解锁 “高考数学学科素养”专题系列——13 对数与对数函数重在
引进一种运算 “逆运算”与一个 “翻折变换”的模型
对数是进行科学计算不可缺少的重要工具，而对数函数在社会科学和自然科学中有着很重要的应用.
解决函数综合题,以及利用图象研究互为反函数的问题.
解锁一：对数的本质属性
1.对数与对数运算
(1)对数的定义: 如果
，那么数
叫做以
为底
的对数.记作
，其
中
叫做对数的底数，
叫做真数.
说明:对数的定义说明，①表示一种特殊的数，②对数、对数函数的运算；③指、对数之间的相互转
化; ④互为反函数之间的关系.
探点.已知
，且均不为，
，则
.
探点:连等式，可设出连等值，解出
代入所求进行多元变少元的运算.设
,则
, 代入
得
，所以
.
(2)常用的对数：
①常用对数：以
为底的对数叫做常用对数，并把常用对数
简记为lgN，即
；
②自然对数：以
为底的对数叫自然对数，并把自然对数
简记作
，即
.
2. 解锁定义
❶利用对数运算要注意运算的条件.
悟惑.
的零点个数为
.
错解：令
，则
，即
，由
图象可知
交点由一个，所以零点个数为.
探点：
，所以
零点个数为
个.
❷指、对数要会灵活转化
3.对数的本质属性
对数是指数运算中的逆运算；利用对数的运算性质将乘除降维为加减运算；对数的关键特性：简化
复杂计算、压缩数量级.
解锁二：解对数运算题的原则
第一步:搞清研究对象；
第二步:确定参数的条件；
第三步:是否可用对数运算的性质？
第四步：是，直接运算求解；否，先变形，后运算；
第五步：给出精准的结论（幂数的指数不能写成方式形式，分式的分母不能含有根号，最后结果是
最简式.）.
探点.求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
探究：
(1)原式
；
(2)原式
(3)原式
.
解锁三：对数的有关性质
(3)对数性质: 如果
且
,
，那么：
①
②
③
；④
⑤
；
⑥
；⑦
(4)对数运算性质:
若
，
,则
①
;
②
;
③
悟惑：对数之积不能直接运算
探点、函数
的最小值为________.
探究：因为
，而
，所以
时
最小，故
的最小值为
.
解锁四：对数函数的本质属性
1.对数函数的定义
函数y=loga x
叫做对数函数,其中
是自变量,函数的定义域是
.
2. 解锁定义
(1)注意定义的结构形式：
说明研究指、对数函数要分底
和
；
(2)对数式函数
(正弦式
)
悟惑.若指数函数
在
上的最值之和为
，则
的减区间为
.
(3)指数函数与对数函数的图象关于
对
称.
3.对数函数的本质属性
以真数为自变量，通过反函数关系定义、具
有特定单调性与渐近行为，并能将乘除运算降维
加减运算的特殊初等函数.
解锁五：对数函数的图象与性质
1.图象如右：
2.特殊性如下：
(左一、二图为指数函数图象，右一、二为对数函数图象)
说明:一般性质略，注意特殊性.
(1)正确理解
：
是一个满足
的常数；
可以是一个代数式.
悟惑.函数
，则实数
的取值范围为 .
探点:
, 解得
，故实数
的取值范围为
.
(2)过定点：
悟惑.函数
的图象过定点为 探点：定点即为与参数无关的点，故
.
(3)指、对函数值的变化参数:
与.指、对数函数的函数值变化特征：对数值，
在的同侧，
则
,
在的异侧，则
.
悟惑.已知
，则
探点:x=ln π>1，
y=log52=
1
log25 < 1
2 ，
z=e
−1
2= 1
√e ，
1
2 < 1
√e <1
，所以y<z<x ，选
D.
(4)函数图象的凸凹性: 下凸； 当
时上凸，当
时下凸；
(5)渐近线:
轴
轴
(6)图象的相对位置:
①同类对数函数与指数函数图象关于
对称.即图象在
的右侧当底大于时，底大图象越靠
近坐标轴即越陡峭或平；当底大于
小于时，底越小图象越靠近坐标轴交叉的另一端相对位置相反.
②异类:
与
，当
时，最多有两个公共点；当
时，最多有三个公共点.
悟惑.函数
与
交于三点，
上一点.
(7)反函数: 函数
与
互为反函数；
悟惑1.设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
最
小值为
探点：函数
与函数
互为反函数，图象关于
对称，函数
上的点
到直线
的距离为
，设函数
, 则
, 所以
, 即
，由图象关于
对称得：点
与点
最小值为
,故选
.
变式: 已知P,Q 分别为函数
f ( x)=1
2 e
x−1
2
，
g( x)=ln(2 x)+ 1
2 上两点，则点
与点
的距离|PQ |
的最小值是__________．
探究；因为函数
与函数
的图象均过点
，所以点
与点
的距离|PQ |的最小值是
.
