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中学力学三
讲师：丁奉
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4、传送带类问题模型
顺时针匀速转动的传送带上放上具有一定速度的物块，物块初速度水平向右，
设传送带与物块之间的动摩擦因数为𝜇，如图所示。
1.物块在水平传送带上运动过程的分析
因为物块所受的摩擦力方向与物块和传送带之间的速度大小有关，这种情
况肯定得分情况讨论。
2024FENBI拓展
2.物块运动的两种情况
（1）如果𝑣 > 𝑣 ，物块开始将向右做匀减速直线运动。
物 传
①如果传送带不够长，物块将一直减速到传送带右端。
②如果传送带足够长，物块将首先减速到与传送带速度相等，然后与传送带一起匀速。
2024FENBI拓展
（2）如果𝑣 < 𝑣 。物块开始将向右做加速运动。
物 传
①如果传送带不够长，物块将一直加速到传送带右端。
②如果传送带足够长，物块将首先加速到与传送带速度相等，然后与传送带一起匀速。
2024FENBI拓展
【拓展一】如图所示，水平放置的传送带以速度𝑣 = 2m/s 向右运行，现将一小物体轻轻地放
在传送带𝐴端，物体与传送带间的动摩擦因数𝜇 = 0.2，若𝐴端与𝐵端相距4m，则物体由𝐴运动到𝐵
的时间和物体到达𝐵端时的速度是（ ）。
𝐴 𝐵
A.2.5 s， 2m/s B.1s，2m/s
𝑣
C.2.5s， 4m/s D.1s，4/s第三节
曲线运动
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2024FENBI（讲义页码 P ）
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一、运动的合成与分解—关联速度问题
1.基本结论：将绳（杆）连接的两个物体的速度沿绳方向和垂直绳方向正交分解，则两
物体沿绳（杆）方向分速度大小相等。
2.常见模型
2024FENBI拓展
【拓展二】质量为2 𝑘𝑔的质点在𝑥𝑦平面上运动，𝑥方向的速度—时间图象和𝑦方向的位
移—时间图象分别如图所示，则质点( )。
A.初速度大小为4 𝑚/𝑠
B.所受合外力大小为4 𝑁
C.做匀变速直线运动
D.初速度的方向与合外力的方向垂直（讲义页码 P ）
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二、平抛运动
1.特征：仅受重力作用，初速度沿水平方向。
2ℎ
2.运动时间：𝑡＝ ，飞行时间取决于下落高度ℎ，与初速度𝑣 无关。
0
𝑔
3.常见平抛运动的时间计算方法
（1）垂直打到斜面
已知条件：斜面倾角为𝜃，小球水平抛出的初速度为𝑣 。
0
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(2)顺着斜面的平抛运动
已知条件：斜面倾角为𝜃，小球水平抛出的初速度为𝑣 。
0
4.常用推论
（1）做平抛运动的物体在任一时刻处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与
水平方向的夹角为α，则𝑡𝑎𝑛𝜃＝2𝑡𝑎𝑛𝛼，如图所示。
（2）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此
时水平位移的中点，如图中B点是OC的中点。
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【例1】（真题2015年下高中）如图所示，三个小球𝑎、𝑏、𝑐分别在距离地面不同的高度
ℎ 、ℎ 、ℎ 处同时以相同的速度向左边水平抛出，不计空气阻力，三个小球每隔相同的时间
1 2 3
间隔依次落到地面，小球𝑎落到地面𝐷点，𝐷𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐺，下列说法正确的是（ ）。
A.𝑏、𝑐两球落在𝐷点的左边
B.𝑏球落在𝐷点，𝑐球落在𝐸点
C.三个小球距离地面高度ℎ : ℎ : ℎ = 1: 3: 5
1 2 3
D.三个小球距离地面高度ℎ : ℎ : ℎ = 1: 4: 9
1 2 3（讲义页码 P ）
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【例2】如图所示，斜面上有𝑎、𝑏、𝑐、𝑑四个点，𝑎𝑏＝𝑏𝑐＝𝑐𝑑。从a点正上方的O点以
速度𝑣水平抛出一个小球，它落在斜面上𝑏点。若小球从O点以速度2𝑣水平抛出，不计空
气阻力，则它落在斜面上的（ ）。
A.b与c之间某一点 B.c点
C.c与d之间某一点 D.d点（讲义页码 P ）
