文档内容
2026年中考数学常考考点专题之二次根式
一．选择题（共13小题）
1．（2025•滨州一模）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——
“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为 a，
√1 a2+b2-c2
b，c，三角形的面积为S，则S= [a2b2-( ) 2 ]．已知在△ABC中，AB=√10，AC=√6，
4 2
BC=2√2，那么△ABC的面积为（ ）
√11 √11
A． B．√11 C．2√11 D．
2 4
2．（2025•中山市校级模拟）观察下列各组式子：
①√4×9=√36=6，√4×√9=2×3=6；
√1 81 √ 81 9 √1 √ 81 1 9 9
② × = = ， × = × = ；
4 100 400 20 4 100 2 10 20
③√0.01×0.25=√0.0025=0.05，√0.01×√0.25=0.1×0.5=0.05．
可猜想得到：√ab=√a⋅√b（a≥0，b≥0），上述探究过程体现的数学思想方法是（ ）
A．从特殊到一般 B．类比
C．转化 D．公理化
3．（2025•遂平县三模）下列选项的计算结果为无理数的是（ ）
A．√2+√2 B．√2-√2 C．√2×√2 D．√2÷√2
4．（2025•丽江模拟）若1≤a≤2，则化简√a2-2a+1+|a﹣2|的结果是（ ）
A．2a﹣3 B．3﹣2a C．﹣2a D．1
5．（2025•大观区二模）下列各式计算正确的是（ ）
A．√2+√3=√5 B．4√3-3√3=1 C．√2×√3=√6 D．√12÷2=√6
6．（2025•宁江区校级三模）下列计算正确的是（ ）
A．√2×√5=√7 B．√8÷√2=2 C．2+√2=2√2 D．3√2-√2=3
7．（2025•焦作一模）下列运算正确的是（ ）
A．√10-√2=√8 B．a2•a•a2＝a5
C．（a4）3＝a7 D．（a+b）2＝a2+b2
8．（2025•福山区一模）下列各数中与3互为相反数的是（ ）
第1页（共24页）1
A．|﹣3| B． C．√3 (-3) 3 D．√(-3) 2
3
9．（2025•孝义市三模）下列运算正确的是（ ）
A．√2+√3=√5 B．√2-√8=-√2
C．(√3+2)(√3-2)=1 D．(√6+√2)÷√2=√3
10．（2025•内丘县模拟）下列计算正确的是（ ）
A．2√3+2√2=2√5 B．√18÷√2=3
√ 1 2
C．5√3×2√3=10√3 D． 4 = √3
3 3
11．（2025•竞秀区一模）若a+√8=√18，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
12．（2025•张家口一模）如图，大圆的面积为√18，小圆的面积为√8，图中三部分的面积分别为S ，
1
S ，S ，其中S 是S ，S 的平均数，则S 的值为（ ）
2 3 2 1 3 2
5√2 5√2
A． B．√2 C．2√2 D．
4 2
13．（2025•息县模拟）如图，矩形ABCD的边AD=2√7，AB=2√3，以顶点A为圆心，线段AD为半
径的弧与BC边交于点F，以顶点B为圆心，线段BF长为半径的弧与边AD交于点E，则阴影部分的
面积为（ ）
8 8 8 8
A．4√3- π B． π+2√3 C． π-2√3 D．4√3+ π
3 3 3 3
第2页（共24页）二．填空题（共7小题）
14．（2025•东光县二模）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[√3]=1，现对72进
第1次 第2次 第3次
行如下操作：72 → [√72]=8 → [√8]=2 → [√2]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，
类似地，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最小的是 ．
√x2-9+√9-x2
15．（2025•连云港校级二模）已知y= +7，则3x+y的值为 ．
x-3
√1
16．（2025•淮安）计算：√12× = ．
3
17．（2025•唐山二模）已知√8×√n=4，则n＝ ．
√3
18．（2025•香坊区一模）计算√12- = ．
2
19．（2025•阿城区二模）我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为：m※n=√m(m-√n)，计算
2※8的结果为 ．
20．（2025•盐山县校级模拟）若√50+√2=√2(a+1)，则a的值为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•高新区校级三模）（1）计算：(-3) 2-√2×√8+(√2-1) 0；
1 1 x+2
（2）化简：( + )÷ ．
x-1 x+1 x2-1
22．（2025•莲池区校级模拟）如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的
方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板
A，B，C．
（1）正方形木板A的边长为 分米，B的边长为 分米，C的边长为
分米；
（2）求木板①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形木
板，请你判断能否截出，并说明理由．
第3页（共24页）√3
23．（2025•武都区校级模拟）计算：3√12× -√8+2√32．
2
24．（2025•肥城市三模）按要求完成下列各题．
（1）计算：(√2+1) -1+4cos45°+|√3-2|-(3.14-π) 0；
a2 a+2
（2）化简：( -a+1)÷ ．
a+1 a2+2a+1
√1
25．（2025•永昌县校级三模）计算：√24÷√3-√18× +√32．
2
第4页（共24页）2026年中考数学常考考点专题之二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A A D C B B C B B B
题号 12 13
答案 A C
一．选择题（共13小题）
1．（2025•滨州一模）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——
“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为 a，
√1 a2+b2-c2
b，c，三角形的面积为S，则S= [a2b2-( ) 2 ]．已知在△ABC中，AB=√10，AC=√6，
4 2
BC=2√2，那么△ABC的面积为（ ）
√11 √11
A． B．√11 C．2√11 D．
2 4
【考点】二次根式的应用．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】依据题意，根据所给公式，然后代入数据计算可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵在△ABC中，AB=√10，AC=√6，BC=2√2，
√1 8+6-10
∴S△ABC= [8×6-( ) 2 ]
