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▹讲师：余贞
更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师（二）电通量
1.概念
将通过电场中某一个面的电场线的条数称为通过该面的电通量，用Φ 表示。
𝑒
2.公式
（1）任一曲面的电通量为
Φ = ∬ dΦ = ∬ 𝑬 ⋅ d𝑺
𝑒 𝑒
𝑆 𝑆
这是一个面积分，积分号下标𝑆表示此积分的范围遍及整个曲面。
（2）如果S为闭合曲面，则
Φ = ∯ 𝑬 ⋅ d𝑺
𝑒
𝑆
式中，∯ 表示对闭合曲面的积分。
𝑆（三）高斯定理
1.内容
在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷（电量的代
数和）除以𝜀 。
0
2.公式
1
Φ = ∯ 𝑬 ⋅ d𝑺 = 𝑞
𝑒 𝑆 𝜀 𝑖
0
式中，σ 𝑞 表示闭合曲面S内的电荷的代数和。
𝑖
𝐸
d𝑆 Ԧ d𝑆 Ԧ【例1】：求电荷呈球对称分布时所激发的电场强度。
（1）电荷量𝑞均匀分布在半径为𝑅的球体内；（2）电荷量𝑞均匀分布在半径为𝑅的球面上【例2】：电荷均匀分布于一个无限大平面上，其面密度为𝜎,求其激发的静电场的电场强度。
𝜎
𝑆 𝑆
2 1
𝒆 𝒆
𝑛2 𝑛1【例3】：求电荷呈“无限长”半径为𝑅的圆柱形轴对称均匀分布时所激发的电场强度。【例4】求半径为𝑅、面电荷密度为𝜎的无限长均匀带电圆柱面内、外的场强。（真题2018年上高中）【例】球形电容器由两个同心的球壳导体A、B组成，如图5所示。
导体𝐴、𝐵的半径分别为𝑅 和𝑅 ，且𝑅 < 𝑅 ，导体𝐴、𝐵在真空中分别带有电荷+𝑞和−𝑞，求：
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
(1)导体𝐴、𝐵之间的电场强度；
(2)该电容器的电容。四 、 静 电 场 的 环 路 定 理 电 势 能 电 势
（一）静电场力的功
在点电荷的电场中移动试验电荷时，电场力做的功除了与其电量𝑞 成正比外，还与移动试验电荷的
0
始、末位置有关，而与路径无关。若使试验电荷沿任一闭合回路𝐿绕行一周，则点电荷的静电场力所
做的功为零，即：𝐴 = ∮ 𝑞 𝑬 ⋅ d𝒍 = 0
𝐿 0
（二）环路定理
1．内容：在静电场中沿任意闭合路径，场强的环流恒为零，即静电场是保守力场。
2．公式：∮ 𝑬 ⋅ d𝒍 = 0
𝐿
该公式称为静电场的环路定理，公式左边的积分称为场强𝐸的环流。
𝑞
𝐸
0
𝐴 𝐵（三）电势能 电势 电势差
1．电势能
当场源电荷局限在有限大小的空间里时，常把电势能零点选在无穷远处，则𝑞 在𝑎
0
点的电势能𝑊 为
𝑎
∞
𝑊 = න 𝑞 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎 0
𝑎
该公式表明，试验电荷𝑞 在电场中𝑎点的电势能，等于将试验电荷由𝑎点沿任意路
0
径移至无穷远处的过程中电场力做的功。2．电势
（1）公式
∞
𝑊
𝑎
𝑉 = = න 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎
𝑞
0 𝑎
该公式表明，电场中任意点𝑎的电势𝑉 在数值上等于单位正电荷在该点的电势能，
𝑎
也等于单位正电荷从该点沿任意路径移至无穷远处的过程中电场力所做的功。（2）电势的计算
①点电荷电场的电势
在点电荷𝑞的电场中，若选取无穷远处作为电势零点，在𝑎点产生的电势为
∞ ∞
𝑞 𝑞
°
𝑉 = න 𝑬 ⋅ d𝒓 = න d𝑟𝑐𝑜𝑠0 =
𝑎
4𝜋𝜀 𝑟2 4𝜋𝜀 𝑟
𝑎 𝑟 0 0
式中，𝑟是电荷𝑞到𝑎点的距离。②点电荷系电场的电势