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【例 3】（真题 2021 年下）如图 Z1-4-9 所示，P Q 、 分别从2l和l的高度同时抛出后落地，
上述过程中P和Q的水平位移分别为l和2l。若忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）。
A.P和Q运动时间相等 B. P和Q位移大小相等
C. Q的初速度大小是P的 2 倍 D. P和Q的末速度大小相等（讲义页码 P ）
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三、圆周运动
（一）基本公式
2𝜋𝑟
1.线速度与周期的关系：𝑣 = 。
𝑇
2𝜋
2.角速度与周期的关系：𝜔 = 。
𝑇
3.线速度与角速度之间的关系：𝑣 = 𝜔𝑟。
2 𝑂
𝑣
2
4.向心加速度：𝑎 = = 𝜔 𝑟。
𝑟
（二）向心力
1.特征：效果力
2
𝑣
2
2.基本公式：𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 = 𝑚𝜔 𝑟
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𝑟（讲义页码 P ）
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（一）水平圆盘面模型：与静摩擦力有关的临界极值问题
解题关键：物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
【例4】如图所示，小木块𝑎、𝑏和𝑐（可视为质点）放在水平圆盘上，𝑎、𝑏两个质量均为𝑚，
𝑚
𝑐的质量为 。𝑎与转轴OO′的距离为𝑙，𝑏、𝑐与转轴𝑂𝑂′的距离为2𝑙且均处于水平圆盘的边缘。木
2
块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的𝑘倍，重力加速度大小为𝑔，若圆盘从静止开始绕
转轴缓慢地加速转动，下列说法中正确的是（ ）。
A.𝑏、𝑐所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B.当𝑎、𝑏和𝑐均未滑落时，𝑎、𝑐所受摩擦力的大小相等
C.𝑏和𝑐均未滑落时线速度一定相等
D.𝑏开始滑动时的转速是 2𝑘𝑔𝑙（讲义页码 P ）
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【例5】（真题2021 年下· 初中） 如图Z1-4-10 所示，物体A紧贴圆筒内壁，随圆
筒一起绕竖直中心轴OO‘ 转动，已知圆筒半径为R，物体与圆筒间的动摩擦因数为μ，
为使物体A不下落，圆筒转动角速度至少为（ ）。（讲义页码 P ）
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（二）竖直平面内的圆周运动（结合临界问题分析）
1.轻绳模型
（1）概述：在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点的受力情况为无支撑，
称为“轻绳模型”，轻绳模型和圆轨道模型的受力特征是相同的。
（2）物体通过最高点的轻绳模型（圆轨道模型）
2
𝑣
弹力特征：弹力可能向下，也可能等于零。力学方程：𝑚𝑔 + 𝐹 = 𝑚 。
𝑇
𝑟
2
𝑣
刚好通过最高点时速度的临界条件：𝐹 = 0，𝑚𝑔 = 𝑚 ，得𝑣 = 𝑔𝑟。
𝑇
𝑟
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2.轻杆模型
（1）概述：在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点的受力情况为有支撑，称
为“轻杆模型”，轻杆模型和圆管模型的受力特征是相同的。
（2）通过最高点的轻杆模型（光滑管道模型）
弹力特征：弹力可能向下，可能向上，也可能等于零。
2 2
𝑣 𝑣
力学方程：弹力向上时，为𝑚𝑔 − 𝐹 = 𝑚 ；弹力向下时，为𝑚𝑔 + 𝐹 = 𝑚 。
𝑁 𝑁
𝑟 𝑟
刚好通过最高点时速度的临界条件：𝐹 = 0，此时𝐹 = 𝑚𝑔，𝑣 = 0。
向 𝑁
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【例6】一轻杆一端固定质量为𝑚的小球，以另一端𝑂为圆心，使小球在竖直面内做半
径为𝑅的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（ ）。
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是 𝑔𝑅
C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小（讲义页码 P ）