题思:求两条曲线上两点间距离，首先要判定这两条曲线的位置关系，后求解；求解时要注意关注两
条曲线之间的关系，在选择解题方法.
探究:已知两个函数是互为反函数，所以只需不等式
有解.----
(8)指数爆炸，对数平稳，即当
很大时，
.
(9)函数
的图象:
探点1.①若
，则
满足的关系为 ;
②若
，则
的取值范围为
探究1:利用对数函数性质
探究2:利用
的性质知①
；②
或
探点2.已知
，则
的大小关系为 .
探究1: (利用对数函数性质)设
，则由
知
,且
.
.
探究2(利用
的性质):
，可得
.
3.关于对数函数的几点说明:
(1)对数函数问题主要研究复合问题和合成问题，因此要当心存在域和局部值域！以及参数的取值问
题.
探点1.函数
的
①值域是
，则实数
的取值范围为 ；
②在
单调递增，则实数
的取值范围为 .
探点:
①
,因为函数
的值域是
，所以
，解得
；
②设
，则
解得
，所以实数
的取值范围为
.
探点2.函数
图象与
图象关于
对称，记
，若
在
，则实数
的取值范围为 .
探
究
:
，
由
知
，
若
，
则
，
因
为
的对称轴方程为
，解得
，这
与
矛盾，所以
，此时
，所以
，解得
，故实数
的取值范围为
.
(2)对数函数的合成运算必须是对数函数的同性的组合
探点.若函数
在
上恒有意义，则实数
的取值范围为
.
探
究
：
，
即
，
因
为
函
数
在
上恒成立，所以
，故
实数
的取值范围为
.
(3)灵活恰当变形后再求解指、对数函数问题
探点.已知函数
是偶函数.
(1)求
的值；
(2)若不等式
对
恒成立，求实数
的取值范围.
探究：(1)因为函数
是偶函数，所以
，所以
，
解
得
.
(2)由(1)知，
,不等式
即为
,令
. 则
, 函数
在
单调递减，
，所以
的取值范围是
.
（4）对数函数的图象变换
探点.已知函数
| lg
|,0
10,
( )
1
6,
10.
2
x
x
f x
x
x
若, ,
a b c 互不相等，且
( )
( )
( ),
f a
f b
f c
则abc 的取值
范围是
探点1:不妨设a
b
c
，取特例，如取
1
( )
( )
( )
2
f a
f b
f c
，则易得
1
1
2
2
10
,
10 ,
11
a
b
c
，
从而
11
abc
，选
．
探究2:不妨设a
b
c
，则由
，再根据图像易得10
12
c
，
故选C．
探究3:不妨设
，则由
，再
根据图像易得10
12
c
，故选
．
(5)多个对数函数
①图象的相对位置关系与第的大小关系；
②利用多个函数构成一个函数的性质解题；
③过定点问题,
(6)对数混合型:主次分明，灵活运用函数性质
探点1.函数
的定义域恰好为区间
，
恰在
上取正值，且
，则
.
探究: 由
知，
，又定义域恰好为区间
，所以
，解得
，再由
恰在
上取正值得，
，由
，得
.
探究1(解方程组):可解得
，所以
.
探
究
2(
整
体
求
块
):
，
所
以
，
又
则
.
探点2.定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则
与
的大小关系为 .
探究: 由
知
是周期函数，且一个周期为
，所以
，即
，解得
，又
，解得
. 从而当
时，
,
,
,
所
以
，
所
以
，所以
，故
.
探点3.若
，则
.
探究:
,而
，
即
，
因
为
，所以
.
探点3.知函数
.
(1)若定义域是
，求
的取值范围；
(2)若值域是
，求
的取值范围．
探究:(1)的定义域为
，所以
对
恒成立．
②当
时，左边
只对区间
内的
成立．
②当
时，
解得
. 综上，
的取值范围为
.
(2) 因为函数
的值域为
，只需使
包含于
的值域内
①当
时，显然满足条件．
②当
时，应有
解得
或
. 综上，
的取值范围为
或
.
(7)对数方程与不等式
①形如:
.
解题策略:造底用单调性，注意存在域.
②形如:
.
解题策略:直接用单调性，注意存在域.
③形如:
.
解题策略:先换元再解一元二次.
④形如:
解题策略:先换元再求解.
(8)已知指、对数函数的混合方程或不等式，一般需要利用图象求解
探点.不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围为
.
探究：已知函数可变为
. 设
，利用图象可知
,故实数
的取值范围为
.
(9)对数函数与函数性质的综合问题
4.指、对数模型
指数型，
；对数型，
.
探点.已知函数
与
的图象在存在关于
轴对称点，则
的取值范围是
提示:
有解，选
解锁六：解对数函数题的原则
求对数函数题的解题原则：
第一步:搞清变量；
第二步:求定义域；
第三步:研究关系式要三看:一看底要统一，二看底要讨论，三借助图象回答问题；
第四步:求解；
第五步:回答问题.
