形W 最多只有一个公共点，那么称点P
独立于图形W.
（1）如图1，已知点A（2
，0），以原点O 为圆心，OA 长为半
径画弧交x 轴正半轴于点B．在P1（0，4），P2（0，1），
P3（0，3
），P4（4，0）这四个点中，独立于
的点是 ；
（2）如图2，已知点C（3
，0），D（0，3），E（3，0），点P
是直线l：
2
8
y
x
上的一个动点．若点P 独立于折线
CD－DE，求点P 的横坐标xp 的取值范围；
y
x
图1
1
B
A
O
y
x
图2
l
E
D
1
1
C
O
1
13
（3）如图3，⊙H 是以点H（0，4）为圆心，半径为1 的圆．
点T（0，t）在y 轴上且t > 3
，以点T 为中心的正方形KLMN
的顶点K 的坐标为（0，
3
t ），将正方形KLMN 在x 轴及
x 轴上方的部分记为图形W．若⊙H 上的所有点都独立于图
形W，直接写出t 的取值范围．
y
x
T
图3
1
1
H
K
N
M
L
O
14
2019 年北京市西城区初三年级数学期末考试试卷答案
2019.1
一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
C
D
B
A
C
二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）
9．1
2
10．
2
2
y
x
（答案不唯一）
11．6
12．3
13．
1
3
x ，
2
1
x
14．（1）
（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧
15．
2
AB
AD
16．（1）7；
（2）
21
三、解答题（本题共68 分，第17~22 题，每小题5 分，第23~26 题，
每小题6 分，第27，28 题，每小题7 分）解答题应写出文字说明、
演算步骤或证明过程.
17．
2
4sin30
2 cos45
tan 60
原式
2
1
2
4
2
3
2
2
2
1
3
4
B
O
A
C
15
18．（1）∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∴∠B=∠DAC
∵∠D=∠EFB
∴△EFB∽△CDA
（2）∵△EFB∽△CDA
∴BE
BF
AC
AD
∵AB=AC=20，AD=5，BF=4
∴BE=16
19．（1）由二次函数对称性可知，二次函数顶点为（-1，-4）
设二次函数解析式为
2
1
4
y
a x
将（1,0）带入解析式得：a=1
∴
2
2
3
y
x
x
（2）如图；
（3）3
5
y
x
y
1
1
O
16
20．（1）作OM⊥AC 于M
∵OM⊥AC，AC=4 2
∴AM=MC=2 2
∵OC=4
∴OM=
2
2 2
OC
MC
（2）连接OA
∵OM=MC，∠OMC=90°
∴∠MOC=∠MCO=45°
∵OA=OC
∴∠OAM=45°
∴∠AOC=90°
∴∠B=45°
∵∠D+∠B=180°
∴∠D=135°
21．（1）将（10,0）带入
2
1
2
12
3
y
x
x
c
得：
5
3
c
∴高度为5
3 .
（2）将y=11
12 带入
2
1
2
5
12
3
3
y
x
x
得：
2
11
1
2
5
12
12
3
3
x
x
整理得：
2
8
9
0
x
x
解得：
1
2
9,
1
x
x
（舍去）
∴水平距离为9m.
