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2024 年中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的倒数是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查倒数的定义，
乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可．
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次判断即可．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意．
故选：B．【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式的运算法则，
完全平方公式等知识．熟练掌握各运算法则和 的应用是解题的关键．
3．第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口的直径与托盘
的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【详解】解：∵茶口的直径与托盘的直径相同，
∴俯视图如选项B所示，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
4．对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 随 的增大而增大
B．它的图象经过第三象限
C．它的图象与 轴的交点坐标为
D．将该函数的图象向下平移2个单位长度得到函数 的图象
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质分析即可得到答案．
【详解】解：A． ，
随 的增大而减小，故A错误，不符合题意；
B． ，函数图象经过一、二、四象限，故B错误，不符合题意；
C．当 时， ，解得 ，它的图象与 轴的交点坐标为 ，故C错误，不符合题意；
D．将该函数的图象向下平移2个单位长度得到函数 的图象，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
5．如图， 为等边 的 边的中点，点 是 上的一个动点，连接 ，将 沿 翻折，得
到 ，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【分析】根据中点性质和翻折性质得到 ，得到 ，根据三角形外角性质得到
，根据翻折性质得到 ，根据等边三角形性质得到 ，根据三角形内角
和定理得到 ．
【详解】∵D是 中点，
∴ ，
由翻折知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∵等边 中， ，
∴ 中， ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形，折叠，等腰三角形，三角形内角和等．解决问题的关键是熟练掌握
等边三角形性质，折叠图形全等的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理及三角形外角性质．6．如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，交 轴的正半轴于点 ，对称轴交抛物线
于点 ，交 轴于点 ，则下列结论：① ，② （ 为任意实数）；③若点 为对
称轴上的动点，则 有取大值，最大值为 ；④若 是方程 的一个根，则一定
有 成立．其中正确的序号有（ ）．
A．①②③④B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据抛物线开口向下可得 ，根据对称性求出对称轴为直线 ，则 ，再由抛物线
交y轴的正半轴，得到 ，由此即可判断①；根据 时，二次函数有最大值，最大值为 ，则
，即可判断②；由对称性可知 ，则 ，
即可判断③；先求出 ，进而推出 ，则 ，由m是方程 的一个
根，得到 或 ，然后分别计算出 的值即可判断④．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线 与x轴交于点 ， ，
对称轴为直线 ，
，
抛物线交y轴的正半轴，
，，故①正确；
对称轴为直线 ，开口向下，
时，二次函数有最大值，最大值为 ，
（m为任意实数）即 ，故②正确；
对称轴交y轴的正半轴于点C，
，
由对称性可知 ，
，故③不正确；
抛物线 与x轴交于点 ，
，
，
，
，
，
m是方程 的一个根，
或 ，
当 时， ，
当 时， ，
若m是方程 的一个根，则一定有 成立，故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，解决本题关键是运用二次
函数图像上点的坐标特征、抛物线与x轴交点进行计算．
第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解 ＝ ．
【答案】
【分析】提公因式后运用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
8．节俭办赛是北京申奥的一大理念和目标．根据此次冬奥会财政预算，赛事编制预算约为 亿美元，
亿可用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数
变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正整
数；当原数的绝对值 时， 是负整数．
【详解】解： 亿 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示形式和 的值的取值要求是解题
关键．
9．已知菱形 的对角线 的长度是关于 的方程 的两个实数根，则此菱形的面
积是 ．
【答案】24
【分析】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质．根据根与系数的关系得到 ，再根据菱
形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出结果．掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得： ，∵ 是菱形 的对角线，
∴菱形 的面积等于 ；
故答案为：24．
10．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点 ， ， 在同一水平线上，
和 均为直角， 与 相交于点 ．测得 ，则树高
m．
【答案】
【分析】根据题意可得 ，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ 和 均为直角
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．如图所示， ．【答案】360
【分析】如图：根据三角形外角的性质可得 、 ，进而得到 ，
最后根据四边形的内角和即可解答．将所求角的和转化为四边形的内角和是解题的关键．
【详解】解：如图：根据三角形外角的性质可得 、 ，则
．
故答案为360．
12．如图，正方形 的边长为12， 为 边上一动点，在运动的过程中，始终保持 于 ，
于 ．若 的长为整数，则 的长可以为 ．
【答案】6或7或8
【分析】如图，连接 ，由正方形性质，得 ，可证四边形 是矩形，得 ，
进而可证点E位于 的中点时，由等腰三角形三线合一及垂线段最短知此时 取最小值；勾股定理求得
此时 ；图中， ， ；于是 ，
得 的整数值为6，7，8．
【详解】解：如图，连接 ，正方形 中， ， ， ，
∴
∴四边形 是矩形．
∴ ．
当点E位于 的中点时，
∵
∴ ，此时， 取最小值；
中， ．
中， ，即 的最小值为6.
