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知识点64：
知场源模型
析
电场
的
已
分
计算
力与能
性质
【知识思维方法技巧】
（1）电场力做功的四种计算方法：
（2）电势的计算：
①任何电场φ＝（将q、Ep的大小、正负号一起代入公式进行计算）
②点电荷产生的电势φ＝k（将Q 正负号代入公式计算）
③标量求和法比较电势的高低
（3）电势能的计算：
①任何电场中的电势能Ep＝qφ，将q、φ 的大小、正负号一起代入公式进行计算判断。
②点电荷电场中的电势能Ep＝k，将q、Q 的大小、正负号一起代入公式进行计算判断。
点一：场源是点电荷模型
考
题型一：场源是一个点电荷模型
类型一：平面模型
【典例1a 拔尖题】(多选)如图所示，在真空中某点电荷的电场中，将两个电荷量相等的试
探电荷分别置于M、N 两点时，两试探电荷所受电场力相互垂直，且F2＝3F1(不计试探电
荷间的相互作用力)，下列说法中正确的是( )
A．这两个试探电荷的电性一定相反
B．M、N 两点可能在同一等势面上
C．若将电子沿MN 连线从M 点移到N 点，电子电势能一定先增大后减小
D．若点M 处电场强度大小为E，则M、N 连线上的最大电场强度大小为4E
【典例1a 拔尖题】【答案】AD
【解析】将F2和F1的作用线延长相交，交点即为点电荷的位置，可知，点电荷对M 处试
探电荷有排斥力，对N 处试探电荷有吸引力，所以这两个试探电荷的电性一定相反，故A
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正确．由于F2＝3F1，可知M、N 到点电荷的距离不等，不在同一等势面上，故B 错误．
若点电荷带正电，则把电子从M 点移到N 点，电场力先做正功后做负功，电子电势能先减
小后增大，故C 错误．由于F2＝3F1，若点M 处电场强度大小为E，则点N 处场强为3E；
根据E＝，则＝·，O 点到MN 的最短距离为＝ sin60°＝，则EP＝＝＝＝4E，故D 正确．
类型二：三维空间模型
【典例1b 拔尖题】如图所示，空间有一正三棱锥P－ABC，D 点是BC 边上的中点，O 点
是底面ABC 的中心，现在顶点P 点固定一负的点电荷，则下列说法正确的是( )
A．A、B、C 三点的电场强度相同
B．底面ABC 为等势面，所以沿该面移动电荷静电力不做功
C．将一正的点电荷从A 点沿直线移到D 点过程中，该试探电荷电势能先减少后增加
D．若B、C、D 三点的电势为φB、φC、φD，则有φB－φD＝φD－φC
【典例1b 拔尖题】【答案】C
【解析】A、B、C 三点到P 点距离相同，故三点电场强度大小相等，但方向不同，故A、
B、C 三点的电场强度不相同，故A 错误；O 到P 点距离比A、B、C 三点到P 点距离短，
故电势比A、B、C 三点电势低，又O 点为底面ABC 上的一点，故底面ABC 不是等势面，
故B 错误；O 到P 点距离比A、D 两点到P 点距离短，故电势比A、D 两点电势低，则电
势能先减小后增大，故C 正确；B、C 两点到P 点距离相等，两点电势相等，则φB－φD＝
φC－φD，故D 错误．
【典例1b 拔尖题对应练习】如图所示，空间有一圆锥OBD，点A、E 分别是两母线的中点．
现在顶点O 处固定一正的点电荷，下列说法中正确的是( )
A．B、D 两点的电场强度相同
B．平行于底面的圆心为O1的截面为等势面
C．将一负的试探电荷从A 点沿直径移到E 点，试探电荷的电势能先增大后减小
D．若O1点的电势为φ1，O2点的电势为φ2，则O1、O2中点的电势小于
【典例1b 拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】点B、D 到O 点的距离相等，根据点电荷的场强公式E＝k 分析可知，B、D 两点
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的电场强度大小相等，但方向不同，故A 错误；点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇
球面，平行于底面的圆心为O1的截面上各个点到O 点的距离不等，故不是等势面，故B 错
误；将一负的试探电荷从A 点沿直径移到E 点，电势先升高后降低，电势能先减小后增大，
C 错误；设O1、O2的中点为P，由于O1P 间场强大于PO2间场强，由U＝Ed 知，O1P 间的
电势差大于PO2间的电势差，则有：φ1－φP>φP－φ2，则φP<，故D 正确．
题型二：场源是等量异种点电荷模型
类型一：平面模型
【典例2a 拔尖题】如图所示为等边三角形ABC，在A、B 两点放等量异种点电荷，已知