4 2
√1
= (48-4)
4
=√11．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意代入数值计算是关键．
2．（2025•中山市校级模拟）观察下列各组式子：
①√4×9=√36=6，√4×√9=2×3=6；
第5页（共24页）√1 81 √ 81 9 √1 √ 81 1 9 9
② × = = ， × = × = ；
4 100 400 20 4 100 2 10 20
③√0.01×0.25=√0.0025=0.05，√0.01×√0.25=0.1×0.5=0.05．
可猜想得到：√ab=√a⋅√b（a≥0，b≥0），上述探究过程体现的数学思想方法是（ ）
A．从特殊到一般 B．类比
C．转化 D．公理化
【考点】二次根式的乘除法．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据相应的数学思想方法进行分析即可．
【解答】解：由题意得：探究过程体现的数学思想方法是：从特殊到一般．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解答的关键是对相应的定义的掌握．
3．（2025•遂平县三模）下列选项的计算结果为无理数的是（ ）
A．√2+√2 B．√2-√2 C．√2×√2 D．√2÷√2
【考点】二次根式的混合运算；无理数．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】计算出各个选项中的结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：√2+√2=2√2，故选项A符合题意；
√2-√2=0，故选项B不符合题意；
√2×√2=2，故选项C不符合题意；
√2÷√2=1，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、无理数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（2025•丽江模拟）若1≤a≤2，则化简√a2-2a+1+|a﹣2|的结果是（ ）
A．2a﹣3 B．3﹣2a C．﹣2a D．1
【考点】二次根式的性质与化简．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可．
第6页（共24页）【解答】解：∵1≤a≤2，
∴√a2-2a+1+|a﹣2|
＝|a﹣1|+|a﹣2|
＝a﹣1+2﹣a
＝1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题时注意：√a2=|a|．
5．（2025•大观区二模）下列各式计算正确的是（ ）
A．√2+√3=√5 B．4√3-3√3=1 C．√2×√3=√6 D．√12÷2=√6
【考点】二次根式的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据合并同类二次根式的方法可以判断 A；根据二次根式的减法可以判断B；根据二次根式
的乘法可以判断C；根据二次根式的除法可以判断D．
【解答】解：√2+√3不能合并，故选项A错误，不符合题意；
4√3-3√3=√3，故选项B错误，不符合题意；
√2×√3=√6，故选项C正确，符合题意；
√12÷2＝2√3÷2=√3，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（2025•宁江区校级三模）下列计算正确的是（ ）
A．√2×√5=√7 B．√8÷√2=2 C．2+√2=2√2 D．3√2-√2=3
【考点】二次根式的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式乘除法则，加减法则一一判断即可．
【解答】解：A、√2×√5=√10，本选项错误不符合题意；
B、√8÷√2=2，本选项正确符合题意；
C、2与√2不是同类二次根式，不能合并，本选项错误不符合题意；
D、3√2-√2=2√2，本选项错误不符合题意．
第7页（共24页）故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
7．（2025•焦作一模）下列运算正确的是（ ）
A．√10-√2=√8 B．a2•a•a2＝a5
C．（a4）3＝a7 D．（a+b）2＝a2+b2
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
菁优网版权所有
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的加减法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【解答】解：√10与√2不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意，
a2•a•a2＝a5，则B符合题意，
（a4）3＝a12，则C不符合题意，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的加减，同底数幂乘法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法
则是解题的关键．
8．（2025•福山区一模）下列各数中与3互为相反数的是（ ）
1
A．|﹣3| B． C．√3 (-3) 3 D．√(-3) 2
3
【考点】二次根式的性质与化简；立方根．
菁优网版权所有
【专题】实数；应用意识．
【答案】C
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：A、3和3的绝对值是同一个数，故A错误，不符合题意．
1
B、3和 ，是互为倒数，故B错误，不符合题意．
3
C、√3 (-3) 3=-3，故C正确；符合题意；
D、√(-3) 2=3，不是相反数，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
9．（2025•孝义市三模）下列运算正确的是（ ）
第8页（共24页）A．√2+√3=√5 B．√2-√8=-√2
C．(√3+2)(√3-2)=1 D．(√6+√2)÷√2=√3
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、√2与√3不能合并，故A不符合题意；
B、√2-√8=√2-2√2=-√2，故B符合题意；
C、（√3+2）（√3-2）＝3﹣4＝﹣1，故C不符合题意；
D、（√6+√2）÷√2=√3+1，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（2025•内丘县模拟）下列计算正确的是（ ）
A．2√3+2√2=2√5 B．√18÷√2=3
√ 1 2
C．5√3×2√3=10√3 D． 4 = √3
3 3
【考点】二次根式的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加法，乘法，除法，二次根式的性质与化简进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、2√3与2√2不能合并，故A不符合题意；
B、√18÷√2=√9=3，故B符合题意；
