文档内容
遵义市 2024 届高三第一次质量监测统考试卷
数学
（满分：150分，时间：120分钟）
注意事项：
1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘
贴条形码.
2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；
非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；
在试卷上作答无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合交集的运算可得.
【详解】由 ，解得： 或 ，故 .
故选：A
2. 若复数 满足 ，则复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用复数除法法则计算出 ，从而求出虚部.
【详解】 ，
故复数 的虚部是 .
故选：C
3. 已知 均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】结合特殊值与不等式的性质可求.
【详解】A，当 时， ，A错误；
B，当 时， 没意义，B错误；
C，由 ，知 ，所以 ，C正确；
D，当 时， 不成立，D错误.
故选：C
4. 若 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以 为整体，结合诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得： .
故选：C.
5. 若函数 在区间 上单调递增，则 的可能取值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，结合题意 在 上恒成立求范围，即可判断所能取的值.
【详解】由题设 在区间 上单调递增，所以 恒成立，
所以 上 恒成立，即 恒成立，
而 在 上递增，故 .
所以A符合要求.
故选：A
6. 今年 月 日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不
可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有 种半衰期在 年以上;有 种半衰期在 万年以
上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度 与时间 （年）近似满足关系式 为大
于 的常数且 .若 时, ;若 时, .则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓
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学科网（北京）股份有限公司度 为 时,大约需要（ ）（参考数据: ）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件得 ,解方程组求出 的值,当 时,在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得: ,解得 ,
所以 ,
当 时,得 ,即 ,
两边取对数得 ,
所以 ,
即这种有机体体液内该放射性元素浓度 为 时,大约需要 年.
故选:B.
7. 将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，再将所得的函数图象向右平移
个单位长度，得到函数 的图象；则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图象的变换法则得出 ，再由和角公式求解.
【详解】由题意可知， ，
.
故选：B
8. 若 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 构 建 函 数 ， 结 合 导 数 可 得 ； 构 建 ，
，结合导数可得 ，进而可得 .
【详解】令 ，则 当 时恒成立，
则 在 内单调递增，可得 ，
即 ，可得 ，故 ；
令 ，则 当 时恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 内单调递增，可得 ，所以 ，
令 ，则 当 时恒成立，
则 在 内单调递增，可得 ，所以 ，
可得 ，所以 ，故 ；
综上所述： .
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 与 是终边相同的角
B. 若角 的终边过点 ，则
C. 若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D. 若 ，则角 的终边在第一象限或第三象限
【答案】CD
【解析】
【分析】举反例 判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由 与 同号
判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A：当 时， ，但终边不同，故A错误；
对于B： ，当 时， ，故B错误；
对于C：由 ，得 ，故C正确；
对于D： ，即 与 同号，则角 的终边在第一象限或第三象限，故D正确；
故选：CD
10. 对于任意实数 ，函数 满足：当 时， .下列关于函数 的
叙述正确的是（ ）
A.
B. 是奇函数
C.
D. ，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合题中定义和特殊值即可.
【详解】A，根据定义， ，所以 ，A正确；
B，取 ， ， ，
取 ， ， ，不满足奇函数的定义，B错误；
C， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，C正确；
D，当 时， ，D正确.
故选：ACD
11. 已知 ，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. .
C. 的最大值为 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判定A、B选项，利用排除法可判定C选项，利用柯西不等式可判定D选项.
【详解】由题意可得 ，
当且仅当 时取得等号，即A正确；
，
当且仅当 时取得等号，即B正确；
先证柯西不等式 ，
设 ，
则 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由柯西不等式可知：
，
当且仅当 ，即 时取得等号，即D正确；
若 ，则 ，此时 ，故C错误.
故选：ABD
12. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的 倍角公式，即 ，称为第一类切比雪夫
多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：
探究上述多项式，下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换即可判断A，据题意总结出 时， ，即可判断
B，利用二倍角公式、三角恒等变换即可判断选项CD.
【详解】对于A，
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学科网（北京）股份有限公司.A正确；
对于B，归纳可得 时， ，
所以 ，B正确；
因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
解得 ，C错；
有上述知 ，
则 ，D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题 ,则命题 的否定为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出答案.
【详解】因为命题 ,
所以命题 的否定为: .
故答案为: .
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学科网（北京）股份有限公司14. 若函数 ，则不等式 的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分 和 两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.
为
【详解】因 ，则有：
当 时，可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，则 ，解得 ；
综上所述：不等式 的解集为 .
故答案为： .
15. 已知双曲线 的左焦点为 ，坐标原点为 ，若在双曲线右支上存在一
点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.
【详解】如图，因为 ，所以 ，
所以 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
解得 .
故答案为：
16. 已知函数 ，若关于 不等式 恰有一个整数解，则实数
的
的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由导数得出函数 的图像，讨论 与 的关系，结合图像得出实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，
即函数 在 上单调递增
函数 的图像如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司由 得出 ，
当 时，显然不成立.
但 时，解得 ，使得不等式只有唯一整数解，此时 .
即 时，唯一整数解是 ，
当 时， ，使得不等式只有唯一整数解，此时 ，
即 时，唯一整数解是 .
综上， .
