初中几何证不出、辅助线不会加:背下这6种模型口诀

周四晚上，一位初二妈妈来找我要几何复习计划表，顺手掏出孩子的草稿纸给我看。一道并不算偏的三角形全等证明题，孩子在原图上画了五条虚线，把三角形切成了蜘蛛网。

可他最后还是咬着笔杆卡在半路，一行证明步骤都没写出来。

这位妈妈纳闷地说，暑假刚让孩子把辅助线口诀背熟，怎么一做题还是不会加线。其实这6种常见模型口诀只是提供候选入口，真正能把题证出来，每添一条线都要从已知特征出发。

先说清这条线能带来哪条新性质，再去检验它能不能连上待证结论。

中点连对顶点，平分三角形面积

第一种常用的添线入口，是当题目给出了三角形某边的中点，而问题又跟面积相关。遇到这种情况时，最直接的做法，就是把这个中点和它所对的顶点连起来。

这条线一连，原来的大三角形就被分成了两个小三角形，因为底边相等、高也相同，它们的面积自然就相等了。

有些孩子一看到中点就乱连一气，连完既不标相等线段，也不知道换来了什么新条件。大人平时帮孩子梳理计划时要提醒他，先看清题目求什么。

只有需要转化面积或平分区域时，把中点连向对顶点才有用。

角平分线作垂线，直接得垂距相等

第二种高频入口，是题目里给出了角平分线，或者图上标着两个相等邻角。遇到这类图形时，最顺手的动作，就是从角平分线上的点向两边作垂线。

根据角平分线的性质定理，只要这两条垂线一落下去，就能白得一组垂距相等的线段，同时凑出两个直角三角形。

前几天有个初二孩子做一道证两条线段相等的题，刚开始盯着图形发呆了十来分钟。后来他看清题里有角平分线和一条现成的垂线，顺手向另一边补作了第二条垂线。

他在图旁写下垂距相等四个字，两个小三角形凑齐了全等条件，下一步顺顺当当就连上了。

很多孩子在学角平分线那一周，随堂练习做得挺顺，一到综合卷里图形转个角度，就忘了向两边作垂线。

平时整理错题本时，可以让孩子用红笔把角的两边描粗，先看有没有现成垂线，缺哪边就往哪边补。

垂直平分线连端点，转化相等线段

第三种入口针对的是垂直平分线，先看题干有没有这个条件。只要提到某条线是垂直平分线，就可以把线上的点跟两端连起来。

这一连就能调出核心性质，也就是线上任意一点到两个端点的距离相等。

我以前刚帮身边家长整理初中数学错题表时，也以为把口诀抄在扉页上，孩子做题时就会用了。后来对照了好多份试卷才明白，孩子缺的不是那句口诀。

他们真正缺的，是连接端点后马上在图上打相等记号，看看能不能拼出等腰三角形。

无论是向两边作垂线还是往两端连接端点，前三种添线办法其实都在做同一件事。它们都是把题干里的特殊条件，转化成相等的面积、线段或角。

只要看懂了这个转化门道，孩子面对图形时就不会抓着铅笔瞎画了。

上周在书店外遛弯时碰上的一位初二男生妈妈，聊起自家儿子背了厚厚一本几何口诀。孩子一做全等证明题还是乱画辅助线，数学一直在84分上下徘徊。

后来她没急着去外面报班，先去芒果同学约了个数学一对一老师。第一节课老师先让他合上口诀本，带着他逐句圈出题干里的特殊条件。

老师让他先口述作哪条线能多出哪组相等边角，再对照结论挑出能把条件连起来的那一条。

把整道题的思路讲透之后，又让他盖住步骤自己重证一遍，把几类常考题型练了四周，期中考试两道几何证明大题全拿满了，数学考到了103分。

把前三种直接出相等关系的入口练熟之后，遇到条件更隐蔽的几何题，就需要把图形翻折或平移一下。接下来这三种添线模型，专门用来对付那些条件分散在图形两头的硬骨头。

把中线延长一倍，构造全等与平行

第四种入口同样跟中点有关，针对的是求证线段和差或平行的难题。具体做法是把三角形的中线延长一倍，再把延长后的端点跟原三角形顶点连起来。

这条倍长出来的辅助线，能直接和对顶角、相等线段一起，构造出一对全等三角形，甚至围出一个平行四边形。

一旦全等三角形或平行四边形搭好了架子，原本分散在图形两头的两条线段，就会被搬到同一个三角形里。

孩子只要顺着这个新搬过来的相等关系往下推，原本证不出来的边角关系就明朗了。

等腰作底边垂线，长短线段截长补短

第五种和第六种入口，分别是遇到等腰三角形时作底边垂线，以及求证长线段等于两短线段之和时用截长补短。从等腰三角形的顶角顶点向底边作垂线，这条高也平分顶角和底边。

而在长线段上截取一段或把短线段延长一段，就能把线段加减法转化成证两条线段相等。

每添一线写清三步，核对能否连结论

把上面这六种模型口诀全记熟之后，最关键的一步，是养成画虚线前先写清三步的习惯。第一步写题里已知什么特殊条件，第二步写自己所作的是哪条辅助线。

第三步写画完后新增了哪个相等关系，再看本题用哪一个关系去连待证结论。

如果画完一条线，发现新增的性质跟待证结论搭不上边，那就果断擦掉换下一个入口，绝不在图上叠加废线。

你家孩子做几何证明题时，更容易卡在不知道添哪条线，还是添完线写不出步骤上。