如图， ， ；
∴
∴
∴ 的整数值为6，7，8．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形性质，垂线段最短；运用矩
形的性质作线段的等量转换是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（1）计算：
（2）解不等式组：【答案】（1）3；（2）1≤x＜3．
【分析】（1）先根据零次幂、绝对值和负整数次幂化简，然后计算即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集．
【详解】解：（1）
=
=3；
（2）
由①得：x≥1
由②得：x＜3
所以该不等式组的解集为：1≤x＜3．
【点睛】本题考查了实数的运算和不等式组的解法，掌握实数的运算法则和解不等式的方法是解答本题的
关键．
14．如图， ， ， ，垂足分别为 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用“ ”可证明 ；
（2）先利用全等三角形的性质得到 ，再利用勾股定理计算出 ，从而得到 的长，然后
计算 即可．
【详解】（1）证明： ， ，
，在 和 中，
，
；
（2）解： ，
，
在 中， ，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角
相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这
条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC；
（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，弧AC=弧BC，根据垂径定理的推理得CD垂直平分
AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得
OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．
【详解】（1）如图1，直径CD为所求；（2）如图2，弦AD为所求．
16．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，
小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母 ， ， ， 表示，正面
文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗
匀放好．
(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为_______．
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人
抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，；
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过画树状图，可得共有 种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结
果有 种，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）通过卡片上的字，可以看到是轴对称图形的为“文”，
∴卡片上的字是轴对称图形的概率为 ，故答案为： ，
（2）画树状图如解图，
由树状图知，共有 种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有 种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为 ．
17．如图，直线 与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)C是反比例函数 的图象上的一点，连接 ，若 ，求直线 的函数表达式．
【答案】(1)反比例函数的表达式为 ；
(2)直线BC的函数表达式为 ．
【分析】（1）分别把 ， 代入 ，求出 和 的值，因为反比例函数 的图
象经过点 ，由此求出 值即可；
（2）过点 作 轴于点 ，由 ，得 ，设点 的坐标为 ，则 ，解
方程求出 值即得点 的坐标，再用待定系数法求解即可．【详解】（1）把 代入 得 ，
，
把 解得代入 得 ，
，
点 的坐标为 ．
反比例函数 的图象经过点 ，
，
反比例函数的表达式为 ；
（2） ，
．
如图，过点 作 轴于点 ，
，
，
设点 的坐标为 ，则 ，解 或 （负值舍去），
点 的坐标为 ．
设直线 的函数表达式为 ，
把 ， 代入 得 ，解得 ，
直线 的函数表达式为 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握用待定系数法求函
数的解析式是解题的关键．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．某区中小学举行硬笔书法比赛，由学校初赛选拔人员参加全区比赛，为选拔人员参赛， 校经过宣传，
组织硬笔书法爱好者训练后举行校内硬笔书法比赛，赛后评审中根据作品的质量确定五种获奖等级的人数，
并对获奖情况进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题．
(1)求参赛的总人数，并将条形统计图补全；
(2)求在获奖中人数的中位数和方差；
(3)为勉励学生努力提升人文素养，培养书法人才，对各校初赛获一等奖者颁发“小小书法家”证书，全区
各校统一制作证书，若各校初赛统一按总比例确定初赛人数和获奖人数，若 校有 名学生，该区共有
名中小学生，估计该区获得“小小书法家”证书的总人数．
【答案】(1)参赛的总人数 人，补全条形统计图见解析
(2)获奖人数的中位数为 ，获奖人数的方差为
(3)可估计该区 名中小学生中，获得“小小书法家”证书的总人数为 人
【分析】（1）根据“参与奖”的获奖人数为 人，且占比为 解答即可；
（2）根据中位数的定义及方差的定义解答即可；
（3）根据抽样中一等奖的占比估算该区的总人数即可解答．
【详解】（1）解：∵“参与奖”的获奖人数为 人，且占比为 ，
∴参赛的总人数为 （人）.