若真空中有𝑛个点电荷，其电量分别为𝑞 、𝑞 ，…，𝑞 ，这𝑛个点电荷在𝑎点产生的电势为
1 2 𝑛
𝑛
𝑞
𝑖
𝑉 =
𝑎
4𝜋𝜀 𝑟
0 𝑖
𝑖=1
式中，𝑟 、𝑟 ，…，𝑟 分别为各点电荷到𝑎点的距离。
1 2 𝑛
该公式表明，在点电荷系的电场中，某一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的
电势的代数和。这一结论称为电势叠加原理
③电荷连续分布带电体系电场的电势
∞ d𝑞
对一个电荷连续分布的带点体系，在𝑎点产生的电势为：𝑉 =
𝑎
𝑎 4𝜋𝜀 𝑟
0
式中，𝑟是电荷元d𝑞到𝑎点的距离。（四）导体的静电平衡
导体中没有电荷作任何宏观定向运动的状态称为静电平衡状态。
导体静电平衡的必要条件是导体内任一点的电场强度都等于零。
推论：1.导体是等势体，其表面是等势面
2.导体表面的电场强度垂直于导体表面【例1】一半径为𝑅的带电细圆环，所带电量为𝑞，求在圆环轴线上任一点𝑃的电势。【例2】计算均匀带电球面电场中的电势分布【例3】两个同心球面，半径分别为10cm和30cm。小球面均匀带有10 −8 𝐶正电荷，
大球面均匀带有1.5 × 10 −8 𝐶正电荷。求离球心分别为20cm、50cm处的电势。（3）场强与电势的关系
电场中某一点的场强𝐸沿着某一方向的分量𝐸 等于电势沿该方向上变化率的负值。表
𝑙
d𝑉
达式为𝐸 = −
𝑙
d𝑙
场强的矢量表达式可写成：
𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉
𝑬 = − 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 。
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉
矢量 𝒊 + 𝒋 + 𝒌称为电势的梯度，用grad𝑉或𝛁𝑉（读nabla ）表示。上式又可
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
写成
𝑬 = −grad𝑉 = −𝛁𝑉
该公式表明：电场中任意一点的场强等于该点电势梯度的负值。3．电势差
静电场中任意两点𝑎、𝑏的电势之差称为电势差，用𝑈 表示。
𝑎𝑏
𝑏
𝑊 − 𝑊
𝑎 𝑏
𝑈 = 𝑉 − 𝑉 = = න 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎𝑏 𝑎 𝑏
𝑞
0 𝑎【例1】半径为𝑅 的金属球𝐴外罩一同心球壳𝐵，球壳极薄，内、外半径均可看作𝑅 。𝐴、𝐵的电
𝐴 𝐵
荷量分别为𝑄 和𝑄 。（1）求𝐴的表面𝑆 及𝐵的内、外表面𝑆 、𝑆 的电荷量𝑞 、𝑞 和𝑞 ；
𝐴 𝐵 1 2 3 1 2 3
（2）求𝐴和𝐵的电势𝑉 和𝑉 。
𝐴 𝐵（真题2016年上高中）如图所示，半径为𝑏的圆环状导线均匀带电，在垂直于环平面
的轴线上有两点𝑃 、𝑃 ，𝑃 、𝑃 到环心距离为𝑏和2𝑏；设无限远处电势为零，𝑃 、𝑃
1 2 1 2 1 2
𝜑
的电势分别为𝜑 和𝜑 ，则 1为（ ）。
1 2
𝜑
2
5 5
A.3 B. C.2 D.
2 2（真题2017年下高中）空间某静电场的电势𝜑随𝑥的变化情况如图所示,根据图中
信息，下列选项中能正确表示𝜑对应的电场强度𝐸随𝑥变化关系的是（ ）。（真题2022下高中）同轴传输线由长直圆柱形导线和套在它外面的同轴导体圆管构成，已知
长直导线的半径为𝑅 圆管的内半径为𝑅 ，中间空气的介电常量为𝜀 。
1 2 0
（1）若长直导线上的电荷线密度为𝜆，求离轴线中心𝑟处（𝑅 < 𝑟 < 𝑅 ）的电场强度𝐸的大小。
1 2
（2）若测得长直导线的电势为𝑉 ，圆管内壁的电势为𝑉 ，求长直导线上的电荷线密度𝜆。
1 2