说明:
1.解对数题要遵循代数题的解题原则，否则易出现丢失存在域的现象.
探点.已知函数
，则函数
的取值范围为 .
易错探点：因为
，所以
.
从而所求函数的取值范围为
.
正解：因为
，所以
的存在域满足
，即
，所以
，且
故从而所求函数的取值范围为
.
2.为了统一底常需:
(1)造底（“无底”造底.对象：两项式，一端有底一端无底，且不可消底.）:
.
(2)换底（对象:两底，但“底不统一或不符合要求”，且不易直接求解的问题.）:
①对数换底常见模型:
;
(
).
②幂、对数的复合：
如:解不等式:
.因为函数
在其定义域内单调
递增，而
，所以
，故不等式
的解集为
.
题思:多个函数的代数运算式可设为一个函数研究简单，直观，便以理解！再如:对单调
性来说，“同性之和”、“异性之差”可用合成法，这里均需将被研究的对象设为一个函数
研究;另外，一个函数问题不易求解时就要将这个函数分解为两个函数求解.
如:当
时，
恒成立，则
.
探究:直接研究不等式不方便，构造函数研究也不方便.可考虑分解为两个函数进行研究.
设
，则
过定点
，所以
过
，解得
.
(3)取底（对象:指数式，且一端是幂数，但幂指数是对数的或需要将幂的指数请下来的一类特殊指数
式）:
O
y
x
1
-1
探点1.
(
).
探点2.
与
的大小关系为
探究1 ：幂数的大小，底不同，指数不同. 利用单调性造同底:
,
不可；造同指数：
不可.故用比较大小的运算法，即取底.
与
的大小.取对数
与
（平方）
与
，而
，故
.
探究2：取对数
，两数同时除以
得
，故构造函数
.
3.讨论的原因是当涉及到指、对数函数的单调性或对幂数归类时，需知道底与的大小或对底的分类.
悟惑.满足
的实数
的取值范围为 .
探点:若
，则问题是指数函数值的大小问题，利用函数的单调性可知
，
取其它值
时利用方程的理念可知
，综上实数
的取值范围为
.
4.借助图象直观方便,尤其是指、对数函数的平移问题.
5.解指、对数问题应注意的几个基本理念
(1)指、对数函数是超越函数，“超越”什么？
“超越”了代数运算，即在具有某个运算的集
中，任意两个元素通过这个运算仍得到
中的一
个确定元素，称这个运算为
的一个 “代数运算”.对实数集来说，四则运算和整数次乘方开方都是代
数运算.
(2)指、对数函数的运算依据指、对数的运算法则与运算性质；
(3)指、对数函数是互为反函数.因此遇到指、对数函数有关的混合题要及时运用互为反函数的图象与
性质解题;
(4)对数函数反应曲线系的理念.因此要善于研究图象的相对位置;
(5)对数函数均有对偶式.指数函数研究幂数问题；对数函数
与
研究对数问题.
如:方程
的实根为
，方程
的实根为
,
.
探究:超越函数与代数函数的混合方程的根，用图象法.问题变为函数
与
的交点横坐
标问题，而
与
互为反函数，图象关于
对称，又
图象也关于
对称，所以
图象分别于
、
的交点也关于
对称.由
得
，所以
，故
.
6.注意对数函数的综合运算
严格运用求解代数问题的一般性原则进行求解.
探点1.已知函数
是奇函数．
(1)求
的值；
(2)判断
在区间
上的单调性并加以证明；
(3)当
＞1 时，
在
上取得最大值4，求
的值．
探究:
(1) 因为
是奇函数，所以
在其定义域内恒成立，即
恒成立，所以
恒成立，所以
或
(舍去)，所以
.
(2)
由
(1)
得
，
设
，
则
，因为
，所以
，所以
，所以当
时，
，
，即
，由减函数的定义知
在
上是减函数；当
时，
在
上是增函数．
(3)由(2)知
在
上单调递减，所以当
时，
取到最大值
，所以
，解得
.
变式:已知函数
是偶函数．设
，若函数
与
的图象有且只有一个公共点，求实数
的取值范围．
探究:由函数
是偶函数可知：
恒成立，解得
函数
与
的图
象有且只有一个公共点，即方程
有且只有一个实根，即
有且只有一个正根.
法一：①若
，则
不合题意；
②若
，则由
得
或
.当
时，
，不合题意；当
时，
,即
（舍去） ；一个正根与一个负根，即
，解得
.综上：实数
的取值范围
．
法二:分离法.
.解得
.综上：实数
的取值范围
．
探点2.设函数
，若函数的定义域为
，则函数
的值域为
，求实数
的取值范围.
探究：(1)由
知，已知函数的定义域为
，由题意知
，
，所以
.而
在
上单调递增，所以
在
上单调递减.以
，所以
是方程
的两个大于
的实根，
所以
,解得
，故实数
的取值范围为
.
