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日志与习题结合:一种高质量学习数学的方法
发布时间：2026-11-12 07:03:32 最近访问：2026-11-12 07:03:32
日志与习题结合:一种高质量学习数学的方法
前言：在AI时代，靠刷题取得高分的即将成为过去式，像《几何原本》和《代数学原理》这种经典教材，都是一种训练思考力的材料，在这个时代显得更佳珍贵。这篇论文由 Renaud Chorlay 撰写，发表在 ZDM – Mathematics Education（2022，54:1583–1596），DOI：10.1007/s11858-022-01434-7。论文研究的是：当教师拿到同一份数学史原始文本时，会怎样把它改造成真正的课堂活动？研究者给五位法国高中数学教师同一材料：欧拉《代数学原理》中关于用迭代法逼近平方根的节选。教师各自独立设计、实施课堂，不与研究者或其他教师讨论具体教学方案。研究关注两点：教师作出了哪些教学设计选择？是哪些因素塑造了这些选择？感兴趣的读者可以参考原文。课程记录了老师在课程中留下的日志记录。可在文章末尾查阅相关的内容。学习数学（其他任何科目也是如此）不能只靠刷题，也不能只停留在阅读和感想上。更有效的方式，是把“习题训练”与“学习日志”结合起来：习题帮助我们掌握计算与方法，日志帮助我们理解方法为什么成立、适用于什么情形，以及自己究竟在哪里没有想明白。欧拉代数学的价值，不只在于给出结论或算法，更在于展示数学家如何从一个问题出发，逐步改写、近似、判断和解释。文章末尾会展示，欧拉讨论平方根近似时，会把 x 写成 4+p，展开平方后略去较小的 p² 项，从而得到越来越精确的近似值。若只把这一过程当作固定步骤来练习，学生或许能够完成计算，却未必理解：为什么 p² 可以略去？这种近似的误差怎样判断？算法会不会终止？这种方法与现代的数列、极限和牛顿法有什么联系？学习日志正是用来保存和推进这些思考的工具。
具体而言，可以采用“阅读—练习—记录—修正—再练习”的循环。
第一步是带着问题阅读原文。
每次阅读不宜贪多，可以选择一小段，先记录三个问题：这段文字要解决什么问题？欧拉采用了什么方法？哪些地方暂时看不懂？例如，读到“忽略 p²”时，可以先写下：“欧拉认为 p² 很小，但‘很小’究竟是什么意思？相对于什么而言？”这样，阅读就从被动接受转变为主动提问。
第二步是完成必要的习题。
习题的作用是把原文中的方法真正做出来。例如，可以手算欧拉求 √20 近似值的过程，再分别尝试求 √5、√7 或其他数的近似值；也可以将算法写成程序，比较不同初始值下的结果。做题时应尽量保留完整过程，而不是只写最后答案。若计算出错，要明确标出错误发生在哪一步：是展开式错误、分数运算错误，还是对算法步骤的理解错误。
第三步是写简短而具体的学习日志。
日志不必写成泛泛的心得，而应围绕数学思考展开。每次学习后可以记录以下内容：
例如，可以写：“今天我用欧拉的方法求 √20 的近似值。我理解了把 x 写为 4+p 是为了把未知量转化为较小的修正量。但我还不能严格说明为什么每次都能略去 p²。下次我想比较 p 和 p² 的大小，并计算每一步近似的误差。”这样的日志比“今天学了平方根近似法，感觉有点难”更有学习价值。
第四步是根据日志修正理解，再做变式练习。
日志中暴露的问题，应成为下一轮习题的方向。如果不理解“忽略小量”的合理性，就不要机械地再做十道同类计算题，而应设计比较性练习：当 p 分别为 1/2、1/10、1/100 时，比较 p 与 p²；计算忽略 p² 后会产生多大误差。这样，习题不再只是重复，而是直接回应自己的困惑。
第五步是定期回顾日志，形成知识网络。
每周可选一篇日志，整理为“这周最重要的一个问题”。例如：“欧拉的近似法为什么是一种迭代算法？”然后把它与此前学过的方程、数列、极限、导数或程序循环联系起来。通过这种回顾，会逐渐发现，一个计算例子并不是孤立技巧，而是多个数学概念相互联系的起点。
这种方法的核心，是让习题和日志各自发挥不同作用。习题负责训练计算、检验掌握程度、建立熟练性；日志负责记录问题、解释方法、反思错误、建立联系。只有刷题，容易把数学学成步骤和答案；只有写日志，又可能停留在模糊感想而缺少运算基础。两者结合，才能既“会做”，又“懂得为什么这样做”。