A、B 连线中点处的电场强度和电势分别为E、φ，则C 点的场强和电势分别为( )
A.E、φ
B.E、φ
C.E、φ
D.E、φ
【典例2a 拔尖题】【答案】A
【解析】设等边三角形的边长为L，A、B 两点的电荷量大小为Q，A、B 连线中点处的电
场强度为E＝2＝，C 点的电场强度为EC＝cos 60°＝E，等量异种点电荷连线的中垂线是一
条等势线，则有φC＝φ，故A 正确，B、C、D 错误。
【典例2a 拔尖题对应练习】(多选)如图所示，带电荷量为＋q 和－q 的点电荷分别位于绝缘
薄圆盘中心轴线上，两电荷到圆心O 的距离相等。A 点位于圆盘边缘，B 点为某半径的中
点，关于A、B、O 三点电场强度E 的大小和电势φ 的高低关系判断正确的是( )
A.EA＜EB＜EO
B.EA＝EB＝EO
C.φA＞φB＞φO
D.φA＝φB＝φO
【典例2a 拔尖题对应练习】【答案】AD
【解析】根据等量异种点电荷中垂面上电场线分布的特点可知，圆心O 处场强最大，离圆
心越远，电场线越稀疏，场强越小，即EA＜EB＜EO，故A 正确，B 错误；圆盘处在等量异
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种电荷的中垂面上，所以此圆盘是一个等势体，薄圆盘表面是一个等势面，即φA＝φB＝
φO，故C 错误，D 正确。
题型三：场源是等量同种点电荷模型
类型一：平面模型
【典例3a 拔尖题】如图，两个带等量正电的点电荷，分别固定在绝缘水平桌面上的A、B
两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面A、B 两点间，且圆形细管圆心O 位于A、B 连线
的中点。细管与A、B 连线及中垂线交点分别为C、E、D、F。一个带负电的小球在细管
中按顺时针方向做完整的圆周运动。不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
A．小球从C 运动到D 的过程中，速度先减小后增大
B．在两个带正电的点电荷产生的电场中，C 点的电势比F 点的电势低
C．小球在C、E 两点的速度大小相等，有相同的电势能
D．小球在D、F 两点所受的电场力相同
【典例3a 拔尖题】【答案】C
【解析】由两正点电荷电场线的分布特点知，φC＝φE>φD＝φF，B 错误；因φC＝φE，故小球
在C、E 两点的电势能相等，动能相等，速度大小相等，C 正确；小球从C 点运动到D 点
的过程中，电势能增加，动能减小，A 错误；小球在D、F 两点所受的电场力方向相反，D
错误。
【典例3a 拔尖题对应练习】(多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．
一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O 点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．
过O 点作两正电荷连线的垂线，以O 点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c 和b、d，
如图所示．以下说法正确的是( )
A．a 点电势低于O 点
B．b 点电势低于c 点
C．该试探电荷在a 点的电势能大于在b 点的电势能
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D．该试探电荷在c 点的电势能小于在d 点的电势能
【典例3a 拔尖题对应练习】【答案】BD
【解析】作出两个固定点电荷分别在O 点附近的电场线，由题意知，O 点的场强EO＝0，
则两点电荷分别在O 点处产生电场的电场线疏密相同，进而推知O 点左侧的电场方向向右，
O 点右侧的电场方向向左．可以判定：a 点电势高于O 点，b 点电势低于c 点，故A 错误，
B 正确；由Ep＝φq 可知，a 点的电势高于b 点，试探电荷(带负电)在a 点的电势能比b 点小，
故C 错误；c 点电势高于d 点，试探电荷(带负电)在c 点的电势能小于d 点，故D 正确．
类型二：三维空间模型
【典例3b 拔尖题】如图所示，a、b、c、d、e、f 是以O 为球心的球面上的点，平面aecf 与
平面bedf 垂直，分别在b、d 两点处放有等量同种点电荷＋Q，取无穷远处电势为零，则下
列说法正确的是( )
A．a、e、c、f 四点电场强度相同
B．a、e、c、f 四点电势不同
C．电子沿球面曲线a→e→c 运动过程中，静电力先做正功后做负功
D．电子沿直线由a→O→c 运动过程中，电势能先减少后增加
【典例3b 拔尖题】【答案】D
【解析】等量同种点电荷中垂面上，关于O 点对称的点的电场强度大小相等，方向相反，
