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专题12 几何最值模型之逆等线模型
最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各
类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试
题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................1
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..........................................................................1
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）.................................................................................5
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）.................................................................................8
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）................................................................10
.......................................................................................................................................14
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）
逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。
逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝ ，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，
求CD+BE的最小值。
证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出
EF=CD；
④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线；
⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。
注意：题中的角度 ，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。
例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边 中， 分别为 边上的动点，且
总满足 则 的最小值 ．
【答案】
【详解】解： 是等边三角形， ，
， ， ，
当 时，即 时， 最短，则 有最小值，此时， ， ，
的最小值为 ，故答案为： ．
例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、
AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得如图所示：
过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，如图所示，∴∠HAD=∠ABC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE，
∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD，
∴当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，
∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作
AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值，
∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ （AAS），∴ ， ，
∵AF∥MN，点M是AB的中点，∴ ，
∴ ，∴在Rt△MNC中， ，∴ ，∴CD+BE的最小值为 ；故答案为 ．
例3．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）在 中， 分别为
射线 与射线 上的两动点，且 ，连接 ，则 最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点 作 ，使得 ，过点 作 于点 ，连接 ，
在 中， ，∴ ，∴ ，
∴ ，则当 在线段 上时， 取的最小值，最小值为 的长，
∵ ， ， ，∴
∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
例4．（23-24八年级下·浙江·期中）在 中， ， ， ，点 、 在AB、
边上，且 ，则 的最小值 ．【答案】
【详解】解：如图作 ，使得 ．作 交 的延长线于 ，连接 ．
， ， ， ， ， ，
， 的最小值为 的长，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
在 中， ， ， ， ，
∴ ，
在 中， ．故答案为： ．
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）
条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；
④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。
例1．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的
角平分线CD上，CE=CF，则AE+AF的最小值为 .
【答案】
【详解】过点C作CG⊥DC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵ 为等边三角形，∴ ， ，∵CD平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中 ， ， ， ，
当A、G、E三个点在同一直线上时， 的和最小，即 最小，
的值最小为： ．故答案为： ．
例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形 中， ， ， 于D，M，N
分别是线段 ， 上的动点， ，当 最小时， ．
【答案】