C、5√3×2√3=30，故C不符合题意；
√ 1 √13 √39
D、 4 = = ，故D不符合题意；
3 3 3
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2025•竞秀区一模）若a+√8=√18，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
第9页（共24页）【考点】二次根式的加减法；实数与数轴．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果．
【解答】解：根据题意可知，a=√18-√8=3√2-2√2=√2，
∵√1＜√2＜√4，
∴1＜√2＜2，即1＜a＜2，
故实数a的点会落在数轴的段②上．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，实数与数轴，掌握二次根式的加减法的运算法则是关键．
12．（2025•张家口一模）如图，大圆的面积为√18，小圆的面积为√8，图中三部分的面积分别为S ，
1
S ，S ，其中S 是S ，S 的平均数，则S 的值为（ ）
2 3 2 1 3 2
5√2 5√2
A． B．√2 C．2√2 D．
4 2
【考点】二次根式的应用．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平均数的计算方法求解即可．
【解答】解：三部分的面积分别为S ，S ，S ，其中S 是S ，S 的平均数，
1 2 3 2 1 3
由题意，得S +S =√18=3√2，S +S =√8=2√2，
1 2 3 2
则S +S +2S =5√2．
1 3 2
又∵S +S ＝2S ，
1 3 2
∴4S =5√2，
2
5√2
∴S = ．
2 4
故选：A．
第10页（共24页）【点评】本题主要考查了平均数及二次根式的运算，正确进行计算是解题关键．
13．（2025•息县模拟）如图，矩形ABCD的边AD=2√7，AB=2√3，以顶点A为圆心，线段AD为半
径的弧与BC边交于点F，以顶点B为圆心，线段BF长为半径的弧与边AD交于点E，则阴影部分的
面积为（ ）
8 8 8 8
A．4√3- π B． π+2√3 C． π-2√3 D．4√3+ π
3 3 3 3
【考点】二次根式的应用．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
AE 1
【分析】连接BE，由矩形的性质和勾股定理求出BF，进而得到AE，根据sin∠ABE= = 求出
BE 2
∠ABE的度数，进而得到∠EBF的度数，然后利用S阴影 ＝S扇形BEF +S
△ABE
﹣S
△ABF
来求解．
【解答】解：连接BE，如下图，
由条件可得AF=AD=2√7，BF=BE=√AF2-AB2=√ (2√7) 2-(2√3) 2=4，∠EAB＝∠ABC＝
90°，
∴AE=√BE2-AB2=√42-(2√3) 2=2，
AE 2 1
∴sin∠ABE= = = ，
BE 4 2
∴∠ABE＝30°，
∴∠EBF＝90°﹣30°＝60°，
第11页（共24页）∴S阴影 ＝S扇形BEF +S
△ABE
﹣S
△ABF
60×42π 1 1
= + ×2×2√3- ×2√3×4
360 2 2
8
= π+2√3-4√3
3
8
= π-2√3．
3
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，特殊角的三角函数值的求法，勾股定理，求出
∠ABE的度数是解答关键．
二．填空题（共7小题）
14．（2025•东光县二模）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[√3]=1，现对72进
第1次 第2次 第3次
行如下操作：72 → [√72]=8 → [√8]=2 → [√2]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，
类似地，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最小的是 25 6 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】256．
【分析】根据题中的操作顺序，对256进行运算，结合二次根式的估算，要想确定只需进行4次操作
后变为1的所有正整数，关键是确定第三次操作后数的大小不能大于 4，第二次操作时根号内的数不
大于16，而一次操作时正整数必须不大于256，据此即可解答．
【 解 答 】 解 ： ∵
，
，
∴只需进行4次操作后变为 1的所有正整数中，最小的是256，
故答案为：256．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小的知识，正确理解新定义的运算法则是解题的关键．
√x2-9+√9-x2
15．（2025•连云港校级二模）已知y= +7，则3x+y的值为 ﹣ 2 ．
x-3
【考点】二次根式有意义的条件．
菁优网版权所有
第12页（共24页）【专题】二次根式；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x2﹣9≥0，9﹣x2≥0，根据二次根式有意义的条件可得x﹣
3≠0，解可得x的值，进而得到y的值，然后再代入未知数的值求出3x+y即可．
{x2-9≥0
【解答】解：由题意得 9-x2≥0，
x-3≠0
解得：x＝﹣3，
则y＝7，
∴3x+y＝3×（﹣3）+7＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被
开方数是非负数．分式有意义的条件是分母不为零．
√1
16．（2025•淮安）计算：√12× = 2 ．
3
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2．
【分析】利用二次根式的乘法法则计算，再利用二次根式的性质即可求得答案．
√ 1
【解答】解：原式= 12×
3
=√4
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的乘除法及性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（2025•唐山二模）已知√8×√n=4，则n＝ 2 ．
【考点】二次根式的乘除法．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2，
【分析】根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：√8×n=√16，
∴8n＝16，
第13页（共24页）∴n＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘法运算法则，本题属于
基础题型．
√3 3√3
18．（2025•香坊区一模）计算√12- = ．
2 2
【考点】二次根式的加减法．
菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先把各根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
√3
【解答】解：原式＝2√3-
2
3√3
= ．