∴一等奖的人数为 （人）
补全条形统计图如下：（2）解：∵获奖人数为 ， ， ， ， ，
∴获奖人数的中位数为 ，
∵获奖人数的平均数为 ，
∴获奖人数的方差为 ；
（3）解：∵ 校有 名学生中，有 人获一等奖，
∴可估计该区 名中小学生中，获得“小小书法家”证书的总人数为
人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数的定义；方差的定义，样本估算整体，读懂条形统
计图和扇形统计图的信息关联是解题的关键．
19．如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧 与墙 平行
且距离为0.8米，已知小汽车车门宽 为1.2米
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
(1)当车门打开角度 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由
(2)若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？
【答案】(1)车门不会碰到墙，理由见解析(2)
【分析】（1）如图：过点A作 ，垂足为点G．解三角形求出AC的长度，然后比较即可；
（2）如图：过点A作 ，垂足为D， ，求出 即可．
【详解】（1）解：车门不会碰到墙，理由如下：
如图：过点A作 ，垂足为点C．
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴车门不会碰到墙．
（2）解：过点A作 ，垂足为D，
在 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
又∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴靠墙一侧车门能打开的最大角度为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形并灵活解直角三角形是解答本题的关键．
20．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，9月份“江南忆”的销售量为256件，11月份的销售量为400件．已知每件“江南忆”的进价为35元，售价为58元．
(1)求该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，12月份该款吉祥物的销售量将与9月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式．
调查发现，该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物每件的售价为多少元时，月销
售利润能达到8400元？
【答案】(1)该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为
(2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用：
（1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其
符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为 元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售
量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为 ；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为 元，月销售量为
件，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得：
因为商场为了减少库存，故 不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．在 中， ， 平分 交 于点 ，以 为半径作 ．
(1)求证：直线 是 的切线．
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过 作 于 ，得到 ，根据角平分线的定义得到
，根据全等三角形的性质得到 ，于是得到 与 相切；
（2）设 则 根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：过 作 于 ，
，
平分 ，
，
，
（ ），
，
与 相切；
（2）解： ，设
则
， ，
，
，
，
，
在 中， ，
即： ，
解得 或 （舍去），
的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．如图①，已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接 ．当 的面积等于 面积的
倍时，求点 的坐标；
(3)抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) ， ， ， ．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由 的面积 ，即可求解；
（3）分点 在 左侧和点 在 由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图像及性质，
进而求解．
【详解】（1）解：把 代入 中，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：过点 作 轴平行线交 轴于 ，交 于点 ，作 于点 ，
把 代入 中，得： ，
∴ 点坐标是 ，
设直线 ，
把 ， ， 代入 ，得
，解得 ，
∴直线 的解析式为
设 ，则 ，
∴
由 得： ，
∴
整理得：
解得：
∵ ，
∴ 的值为 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 或 ；
（3）解：存在．
由 ， ， ， 得 ，
∴ ，
①当点 在 左侧时．
在 轴上取点 ， ，延长 交抛物线于点 ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将 代入，得
，
解得 ，
∴设直线 的解析式为 ，
由 得： 或 ，
∴ ；
②当点 在 右侧时，
作 关于 的对称 ， 交二次函数 于点 ，则 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
令 中， ，则 ，
解得 或 ，
∴ ， ，
∵ ， ,
∴ ，
∴ ，∴
∴在点 抛物线上，即点 满足条件 ．
故存在满足条件的点 有两个，分别是 ， ， ， ．
【点睛】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和
性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这些知识是解题关键．
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边 中， ，点 在射线 上运动，
连接 ，以 为一边在 右侧作等边 ．
(1)【问题发现】如图（1），当点 在线段 上运动时 不与点 重合 ,连接 则线段 与 的数量
关系是___________ ；直线 与 的位置关系是___________ ；
(2)【拓展延伸】如图（2），当点 在线段 的延长线上运动时，直线 相交于点 ，请探究
的面积与 的面积之间的数量关系；
(3)【问题解决】当点 在射线 上运动时 点 不与点 重合 ，直线 相交于点 ，若
的面积是 ，请求出线段 的长．
【答案】(1)(2)
(3)1或4
【分析】（1）证 ，得 ，再证 ，则 ；
（2）证 ，得 ，再证 ，即可解决问题；
（3）由（1）（2）可知 ， ，则 ，
则 ，再证 ，得 ，设 当点 在线段 上时则
，求出 ，则 ，解方程即可；当点 在线段
的延长线上时，解法同上．
【详解】（1）解： 和 是等边三角形，
，
，
即 ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
和 是等边三角形，
，
，
即 ，
，，
，
；
（3）解：由（1）（2）可知，无论点 在线段 上还是在线段 的延长线上，都有
， ，
，
，
，
的边 上的高 的边 上的高 ，
，
，
，
，
，
设 ，
当点 在线段 上时，如图，
则 ，
，
，，
，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
；
当点 在线段 的延长线上时，如图，
则 ，
，
，
，
，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
；
综上所述，线段 的长为 或 ．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判
定与性质、平行线的判定与性质、三角形面积、一元二次方程的解法以及分类讨论等知识，本题综合性强，
熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