因此，不应以完成多少页习题为唯一标准，而应关注自己能否逐渐做到：读懂一段原文，复现一种方法，解释关键步骤，发现自己的疑问，并通过新的练习推进理解。这样的学习过程，不只是掌握欧拉的算法，更是在学习数学家如何思考。
学生日志记录如下：【“算法思维”和“证明”这两个贯穿各年级的主题除外】一、常规计算与数字工具 本段材料提供了进行常规计算的机会［8—10年级］：展开 (4 + p)²，进行分数运算，解一元一次方程，以及求解方程 x² = 20。这些步骤本身都很常规，但数值很快就会变得难以用纸笔处理。可以考虑使用一些数字工具［10—12年级］。二、比较数值 本段材料提供了比较数值的机会［8—10年级］。一种方法是把依次得到的近似值 4，4 + 1/2，4 + 17/36，…… 与 √20 的一个数值近似进行比较；另一种方法是比较这些近似值各自的平方与 20。三、忽略 p² 的依据 主要依据——“p² 一定很小，因此我们把它忽略”——含义并不明确，原文也没有提供类似证明的论证来支持这一做法。对此可以有几种解释。 一种静态的解释是：如果 |p| < 1（这项判断本身也需要依据），那么 p² < |p|，而且 |8p|［10年级］等。 可是，欧拉写道，随着算法一步步进行，忽略 p² 就越来越有道理。这或许指向一种渐近解释：当 p 趋近于 0 时，由于比值 |p|/p² → +∞， p² 就会比 |p| 小得多。四、算法讲解与启发式论证 这段文字把两种数学文本的写法交织在一起：一种是讲解算法，另一种是用启发式的论证，为计算中的关键步骤提供某些依据，例如，因为 p²“很小”，所以把它划去。 相比之下，这段文字似乎不属于“证明”这一类：它讨论的是一个例子，没有明显使用背景理论，而且其中作为依据的说法也没有定理支撑。五、数论主题 这段文字提到或指向了数论中的若干主题。开篇段落提到对数的分类：有些数是“有理数”，有些数则必须用“根式”表示；由此可以看出，√20 属于后一类［10年级］。 此外，数论还可以回答一个关键的算法问题：如果从有理数开始，例如从 4 开始，算法永远不会产生平方等于 20 的数，因此算法不会终止。可以在 12 年级进行归纳证明。六、方法的适用范围 这段文字展示了某种方法的最初几步，但至少在这段摘录中，并没有明确说明这种方法适用于多大范围。 欧拉是在说，得到的四个数值——从 4 到 4 + 5473/11592——只是越来越好的 √20 近似值吗？还是说，把这个过程看作迭代算法后，它会产生一个以 √20 为极限的数列［11—12年级］？ 这种“方法”对所有开平方的情形都适用吗，也就是所谓的“海伦数列”？甚至，它能否用于所有多项式方程？七、牛顿—拉夫森方法与导数 伯努利的脚注提醒读者，欧拉讲述的其实是牛顿—拉夫森方法（Chabert，1999）。对熟悉数学的读者来说，这应该会让人想到切线和导数；然而乍看之下，这些内容在原文中似乎都没有出现。 不过，从多项式的角度，并结合现代观点来看，变量替换 x = 4 + p 以及忽略 p² 这一做法，实际上相当于计算导数。欧拉的文字可以看作是在展示一个关键概念的特殊情形：导数能够提供局部线性近似［11—12年级］。八、把过程写成算法 这段文字展示了一个显然属于迭代算法的过程的最初几步。识别出这里介绍的是迭代算法，把启发式的部分删去、提炼出算法本身，再用编程语言实现，都是高中阶段可以完成的任务。九、比较不同的数值算法 还可以学习并实现其他用于近似求解数值方程的算法［10—12年级］，并可以比较它们的效率。 此外，实现牛顿法需要先有一个粗略的解的近似值——这里是 √20 ≈ 4。 而要得到这个初始近似值，本身可能还需要另一种算法。还可以追问：算法的结果是否取决于初始值？如果从 5、20 或 0 开始，这种“方法”也能奏效吗？十、变量记号与编程中的赋值 欧拉用同一个字母 x 表示不同的数值，p 也一样；从严谨性的角度看，这种写法可以提出疑问。对此，至少有两种在数学和教学上都有意义的处理方式。 第一种是让学生看出，这个迭代方法递归地生成了数列，并引入如下记号： xₙ₊₁ = ½（xₙ + 20/xₙ）［11年级］。 第二种是把这些字母理解为编程变量，而不是数学变量［10年级］。在这种理解下，有些“=”符号应读作“把新值赋给变量”的赋值运算符，而不是表示数学相等的等号。讨论内容不仅涉及相关的数学概念和技巧，也涉及数学活动本身的性质。