2
3√3
故答案为： ．
2
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根
式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
19．（2025•阿城区二模）我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为：m※n=√m(m-√n)，计算
2※8的结果为 2√2- 4 ．
【考点】二次根式的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】新定义；运算能力．
【答案】2√2-4．
【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：2※8
=√2（2-√8）
＝2√2-√16
＝2√2-4，
故答案为：2√2-4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练的进行计算是解题的关键．
20．（2025•盐山县校级模拟）若√50+√2=√2(a+1)，则a的值为 5 ．
【考点】二次根式的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】5．
第14页（共24页）【分析】先将√50化简，再合并同类二次根式得到√2（a+1）＝6√2，再利用二次根式的除法法则运算
得到a+1＝6，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵√50+√2=√2(a+1)，
∴5√2+√2=√2（a+1），
即√2（a+1）＝6√2，
6√2
∴a+1= =6，
√2
解得a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问
题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•高新区校级三模）（1）计算：(-3) 2-√2×√8+(√2-1) 0；
1 1 x+2
（2）化简：( + )÷ ．
x-1 x+1 x2-1
【考点】二次根式的混合运算；分式的混合运算；零指数幂．
菁优网版权所有
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】（1）6；
2x
（2） ．
x+2
【分析】（1）利用有理数的乘方法则，二次根式的乘法法则，零指数幂计算后再算加减即可；
（2）将括号内的通分并计算，然后将除法化为乘法，最后进行约分即可．
【解答】解：（1）原式＝9-√16+1
＝9﹣4+1
＝5+1
＝6；
x+1+x-1 (x+1)(x-1)
（2）原式= ⋅
(x+1)(x-1) x+2
2x (x+1)(x-1)
=
•
(x+1)(x-1) x+2
2x
= ．
x+2
【点评】本题考查分式的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题
第15页（共24页）的关键．
22．（2025•莲池区校级模拟）如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的
方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板
A，B，C．
（1）正方形木板A的边长为 2 分米，B的边长为 2√2 分米，C的边长为 3√2 分米；
（2）求木板①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形木
板，请你判断能否截出，并说明理由．
【考点】二次根式的应用．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）2，2√2，3√2；
（2）不能截出．理由见解答．
【分析】（1）根据正方形方面积公式求解；
（2）根据题意列出代数式，再计算求解；
（3）比较无理数的大小．
【解答】解：（1）∵在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米
的正方形木板A，B，C，
∴正方形木板A的边长为2分米，B的边长为2√2分米，C的边长为3√2分米，
故答案为：2，2√2，3√2；
（2）（2√2+3√2）×(2+2√2)-4﹣8﹣18＝10√2+20﹣30＝（10√2-10）平方分米；
（3）不能截出．
理由：正方形木板的边长为4分米，
∵2+2√2＞4，5√2＜8，
∴不能截出．
【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握矩形的面积公式和二次根式的运算是解题的关键．
第16页（共24页）√3
23．（2025•武都区校级模拟）计算：3√12× -√8+2√32．
2
【考点】二次根式的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】15√2．
【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
√ 3
【解答】解：原式＝3 12× -2√2+8√2
2
＝9√2-2√2+8√2
＝15√2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘
除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选
择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（2025•肥城市三模）按要求完成下列各题．
（1）计算：(√2+1) -1+4cos45°+|√3-2|-(3.14-π) 0；
a2 a+2
（2）化简：( -a+1)÷ ．
a+1 a2+2a+1
【考点】二次根式的混合运算；分式的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）3√2-√3；
a+1
（2） ．
a+2
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）(√2+1) -1+4cos45°+|√3-2|-(3.14-π) 0
1 √2
= +4× +2-√3-1
√2+1 2
=√2-1+2√2+2-√3-1
＝3√2-√3；
a2 a+2
（2）( -a+1)÷
a+1 a2+2a+1
第17页（共24页）a2 (a+1) 2
＝[ -（a﹣1）]•
a+1 a+2
a2-(a2-1) (a+1) 2
= •
a+1 a+2
1 (a+1) 2
= •
a+1 a+2
a+1
= ．
a+2
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
√1
25．（2025•永昌县校级三模）计算：√24÷√3-√18× +√32．
2
【考点】二次根式的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】6√2-3．
【分析】先算乘除，再算加减即可．
√24 √ 1
【解答】解：原式= - 18× +4√2
3 2
=√8-√9+4√2
＝2√2-3+4√2