【详解】解：在 下方作 ，使 ，连接 ．
则 ， ．∴ ，
即 最小值为 ，此时A、N、 三点在同一直线上．
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰 中， ， 平分 ，点N为 上一点，
点M为 上一点，且 ，若当 的最小值为4时， 的长度是 ．
【答案】4
【详解】解：∵等腰 中， ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，如图，作 ，使 ，连接 ，
∴ ，∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， ，∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，即 ，
∵ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ，故答案为：4．模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）
条件：已知在 中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，
求CD+CE的最小值。
证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD；
④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；
⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。
例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图， 中， ， ，D，E为 边上
的两个动点，且 ，连接 ， ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】过点 ， 分别作 的垂线和 的垂线交于点 ，连接 ， ，， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
当 ， ， 三点不共线时， ；当 ， ， 三点共线时， ．
的最小值是 的长， ， ， ，
， ， ， 的最小值是 ．故答案为： ．
例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点E和F，连
接 和 ，若 ， ， ，则 的最小值是 ．
【答案】17
【详解】解：如图，连接 ， ，
四边形 是矩形， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
又 ， 为矩形的对角线， ，
是直角三角形， ， ， ，
移项得 ，
配方得 ， ，解得 ，或
， ， ，故答案为：17．模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）
特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。
条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF，
求AF+AE的最小值。
证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG；
④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。先利用勾股或相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理
求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。
例1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在菱形 中， ， ， ， 分别
是边 和对角线 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．【答案】
【详解】解：如图， 的下方作 ，截取 ，使得 ，连接 ， ，
四边形 是菱形， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，
， ，
， ， 的最小值为 ，故答案为： ．
例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形 中， ， ，点 、 分别是对角
线 和边 上的动点，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】【详解】解：过点 作 ，使 ，过点 作 ， 交 的延长线于点 ，连接
、 、 ， 交 于点 ，∴ ，∵矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，
在 和 中， ∴ ，∴ ，
∵点 、 分别是对角线 和边 上的动点，∴ ，
当 、 、 三点共线时，取“ ”号，此时 有最小值，最小值是线段 的长，
在 中， ， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ 的最小值是 ，故答案为：
．
例3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形 中， ， ，点E和点F分别在
边 和边 上运动，且满足 ，则 的最小值为 ．【答案】4
【详解】解：连接AC，作点A关于BC的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=AD=2， ，∴ ，
∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵点A，点H关于BC对称，∴AH⊥BC，AN＝NH，∴FH＝AF，
又∵△ABC是等边三角形，∴BN＝NC＝ ， ， ∴AH＝2AN＝ ，
∵AE＝CF，AB=BC，∴BE＝BF，∵在△ABF和△CBE中 ，∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE，∴DF＋CE＝DF＋AF＝DF＋FH，
∴当点F，点D，点H三点共线时，DF＋CE的最小值为DH的长，
∵AH⊥BC，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，即 的最小值为4．故答案为：4．1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点 和 ，连接
和 ，若 ， ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．10 C．6 D．20
【答案】B
【详解】解：如图，连接 ， ，
四边形 是矩形， ， ， ， ，， ， ，
， ，又 ， 为矩形的对角线， ，
是直角三角形， ， ，
移项得 ，解得 ，或
，则 不符合题意， ， ，故选B．
2．（2024·河南周口·统考一模）如图，在矩形 中，E是 的中点，点F在 边上，点P在矩形