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若函数 在区间 上恰有两个零点 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合五点法作图，由周期得 ，结合最值点可得 ，代入点 的坐标得A，即可得
函数解析式；
（2）由题意知 和 的图象有两个不同交点，作出函数 在
上的图象，结合函数的对称性可得 的值．
【小问1详解】
设 的最小正周期为 ，则 ，可得 ,
且 ，解得 ，
由图象可知：当 时， 取到最大值，
且 ，则 ，
可得 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，则 ，
且 的图象过点 ，则 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
【小问2详解】
令 ，
由 ，可得 ，
可知 的零点等价于 与 的图象交点横坐标，
且 ，
作出 在 内的图象，不妨设 ，如图所示：
由图象可知： ，且 关于直线 对称，所以 .
18. 已知数列 的前 项和为 ，且当 时， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足： ，求 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据 与 之间的关系，分 和 两种情况运算求解；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法运算求解.
【小问1详解】
因为当 时， ，且 ，
若 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，
两式相减可得： ，整理得 ，
即 ，可得 ；
可知 不符合上式， 符合上式，
所以 .
【小问2详解】
由（1）可得： ，
当 时，则 ；
当 时，则 ；
可知 符合上式，所以 .
19. 函数 ，其一条切线的方程为 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的值；
（2）令 ，若 有两个不同的极值点 ，且 ，
求实数 的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）求导，设切点为 ，从而得到方程组，求出 ， ；
（2）求导，得到 为 的两根，由 得到 ，得到两根之和，两根之
积，计算出 ，由 计算出不等式解集，得到实数 的取值
范围.
【小问1详解】
，设函数在切点 处的切线的方程为 ，
则 ， ，
解得 ， ；
【小问2详解】
由（1）可知， ，
，即 为 的两根，
故 ，解得 或 （舍去），
且 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
由 可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
解得 或 （舍去），
综上：
20. 某学校现有1000名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了 名学生某周使用手
机上网时间的样本数据（单位：小时）.将数据分为6组： ，并整
理得到如下的频率分布直方图：
附： .
0.1 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）估计该校学生一周平均使用手机上网时间（每组数据以该组中点值为代表）；
（2）将一周使用手机上网时间在 内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在
内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有 名学生不近视.请补充完成该周使用手机上网
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学科网（北京）股份有限公司时间与近视程度的列联表，若有 以上的把握认为“该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关”.
那么本次调查的人数至少有多少？
近视 不近视 合计
长时间使用手机
不长时间使用手机
合计
【答案】（1） 小时
（2）列联表见解析，有 的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关
【解析】
【分析】（1）利用平均数公式求解；
（2）根据列联表已有的数据和频率分布直方图求解；
【小问1详解】
解：根据频率分布直方图得：
；
估计该校学生每周平均使用手机上网时间为 小时；
【小问2详解】
根据题意填写 列联表如下，
近视 不近视 合计
长时间使用手机
不长时间使用手机
合计
由表中数据，计算 ，
所以有 的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．
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学科网（北京）股份有限公司21. 已知 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上异于左､右顶点的任意一点， 的
周长为6，面积的最大值为 ：
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与椭圆 的另一交点为 ，与 轴的交点为 .若 ， .试问：
是否为定值？并说明理由.
【答案】（1）
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解；
（2）根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的坐标运算
即可求解.
【小问1详解】
设椭圆 的方程为 ，则
由椭圆的定义及 的周长为6，知 ①，
由于 为椭圆 上异于左､右顶点的任意一点，得 到 轴距离最大为 ，
因为 的面积的最大值为 ，
所以 ②，
又 ③，
联立①②③，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以椭圆 的方程为 .
【
小问2详解】
为定值 ，理由如下：
根据已知条件作出图形如图所示,
设 ，则 ，
因为 在椭圆内部，则直线 与椭圆一定有两交点，
联立 消去 得： ，
，
又 ，且 ，
所以 ，同理
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司所以 为定值 .
22. 已知函数 .
（1）求函数 在 上的单调区间；
的
（2）若 时， ，求实数 取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，根据 正负即可确定 的单调区间；
（2）构造函数 ，将问题转化为 在 上恒成立；通过反例可说明
显然不合题意；当 时，结合零点存在定理可说明存在 的区间，不合题意；当
时 ， 采 用 放 缩 法 ， 结 合 时 ， 的 结 论 可 得 ， 构 造 函 数
，利用导数可求得 单调性，从而得到 ，进而得到
恒成立.
【小问1详解】
由题意知： ，
恒成立，当 时， ；当 时， ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ；当 时， ；
在 上的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问2详解】
令 ，则 在 上恒成立；
①当 时， ，则 ，不满足 在 上恒成立，
不合题意；
②当 时， ，
， ，
又 在 上连续， ，使得当 时， ，
在 上单调递增，此时 ，不合题意；
③当 时， ，则 ， ；
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ，
又 ， ，
令 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
在 上单调递减， ，即 ，
在 上单调递减， ，即 ，
，满足题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的单调区间、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题
的关键是能够对变量 的取值范围进行合理的分类，分类时可依据 ，得到 必然
成立来确定 的大致范围，进而再细化分类进行求解.
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学科网（北京）股份有限公司