＝6√2-3．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
第18页（共24页）考点卡片
1．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，
那么x叫做a的立方根．记作：√3 a．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号√3 a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一
个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根
是0．
2．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根
等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
1
比如4＝4.0， =0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562．
3
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有
π
的数，如分数 是无理数，因为 是无理数．
2
π π
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如√2，√3，√35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有 的绝大部分数，如2 ．
注意：判断π一个数是否为无理数，π不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．
3．实数与数轴
第19页（共24页）（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点
表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是
在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原
点左侧，绝对值大的反而小．
4．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣
y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，
指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓
住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
6．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两
项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
第20页（共24页）（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完
全平方公式．
7．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简
便．
8．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，
有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活
运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分
式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法
的运算律运算，会简化运算过程．
9．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
10．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
第21页（共24页）（3）二次根式具有非负性．√a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式
的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
11．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①√ a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（√ a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
{ a (a＞0)
③√ a2=|a| = 0 (a=0) （算术平方根的意义）
-a (a＜0)
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
√a √a
√ab=√a•√b（a≥0，b≥0） = （a≥0，b＞0）
√b b
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能
开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指
数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
12．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：√a⋅b=√a•√b（a≥0，b≥0）
第22页（共24页）（2）二次根式的乘法法则：√a•√b=√a⋅b（a≥0，b≥0）
√a √a
（3）商的算术平方根的性质： = （a≥0，b＞0）
b √b
√a √a
（4）二次根式的除法法则： = （a≥0，b＞0）
√b b
规律方法总结：
在使用性质√a•√b=√a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该
性质会使二次根式无意义，如（√-4）×（√-9）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的
算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
13．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行
合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系
数相加减，被开方数和根指数不变．
14．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运
算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，
往往能事半功倍．
15．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富
第23页（共24页）解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
第24页（共24页）
