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大联考雅礼中学 2024 届高三月考试卷（二）
数学
命题人：卿科 审题人：陈朝阳 匡鈾龄
得分：___________
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 8页．时量120分钟，满分150
分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 全集 ，集合 ， ，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数 的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司4. 在边长为3的正方形ABCD中，点E满足 ，则 （ ）
A. 3 B. C. D. 4
5. 某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球
的体积为 ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为 ，不
考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列 为等比数列，其前n项和为 ， ，则“公比 ”是“对于任意 ， ”
的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sin x－a)·(cos x－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 的定义域为R， ，且 在 上递增，则
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
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学科网（北京）股份有限公司目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对于实数 ， ， ，下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 ， D. 若 ， ，则
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
.
A
B. 函数 的最小正周期为
C. 函数 的对称轴方程为
D. 函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
11. 设 是公差为 （ ）的无穷等差数列 的前 项和，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 是数列 的最大项
B. 若数列 有最小项，则
C. 若数列 是递减数列，则对任意的： ，均有
D. 若对任意的 ，均有 ，则数列 是递增数列
12. 如图所示，在棱长为2的正方体 中，点 ， 分别为棱 ， 上的动点（包
含端点），则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 四面体 的体积为定值
B. 当 ， 分别为棱 ， 的中点时，则在正方体中存在棱与平面 平行
C. 直线 与平面 所成角的正切值的最小值为
D. 当 ， 分别为棱 ， 的中点时，则过 ， ， 三点作正方体的截面，所得截面为五边形
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数 的图象在 处的切线斜率为3，则 __________．
的
14. 在平面直角坐标系 中，圆 与 轴 正半轴交于点 ，点 ， 在圆 上，若射线 平分
， ，则点 的坐标为__________．
15. 已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则 的最小值
为_____________．
16. 已知菱形 中，对角线 ，将 沿着 折叠，使得二面角 为
120°， ，则三棱锥 的外接球的表面积为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
18. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的内切圆半径为 ，求 的周长.
19. 如图，在三棱柱 中， ， ， ， ，且
平面 ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的正弦值．
20. 如图，已知椭圆 上一点 ，右焦点为 ，直线 交椭圆于
点，且满足 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆相交于 两点，求四边形 面积的最大值．
21. 如图所示， 是圆锥的一部分(A为圆锥的顶点)， 是底面圆的圆心， ， 是弧
上一动点（不与 、 重合），满足 ． 是 的中点， ．
（1）若 平面 ，求 的值；
（2）若四棱锥 的体积大于 ，求三棱锥 体积的取值范围．
22. 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为
阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人
为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为 ．目前，我们采用K
人混管病毒检测，定义成本函数 ，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： ；
（2）若 ， ．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰
有一人为阳性．
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