内部， ， ，连接 ．若 ，则 的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】解：取 的中点H，在 上截取点G，使 ，连接 ，
∵在矩形 中， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
，∴ ，
∵ ，且 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，且 ，∴ ，
∴点P在线段 上，即点P在 的角平分线上，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，∴当A、P、C在同一直线上时， 取得最小值，最小值为 的长，
由勾股定理得 ，故选：D．
3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形 中， ，E，F分别是 ，
上的动点， ，连 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点 作 ，使 ，连接 ， ，则 ，
．
∵菱形 的边长为2，∴ ． ，
∴ ．∴ ．∴ ．
在 和 中， ，∴ ．
∴ ．∴ ．即 ．∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
4．（23-24八年级上·四川成都·期末）在 中， ， ， ， ， 分别为射线
与射线 上的两动点，且 ，连接 ， ，则 最小值为 ； 的最大
值为 ．【答案】
【详解】解：如图，过点 作 ，使得 ，过点 作 于点 ，连接 ，
在 中， ，∴ ，∴ ，
∴ ，则当 在线段 上时， 取的最小值，最小值为 的长，
∵ ， ， ，∴
∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，如图所示，延长 至 使得 ，连接 ，则
， ，
∴ ，故答案为： ， ．
5．（24-25八年级上·浙江·期中）如图， 是边长为 的等腰直角三角形，分别是 上的点， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：要求 的最小值及使 最小， 时， 最短，
在 是边长为 的等腰直角三角形中， ，
根据等面积法： ，解得
的最小值为 ．故答案为： ．
6．（23-24九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知 中， ， ， ，
， ，点 为直线 上一动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 、
，点 在直线 上且 ，则 最小值为 ．
【答案】❑√3
【详解】解： ， ， ，
∵ 是 的外角，∴ ，
由旋转可知： ， ， ，在 和 中， ， ，
，则当 时， 最小，即 最小， ， ， ， ，
点 到 的距离为 ， 的最小值为 ，故答案为： ．
7．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在 中， ， ， ，点 、 分
别是 ， 上动点，且 ，连接 ， ，则 的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：延长 ，取 ，连接 ，在 上取 ，连接 ，过点 作 ，
取 ，连接 ，如图所示：
， ， ， ，
又 ， ， 垂直平分 ， ， ，
又 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ，当 最小时， 最小， 当 、 、 三点共线时， 最小，且最小值为 ，
的最小值为： ，故答案为： ．
8．（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）如图， ， 平分 ， 平分 ， 交
于点 ， ， 分别是线段 ， 上的动点，且 ，若 ， ，则 的最小
值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接 ， ， ，
平分 ， 平分 ， ， ，
，
，
， ， ， ，
在 和 中， ， ， ， ，
又 ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形，
如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，
与 交于点 ，过点 作 于点 ，作 于点 ， ，， ， ， ， ， ，
当 、 、 三点在同一直线上时， 取最小值为 ，
如图，取点 为 中点，连接 ，则 ，
， 为 中点， ， ，
， ，又 ， ，
为等边三角形， ， ， ，
四边形 是平行四边形， ，
， ， ，
， ， ，
， ，
点 是点 关于 的对称点， ， ， ，
又 ， ， ，
， ， ， ， 四边形 是矩形，
， ， ， ，， ， ，
， ，
，
的最小值为 ，故答案为： ．
9．（2024·天津·校考二模）如图，正方形 的边长为 ， 分别为边 上的动点，且 ，
则 的最小值为
【答案】
【详解】解：连接DE，
∵ 且四边形 为正方形，∴ ，即 ，
，
在 和 中， ∴ ，∴ ；∴ ，
以 为对称轴，作 点关于 的对应点 连接 ，与 交点即为点 ，
∵点 和点 关于 对称，∴ ， ，由勾股定理可得： ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
10．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形 的边长为4，动点 从点 出发，沿 方向匀
速运动，运动到点 时停止，同时另一个动点 从点 出发，以与点 相同的速度沿 方向匀速运动．
点 停止运动时点 也停止运动，连接 、 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：过点 作 ，且 ，连接 ，
由题意，得： ，∵正方形 ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ 的最小值为 ；故答案为： ．
11．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别在边 ，
上，且 ，点 在边 上，连接 ， ，若 ，则 的最小值是 ．【答案】
【详解】解：如图，连接 ，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，
由轴对称的性质可得： ， ， ，
∵矩形 ，∴ ， ，∵ ，∴ ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，∴ ，
∴当 ， ， 三点共线时， ，此时 最小，
过 作 于 ，则四边形 为矩形，∴ ， ，
∴ ，∴ ，故答案为：
12．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知直线 分别交 轴、 轴于点 ，
两点， ，D、E分别为线段 和线段 上一动点， 交 轴于点 ，且 ．当
的值最小时，则 点的坐标为 ．
【答案】
【分析】首先求得 ， 取点 ，连接 ，证明 ，即可推导 ，即有 ，因为 ，即当 共线时， 的值最小；利用待定系数法
求出直线 的解析式，即可获得答案．
【详解】解：对于直线 ： ，