故A 错误；a、e、c、f 四点在同一等势线上，电势相同，故B 错误；电子沿球面曲线
a→e→c 运动过程中，电势处处相同，静电力不做功，故C 错误；电子沿直线a→O→c 运
动过程中，电势先升高后降低，电势能先减少后增加，故D 正确．
题型四：场源是不等量点电荷模型
【典例4 拔尖题】如图，真空中电荷量为2q 和－q(q>0)的两个点电荷分别位于M 点与N 点，
形成一个以MN 延长线上O 点为球心，电势为零的等势面(取无穷远处电势为零)，P 为MN
连线上的一点，S 为等势面与直线MN 的交点，T 为等势面上的一点，下列说法正确的是(
)
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A．P 点电势低于S 点电势
B．T 点电场强度方向指向O 点
C．除无穷远处外，MN 直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷q0从T 点移到P 点，静电力做正功
【典例4 拔尖题】【答案】B
【解析】在直线MN 上，左边正电荷在M 点右侧电场强度水平向右，右边负电荷在直线
MN 上电场强度水平向右，根据电场的叠加可知MN 间的电场强度水平向右，沿着电场线
电势逐渐降低，可知P 点电势高于等势面与MN 交点处电势，则P 点电势高于S 点电势，
故A 错误；由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N 点之间的左侧电场强度不可
能为零，设M、N 之间的距离为L，在N 点右侧与N 点距离为d 的点电场强度为零，则有
＝，可知除无穷远处外，直线MN 上电场强度为零的点只有一个，故C 错误；由A 选项分
析可知：T 点电势低于P 点电势，则正电荷在T 点的电势能低于在P 点的电势能，将正试
探电荷q0从T 点移到P 点，电势能增加，静电力做负功，故D 错误；由于电场强度方向垂
直等势面，可知T 点的电场强度方向必过等势面的球心O，根据异种电荷的电场线分线情
况可知，N、S 间电场线方向由S 指向N，则φS>φO，由于φT＝φS，则φT>φO，故T 点电场
强度方向指向O 点，故B 正确．
【典例4 拔尖题对应练习】(多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等。
一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O 点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态。
过O 点作两正电荷连线的垂线，以O 点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c 和b、d，
如图所示。以下说法正确的是( )
A．a 点电势低于O 点
B．b 点电势低于c 点
C．该试探电荷在a 点的电势能大于在b 点的电势能
D．该试探电荷在c 点的电势能小于在d 点的电势能
【典例4 拔尖题对应练习】【答案】BD
【解析】由题意可知O 点场强为零，所以a、O 两点间场强方向是由a 指向O 的，所以
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φa>φO，A 项错误；同理，φc>φO，O 点与b 点间的电场强度有竖直向上的分量，所以
φO>φb，则φc>φb，B 项正确；同理，φa>φb，φc>φd，又带负电的试探电荷在电势高处电势能
小，所以C 项错误，D 项正确。
题型五：场源是多个点电荷模型
【典例5 拔尖题】（多选）如图，两对等量异号点电荷＋q、－q(q>0)固定于正方形的4 个
顶点上．L、N 是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O 为内切圆的圆心，M 为切点．
则( )
A．L 和N 两点处的电场方向相互垂直
B．M 点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的点电荷从M 点移动到O 点，电场力做正功
D．将一带正电的点电荷从L 点移动到N 点，电场力做功为零
【典例5 拔尖题】【答案】AB
【解析】两个正点电荷在N 点产生的电场强度方向由N 指向O，N 点处于两负点电荷连线
的中垂线上，则两负点电荷在N 点产生的电场强度方向由N 指向O，则N 点的合电场强度
方向由N 指向O，同理可知，两个负点电荷在L 处产生的电场强度方向由O 指向L，L 点
处于两正点电荷连线的中垂线上，两正点电荷在L 处产生的电场强度方向由O 指向L，则
L 处的合电场强度方向由O 指向L，由于正方形两对角线垂直平分，则L 和N 两点处的电
场方向相互垂直，故A 正确；正方形底边的一对等量异号点电荷在M 点产生的电场强度方
向向左，而正方形上方的一对等量异号点电荷在M 点产生的电场强度方向向右，由于M
点离上方一对等量异号点电荷距离较远，则M 点的电场方向向左，故B 正确；
由题图可知，M 和O 点位于两等量异号点电荷的等势线上，即M 和O 点电势相等，所以
将一带正电的点电荷从M 点移动到O 点，电场力做功为零，故C 错误；由题图结合等量异
号点电荷模型可知，L 点的电势低于N 点电势，则将一带正电的点电荷从L 点移动到N 点，
电场力做功不为零，故D 错误．
【典例5 拔尖题对应练习】（多选）如图所示，空间中固定的四个点电荷分别位于正四面
体的四个顶点处，A 点为对应棱的中点，B 点为右侧面的中心，C 点为底面的中心，D 点为
正四面体的中心(到四个顶点的距离均相等)．则下列判断正确的是( )
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A．将电子从A 点移动到B 点，电势能增加 B．B 点电势高于C 点电势
C．A 点电势等于D 点电势 D．A 点电势等于C 点电势
【典例5 拔尖题对应练习】【答案】BC
【解析】两个等量异种点电荷，其电场线和等势面关于其连线中垂面对称，由题目描述知
A、D 既在b、d 的等势面上，又在a、c 的等势面上，故两点电势相等且都为零，故C 正确；
A、B、C、D 在b、d 电荷产生电场的同一等势面上，由图可知，a、c 两电荷的电场线方向
由B 指向C 一侧，依据沿电场线方向电势降低，由几何关系可知φB＞φC，φB＞φA，φD＞
φC，故B 正确，D 错误．由上分析可知φB＞φA，将电子从A 点移动到B 点，电场力做正功，
电势能减少，故A 错误．
点二：场源是其他电荷模型
考
题型一：场源是匀强电场模型
【典例1 拔尖题】（多选）如图，圆心为O 的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，
ab 和cd 为该圆直径．将电荷量为q(q＞0)的粒子从a 点移动到b 点，电场力做功为2W(W＞
0)；若将该粒子从c 点移动到d 点，电场力做功为W.下列说法正确的是( )
A．该匀强电场的场强方向与ab 平行
B．将该粒子从d 点移动到b 点，电场力做功为0.5W
C．a 点电势低于c 点电势
D．若只受电场力，从d 点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动
【典例1 拔尖题】【答案】AB
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【解析】由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的思路，沿cd 方向建立x 轴，垂直于cd
方向建立y 轴如图所示，在x 方向有W ＝ Exq2R，在y 方向有2W ＝ EyqR ＋ ExqR，经过
计算有Ex ＝ ，Ey＝，E ＝，tan θ＝＝，由于电场方向与水平方向成60°，则电场与ab
平行，且沿a 指向b，A 正确；该粒子从d 点运动到b 点，电场力做的功为W′＝Eq＝
0.5W，B 正确；沿电场线方向电势逐渐降低，则a 点的电势高于c 点的电势，C 错误；若
粒子的初速度方向与ab 平行则粒子做匀变速直线运动，D 错误．
题型二：场源是其他带电体模型
【典例2 拔尖题】电子焊接机中的电场线如图中虚线所示．圆弧形极板K 为阴极，A 为阳
极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高压U，有一电子在K 极由静止被加速；不考
虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是( )
A. 由K 到A 电势逐渐降低
B. A 和K 之间的电场强度大小为
C. A 点与KA 中点的电势差大于
D. 电子由K 运动到A 的过程中，其电势能增加了eU
【典例2 拔尖题】【答案】C
【解析】沿着电场线的方向电势降低，由K 到A 为逆着电场线方向，因此电势升高，A 错
误；A 和K 之间的电场为非匀强电场，B 错误；从A 到K 电势降低，若KA 之间为匀强电
场，则A 点与KA 中点的电势差为U1＝U，由题图可知，越靠近A 端电场线密度越大，
即越靠近A 端电场强度越大，则A 点与KA 中点的电势差大于，C 正确；电子由K 运动
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到A 的过程中，静电力做正功，电势能减少了eU，D 错误．
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