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解密12
曲
中的
点
圆锥
线
热
问题
A 组 考点专练
一、选择题
1.椭圆C：＋＝1 的焦点在x 轴上，点A，B 是长轴的两端点，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则
实数m 的取值范围是( )
A.(3，＋∞)
B.[1，3)
C.(0，)
D.(0，1]
【答案】D
【解析】依题意，当0<m<3 时，焦点在x 轴上，
要在曲线C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°，即≥，解得0<m≤1.
2.若点P 为抛物线y＝2x2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为( )
A.2
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据题意，设抛物线y＝2x2上点P 到准线的距离为d，则有|PF|＝d，抛物线的方程为y＝2x2，即
x2＝y，其准线方程为y＝－，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值，即|PF|min＝.
3.已知椭圆C：x2＋＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设椭圆C 上存在关于直线y＝x＋m 对称的两点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN 被直线y＝x＋
m 垂直平分.设MN 的中点T(x0，y0)在直线y＝x＋m 上，kMN＝－1，故设直线MN 的方程为y＝－x＋n.
联立整理，得3x2－2nx＋n2－2＝0，
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝2n－(x1＋x2)＝2n－＝，
∴x0＝＝，y0＝＝.
由Δ＝4n2－12(n2－2)＞0，可得－＜n＜.
∵MN 的中点T(x0，y0)在直线y＝x＋m 上，
∴＝＋m，∴m＝，∴－＜m＜.
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4.(多选题)设椭圆C：＋y2＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是( )
A.|PF1|＋|PF2|＝2
B.离心率e＝
C.△PF1F2面积的最大值为
D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0 相切
【答案】AD
【解析】对于A，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，故A 正确；对于B，由椭圆方程知a＝，b＝1，c
＝1，所以离心率e＝＝＝，故B 错误；对于C，|F1F2|＝2c＝2，当P 为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取
得最大值，最大值为·2c·b＝c·b＝1，故C 错误；对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c
＝1，圆心到直线x＋y－＝0 的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与
直线x＋y－＝0 相切，故D 正确.故选AD.
5.(多选题)已知P 是椭圆C：＋y2＝1 上的动点，Q 是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则( )
A.椭圆C 的焦距为
B.椭圆C 的离心率为
C.圆D 在椭圆C 的内部
D.|PQ|的最小值为
【答案】BC
【解析】依题意可得c＝＝，则椭圆C 的焦距为2，离心率为＝.设P(x，y)(－≤x≤).由圆心D 的坐标为(－
1，0)，得|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝＋≥>，所以圆D 在椭圆C 的内部，且|PQ|的最小值为－＝.故
选BC.
二、填空题
6.已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B 满足AP＝2PB，则当m＝________时，点B 横坐标的绝
对值最大.
【答案】5
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.
因为点A，B 在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝
－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5 时，点B 的横坐标的绝对值最大，最大值为2.
7.已知双曲线－＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，P 为双曲线上任一点，且PF1·PF2的最小值为－7，则该
双曲线的离心率是________.
【答案】
【解析】设点F1(－c，0)，F2(c，0)(其中c＞0)，P(x0，y0).
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则－＝1，所以x＝9.
∵PF1＝(－c－x0，－y0)，PF2＝(c－x0，－y0)，
∴PF1·PF2＝x－c2＋y＝9＋y－c2＝y＋9－c2≥9－c2，当且仅当y0＝0 时，上式“＝”成立.
∴9－c2＝－7，∴c＝4.从而双曲线的离心率e＝＝.
8.设抛物线x2＝4y 的焦点为F，A 为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|＝2；已知P 为抛物线准线上任一
点，则|PA|＋|PF|的最小值为________，此时△PAF 的外接圆半径为________.
【答案】2
【解析】由x2＝4y，知p＝2，∴焦点F(0，1)，准线y＝－1.
依题意，设A(x0，y0)(x0>0)，由定义，得|AF|＝y0＋，则y0＝2－1＝1，∴AF⊥y 轴.易知当P(1，－1)时，
|PA|＋|PF|最小，∴|PF|＝＝，则|PA|＋|PF|＝2，由正弦定理，2R＝＝＝，
因此△PAF 的外接圆半径R＝.
三、解答题
9.已知点P 到直线y＝－3 的距离比点P 到点A(0，1)的距离多2.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)经过点 Q(0，2)的动直线l 与点P 的轨迹交于M，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ＝∠NRQ？若存
在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)由题知，|PA|等于点P 到直线y＝－1 的距离，
故P 点的轨迹是以A 为焦点，y＝－1 为准线的抛物线，
所以其方程为x2＝4y.
(2)根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为(0，r)，
此时由∠MRQ＝∠NRQ 可得kMR＋kNR＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋
＝0，
由题知直线l 的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，与x2＝4y 联立得x2－4kx－8＝0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，
＋＝＋
＝2k＋＝2k－＝0，
故r＝－2，即存在满足条件的定点R(0，－2).
10.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C 上两个动点，直线
OP，OQ 的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
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(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由.
【解析】(1)∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0，
又m·n＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，
∴k1·k2＝＝－.
(2)当直线PQ 的斜率不存在，
即x1＝x2，y1＝－y2时，
由＝－，得－y＝0，
又∵点P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝.
∴S△POQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.
当直线PQ 的斜率存在时，
设直线PQ 的方程为y＝kx＋b(b≠0).
由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)>0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，
得2b2－4k2＝1，满足Δ>0.
∴S△POQ＝·|PQ|
＝|b|＝2|b|·＝1.
综上可知，△POQ 的面积S 为定值.
B 组 专题综合练
11.【2019 北京卷】已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C 的方程及其准线方程.
(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于两点M，N，直线y＝－1 分别交直
线OM，ON 于点A 和点B.求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.
【解析】(1)由抛物线C：x2＝－2py 经过点(2，－1)得p＝2.
所以抛物线C 的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)抛物线C 的焦点为F(0，－1).设直线l 的方程为y＝kx－1(k≠0).
由得x2＋4kx－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
直线OM 的方程为y＝x.
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令y＝－1，得点A 的横坐标xA＝－，
同理得B 的横坐标xB＝－.设点D(0，n)，
则DA＝，DB＝，
DA·DB＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.
令DA·DB＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，
得n＝1 或n＝－3.
综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3).
12.已知椭圆C：＋y2＝1 的右焦点为F，过点F 的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A，B 两点，直线l：
x＝2 与x 轴相交于点H，过点A 作AD⊥l，垂足为D.
(1)求四边形OAHB(O 为坐标原点)的面积的取值范围.
(2)证明：直线BD 过定点E，并求出点E 的坐标.
【解析】(1)由题设知F(1，0)，设直线AB 的方程为x＝my＋1(m∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由消去x 并整理，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
Δ＝4m2＋4(m2＋2)＞0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝.
所以四边形OAHB 的面积S＝×|OH|×|y1－y2|
＝×2×＝.
令＝t，则t≥1，所以S＝＝，t≥1.
因为t＋≥2(当且仅当t＝1，即m＝0 时取等号)，
所以0＜S≤.
故四边形OAHB 的面积的取值范围为(0，].
(2)由B(x2，y2)，D(2，y1)，可知直线BD 的斜率k＝.
所以直线BD 的方程为y－y1＝(x－2).
令y＝0，得x＝＝.①
由(1)知，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以y1＋y2＝2my1y2.②
将②代入①，化简得x＝＝＝，
所以直线BD 过定点E.
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