八下习题19.3:已知和怎样求差?开平方为什么不能漏负号?

教材原题｜习题19.3 拓广探索

7. 已知a＋1/a＝√10，求a－1/a的值。（提示：利用（a－1/a）²与（a＋1/a）²之间的关系。）

8. 在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出该方程的解： （1）2x²－6＝0，（√3，√6，－√3，－√6）； （2）2（x＋5）²＝24，（5＋2√3，5－2√3，－5＋2√3，－5－2√3）。

同学们，这两题最容易丢掉的不是某一项计算，而是一个负号。根号表示非负的算术平方根，可是“一个数的平方等于某个正数”，这个数就有正、负两种可能。今天我们把这两句话分清，再练习把复杂式子看成整体。

先猜一猜：a与它的倒数的和为正，差也一定为正吗？

不一定。一个正数大于一时，它比自己的倒数大；一个正数小于一时，它比自己的倒数小。所以即使知道a为正，也不能直接判断a－1/a的正负。求值时必须保留题目没有排除的可能。

01 · 平方项相同，差别只在中间项

第7题分析：不用先求a，先比较两个平方

题目中有1/a，因此a≠0。展开两个完全平方： （a＋1/a）²＝a²＋2＋1/a²， （a－1/a）²＝a²－2＋1/a²。

它们的平方项完全相同，只有中间项不同：一个加二，一个减二，所以前一个式子比后一个大四。这里的二来自a与1/a的乘积为一，不能把它误当成二a。

第7题解答｜a－1/a＝±√6

解：∵ a＋1/a＝√10， ∴ （a－1/a）² ＝（a＋1/a）²－4 ＝（√10）²－4 ＝10－4 ＝6。 所以a－1/a＝√6或a－1/a＝－√6， 即a－1/a＝±√6。

请注意，最后一步是在求“哪个数的平方等于六”，所以有两个结果。若只是计算√6，这个根式本身才只有一个非负值。把这两类问题混在一起，就容易少写一个答案。

两个结果都能取到吗？可以怎样确认？

能。如果把一个符合题意的a换成它的倒数，a＋1/a的值不变，而a－1/a恰好变成原来的相反数。这个对称关系说明，题目没有理由只保留正的结果。

还可以作具体核对：取a＝（√10＋√6）/2。由于（√10＋√6）（√10－√6）＝4，所以1/a＝（√10－√6）/2。两者相加为√10，相减为√6。将它们交换，就得到差为－√6的另一种情况。

为什么不能凭a＞0舍去负的差？

由原条件可知a为正，因为负数与它的倒数的和仍为负，不可能等于√10。但a为正，不代表它一定大于一。只有补充a＞1时，才能确定差为√6；若补充0＜a＜1，差就是－√6。原题没有这些附加条件，两个值都应保留。

02 · 先消去系数，再处理平方

第8题方法：先解方程，再和候选数核对

题目已经提供候选数，可以逐个代入判断。不过，先整理方程得到全部解，往往更快捷，也不容易遗漏。整理时先把平方项单独留在一边，再考虑正负两种平方根，最后从括号里选出对应的数。

第8（1）题｜选√3与－√3

解：由2x²－6＝0，得2x²＝6， 所以x²＝3，x＝±√3。 故给出的数中，方程的解为√3、－√3。

检验：两者的平方均为三，代回得到二乘三减六等于零。若选√6或－√6，平方为六，代入左边得到六而不是零，所以它们不是解。先除以二这一步，不能因为看见六就跳过去。

第8（2）题｜把x＋5看成一个整体

解：由2（x＋5）²＝24，得 （x＋5）²＝12。 所以x＋5＝±√12＝±2√3。 两边减5，得x＝－5±2√3。 故给出的数中，方程的解为－5＋2√3、－5－2√3。

这里先求出的不是x，而是x＋5。求出这个整体后，还必须减去五，才能得到x。不要把答案写成5±2√3，也不要把括号内的平方拆成x²＋25，那样会漏掉中间项。

代回原方程，检查括号与符号

把x＝－5＋2√3代回，x＋5＝2√3，平方为十二，再乘二等于二十四。把另一个解代回，x＋5＝－2√3，平方同样为十二。这个检查可以同时发现移项符号错了、根式化简错了和漏解等问题。

把提示变成自己的方法，而不是只记答案

第7题提示我们比较两个平方，是因为直接从和得到差并不容易，平方以后却会出现相同的两项。遇到这种提示，可以先各自展开，再用颜色或下划线标出相同部分，看看剩下什么。这样就能理解差四从哪里来，而不是把它当作一个需要另背的新公式。

也可以从平方差公式出发：和与差的和为两倍的a，和与差的差为两倍的倒数，二者相乘正好是四。两条推导路径互相印证，也让已学过的公式建立联系。

候选答案该怎样用，才能又快又稳？

候选数不是额外的已知条件，而是需要逐一判断的对象。若计算量很小，直接代入当然可行；若候选数含有复杂根式，先解出整体通常更简便。本题第二小题的关键就是让五与负五抵消，不需要一开始就展开所有候选数的平方。

最后应写出所有符合条件的候选数，不能找到一个就停止。验证一个数是解，只能说明它可取；要说明答案没有遗漏，还需要利用平方关系，把正、负两种情况完整列出。

名师方法｜看整体，辨平方，留双解

第7题把a与倒数的差看成整体，第8题把x＋5看成整体。只要整理成“整体的平方等于正数”，就先保留两个平方根，再用原题条件判断是否需要舍去。不能仅凭根号结果非负，就把方程的负根删掉。

当堂检测

1. 若b＋1/b＝√13，求b－1/b的值。 2. 解方程3（x－2）²＝18。

想好再看：第一题差的平方为九，差为±3；第二题（x－2）²＝6，因此x＝2±√6。请分别把两个结果代回检验，体会“求平方根”和“算一个根式”的区别。

内容依据：新人教版八年级下册数学第十九章《二次根式》第16页，习题19.3“拓广探索”第7、8题。