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𝐵
第四节 万有引力与航天
一、开普勒三定律 𝐴 𝐶
1.开普勒第一定律（轨道定律）
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。行星绕太阳的运动通常
按圆轨道处理。
2.开普勒第二定律（面积定律）
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
常见易错理解
问题：卫星从A点到B点经过的时间为𝑡 ，从B点到C点经过的时间为𝑡 ， 𝑡 和𝑡 是否相等？
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
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3.开普勒第三定律（比值定律）
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，
3
𝑎
公式为𝑘 = 。
𝑇2
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【例1】行星绕恒星运动的轨道可近似认为是圆形，行星运动周期的平方与轨道半径的
2
𝑇
三次方之比 = 𝑘，𝑘为常数，则关于此常数的大小（ ）。
𝑅3
A.与行星质量有关
B.与恒星质量和行星质量均有关
C.与恒星质量有关
D.与行星运动的速度有关（讲义页码 P ）
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【例3】如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，𝑃为近日点，𝑄为远日点，𝑀、𝑁为轨道短
轴的两个端点，运行的周期为𝑇 。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从𝑃
0
经过𝑀、𝑄到𝑁的运动过程中（ ）。
𝑀
海王星
A.从𝑃到𝑀所用的时间等于𝑇 /4
0
B.从𝑄到𝑁阶段，机械能逐渐变大 𝑃 𝑄
太阳
C.从𝑃到𝑄阶段，速率逐渐变大
𝑁
D.从𝑀到𝑁阶段，万有引力对它先做负功后做正功（讲义页码 P ）
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二、万有引力
𝑚 𝑚
（一）内容与公式：𝐹 = 𝐺 1 2
𝑟2
（二）万有引力与向心力的关系
1.向心力的来源：地面附近或者地球上空的物体绕地球做圆周运动时，
地球对物体的万有引力提供物体绕地球做圆周运动的向心力。
𝑂
𝑂′
地球 月球
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2.推论公式
2
𝑀𝑚 𝑣 𝐺𝑀
（1）线速度的推论公式：由𝐺 = 𝑚 ，得𝑣 = ；
𝑟2 𝑟 𝑟
2轨道
𝑀𝑚 𝐺𝑀
2
（2）角速度的推论公式：由𝐺 = 𝑚𝜔 𝑟，得𝜔 = ；
1轨道
𝑟2 𝑟3
𝐺𝑀 2𝜋 𝑟3
（3）周期的推论公式：由𝜔 = 和𝜔 = ，得𝑇 = 2𝜋 ；
𝑟3 𝑇 𝐺𝑀
𝑀𝑚 𝑀
（4）向心加速度的推论公式：𝐺 = 𝑚𝑎 ，得𝑎 = 𝐺 。
𝑟2 向 向 𝑟2
总结：𝑟越大，𝑣、𝜔、𝑎越小，𝑇越大。
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高轨低速长周期，小动大势大机械（讲义页码 P ）
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题型：同步卫星问题
【例2】利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电
通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，
若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（ ）。
A.1ℎ B.4ℎ C.8ℎ D.16ℎ
卫 星
R
卫
3 0 °
星
卫 星（讲义页码 P ）
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【例4】（真题 2019 年下 · 初中）我国北斗导航系统中部分卫星的运行轨道如图所
示。已知𝑎、𝑏两颗卫星围绕不同的圆形轨道运行，轨道半径𝑟 > 𝑟 ，则（ ）
𝑎 𝑏
A.𝑎的加速度大于𝑏的加速度
B. 𝑎的线速度大于𝑏的线速度
C. 𝑎的角速度大于𝑏的角速度
D. 𝑎的运行周期大于𝑏的运行周期答 疑 时 间~
2024FENBI