17
22．（1）∵四边形ABCD 为矩形
∴OA=OB=OC=OD
∵四边形OCED 为平行四边形
∴四边形OCED 为菱形
∴CE∥OD，CE=OD
∵OD=OB
∴CE∥OB，CE=OB
∴四边形OBCE 为平行四边形
（2）过F 作FM⊥BC 于M，过O 作ON⊥BC 于N
∵FM⊥BC，ON⊥BC
∴ON∥FM
∵AO=OC
∴ON= 1
2 AB=1
∵OF=FC
∴FM= 1
2 ON= 1
2
∵∠AOB=60°，OA=OB
∴∠OAB=60°，∠ACB=30°
在Rt△ABC 中：
∵AB=2，∠ACB=30°
∴BC=2 3
在Rt△CFM 中：
M
N
F
E
D
C
A
B
O
18
∵∠ACB=30°，FM= 1
2
∴CM=
3
2
∴BM=BC－CM= 3 3
2
∴BF=
2
2
7
BM
FM
23．（1）将A（－2，0）代入
2
y
x
m
得：m=－4．
在
2
4
3
y
x
x
中，令y=0 得：
0
3
1
x
x
解得：
1
2
3,
1
x
x
∵点B 在点A 的左侧
∴B（－3,0）
（2）①如图F（0,1）
②
2
1
2 2
1
y
x
x
或
2
1
2 2
1
y
x
x
24．（1）连接OD
∵BD 平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBF
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠DBF=∠ODB
∵∠DBF+∠BDF=90°
∴∠ODB+∠BDF=90°
∴∠ODF=90°
y
x
F
E
A
B
D
O
19
∴FD 是
O
的切线
（2）连接AD
∵AB 是直径
∴∠ADE=90°
∵BD 平分∠ABC
∴∠DBF=∠ABD
在Rt△ABD 中，BD=8
∵sin
ABD
sin
3
5
DBF
∴AD=6
∵∠DAC=∠DBC
∴sin∠DAC=sin∠DBC
3
5
在Rt△ADE 中，AD=6，sin∠DAC
3
5
∴DE= 9
2
25．（1）②
3
x
或
1
x ；
③如图
x 的范围
3
x
1
3
x
1
1
x
1
x
y 的符号
+
+
y
x
O
3
-1
1
20
1
1
x
或
3
x
（2）①
2
x 或2
4
x
或
6
x
②
8
x 或
9
x
且
7
x
26．（1）
4
2
2
2
b
a
x
a
a
（2）
2
4
3
1
3
y
ax
ax
a
a x
x
∴
1 0
A ,
，
3 0
B
,
，
2
C
, a
∵
0
a
∴
0
a
∵△ABC 为等边三角形，
∴
2,
3
C
∴
3
a
∴
3
a
（3）
8
3
a
或
4
3
a
27．（1）BD=CE．
证明：∵AB=AC，△ADE∽△ABC，
∴AD=AE，∠BAC=∠DAE．
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD 和△ACE 中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
y
x
(
3
2,-1)
(
3
2,2)
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
O
C
A
B
21
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE．
（2）①2 5
②连接AP、AQ．
∵AB=AC，AD=AE，
P、Q 分别为BC、DE 的中点，
∴AP⊥BC，AQ⊥DE．
∵∠BAC=∠DAE=105°，
∴∠BAP=∠CAP= 1
2 ∠BAC=52.5°，
∠DAQ= 1
2 ∠DAE=52.5°．
在Rt△ABP 中，AP=AB·cos∠BAP=2 cos52.5°；
在Rt△ADQ 中，AQ=AD·cos∠DAQ= 2 2 cos52.5°．
∵∠PAQ=∠CAP+∠DAQ+∠CAD=52.5°+52.5°+30°=135°，
作QM⊥PA 的延长线于M，
∴∠MAQ=45°．
∴MQ=MA=
2
2 AQ．
∵MP=MA+AP，
在Rt△PMQ 中，
2
2
PQ
MQ
MP
即可求出PQ．
Q
P
B
C
A
D
E
M
22
28．（1）P2，P3．
（2）由C（3
，0），D（0，3），E（3，0）
可得：直线CD 的解析式
3
y
x
；
直线DE 的解析式
3
y
x
．
由
2
8
3
y
x
y
x
，可得直线l 与直线CD 交点横坐标
5
x ；
由
2
8
3
y
x
y
x
，可得直线l 与直线DE 交点横坐标
5
3
x
．
∴
5
p
x 或
5
3
p
x
．
（3）3
1
2
t
或1
2
7
2
t
．