当 时，可有 ，当 时，可有 ，解得 ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，如下图，取点 ，连接 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，∴
，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 的最小值为线段 的长，即当 共线时， 的值最小，
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ，令 ，则 ，∴点 ，
∴当 的值最小时，点 的坐标为 ．故答案为： ．
13．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形ABCD中， ，点P为正方形ABCD的对角线
AC上一动点，过点P作 交边DC于点E．(1)如图①，当点E在边CD上时，求证： ；(2)如图②，在（1）的条件下，连接BE交AC于点
F，若 ，求PF的长；(3)如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足 ，设
，请直接写出 的最小值．
【答案】(1)见解析(2) (3)
【详解】（1）解：方法一：证明：如下图中，连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，∴ ， ．
在△PCB和△PCD中， ，∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．∴ ，∴ ．
方法二：过点P做AD的平行线，构造一线三等角的方法证明全等也可以．
（2）解：如下图中，过点P作PL⊥BE于L，过点F作FQ⊥CD于Q，FJ⊥BC于J，
∵ ， ， ，∴ ，
∵△BPE是等腰直角三角形，PL⊥BE，∴ ，∴ ，∵FC平分∠BCE，FQ⊥CD，FJ⊥BC，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
（3）解：过点C作CR⊥AC，使CR=AB=3，连接QR，BR，过点R作RT⊥BC，交BC延长线于T，如图③
所示；∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=∠ACD=∠BAP=45°，
∵CR⊥AC，∴∠RCQ=90°－45°=45°，∠RCT=180°－90°－45°=45°，
∴△CTR是等腰直角三角形，∠BAP=∠RCQ，∴ ，∴ ，
在△BAP和△RCQ中， ，∴△BAP≌△RCQ（SAS），∴BP=QR，
∴B、Q、R三点共线时，QR+BQ最短，即BP+BQ最短，此时，t=BR，
在Rt△BTR中，由勾股定理得： ，
∴ 的最小值为 ．
14．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图（1）， 为 的边 上的一点，
，过点 作 ，且 ，连接 ，求证： ；
【变式迁移】（2）如图（2），在 中， ， 平分 ，点 在 上，且 ，
若点 分别到 ， 的距离之比为 ，求证： ；
【拓展创新】（3）如图（3），在 中， ， ， ， ， 分别是 ，
上的点，且 ，直接写出 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠B，
在△ADE和△BAC中， ，∴△ADE≌△BAC（SAS）；
（2）如图，过点C作CG∥AB交BD的延长线于G，过点C作CF⊥BG交 于K，CH⊥AB于H，连接 ，
∴∠CGB=∠GBA∵ 平分 ，∴∠CBG=∠GBA，∴∠CBG=∠CGB，∴CG=CB，
由（1）可得△CDG≌△AEC（SAS）， ， ，
是 的角平分线， ，即 ，
， ， 是 的垂直平分线， ，
， 四边形 是菱形，
∵点 分别到 ， 的距离之比为 ，∴CH= ， ，
即 ，即 ， ，即 ，
（3）如图，过点 作 ，且 由（1）可得
，当 三点共线时取得最小值，
如图，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 ，则四边形 是矩形，， ， ， 四边形 是正方形，
即 的最小值 ．
15．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点 ， 和直线 ，如何在直线 上确
定一点 ，使 最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题的思路：可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在 上任取一点 ，作
点 关于 的对称点 ， 与直线 相交于点 ．连接 ，易知 ______，从而有 ．
这样，在 中，根据“_______”可知 与 的交点 即为所求．
解决问题（2）如图②，在 中， ， ， ， 为 上的两个动点，且 ，
求 的最小值．
变式研究（3）如图③，在 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 上的动
点，且 ，请直接写出 的最小值．
【答案】（1） ；两点之间，线段最短；（2） ；（3）
【详解】解：（1）由对称可知： ，在 中，根据两点之间，线段最短可知 与
的交点 即为所求，故答案为： ；两点之间，线段最短；
（2）作 ，使得 ，连接 交 于点 ，连接 ，如图所示；则四边形 为平行四边形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ 的最小值为 ；
（3）作 ，使得 ，作 ，连接 ，如图所示：
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ 的最小值 ．
16．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）在 中， ， ， ，E是线段 上
一动点，连接 ．
(1)如图1，若 ，求 的面积；(2)如图2，若 ，将线段 绕C逆时针旋转 得到线
段 ，连接 ．若点G是线段 的中点，过点G作 交 于点P，交 于点H，证明
；
(3)如图3，将 沿 翻折至 ，连接 ．D是线段 上的点，且 ，直接写出当
取得最小值时 的长度．
【答案】(1) (2)见解析(3)6
【详解】（1）如图 ，作 于点 ，在 中， ， ，
在 中， ， ， ，
．
（2）证明: 如图 ，取 的中点 连接
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ， ， 在 的垂直平分线上，
∵ ，∴ ， ∴ 是 的中点，
∴ ，∴ ，∴点 在 的垂直平分线上， 和点 重合，∴ ；
（3）如图 ，在 的下方作 ， 截取 ， 连接 ， ，交 于点 ，作
关于 对称 连接 ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴当 共线时， 最小，此时点 在 处，点 在 连接 ，
∵ ，∴ ，又∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴四边形 是等腰梯形，∴
∴ ， ， ，
∴ ，作 于 ，∴
， ，即:
