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2024武汉外校高二下数学期末 参考答案
依题 ，带入相应得值可得 ，得
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B B D C D C D BC ACD ACD 16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： 左焦点为F 离心率
1，
二、填空题
为 ，且过点 ,直线AF 与椭圆C相交于另一点B.
1
(1)求E的方程；
12. 13. 14.
(2)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S，S，若S=2S，求点M的坐标．
1 2 2 1
三、解答题
15.（13分）已知 的内角 的对边分别为 ，满足
（1）由题可得 ，解的 ，即
（1）证明：
;
（2）若 ，求 的面积. (2)由（1）得 ，则直线 ，直线AB与y轴交点为
（1）证明：由 可得 由题 ，转化为在Y轴上取点P,使得P到直线AB的距离是O到直线AB的距离
即 ,化简得
的两倍，可得 满足题意，
因为 为 的内角，所以有 ，得
过 作与AB平行的直线 ，两直线与椭圆E的交点即为满足题意的点
（2）由（1）知道 为锐角，由 得
带入椭圆 解得
所以 由正弦定理 ,得不妨设 ，则有
带入椭圆 解得
综上可得，M的坐标为
17.（15分）如图，在三棱柱 中， 是正三角形，
四边形 为棱形， ,
（1）证明：
（2）求二面角 的正弦值.
（1）取AC的中点为O,连接 ,
由题知 是正三角形，
又 ,
由余弦定理，
又
（2）方法1：几何法
方法2：建系法取O为AC的中点，过O作平面ABC的垂线，以该垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不
妨设AB=2 ,依题 ，
则
18.(1)设函数 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围
(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取
20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为 ，证明： .
解：（1）
设平面 法向量为 ，则
，若 ，函数 在 时，单调递增， 恒成
立；满足题意
若 方 程 的 判 别 式 为
同理，平面 的法向量
① 时， ，函数 在 时，单调递增， 恒成
立，满足题意
② 时，方程 在 上的解为 ，
时， ， ，函数 在
时，单调递减，不满足 恒成立
综上所述， 的取值范围（2）由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为
(2)若 的各项全不相等,且可围成“T-Circle”，写出 的取值（不必证明），并写出一个满足条
，
件的数列.
因为 ， (3)若 的各项不全相等,且可围成“T-Circle”，求 的取值集合.
同理 ， ， ， ，
解：（1）由定义可得 ，而 为正项数列，故 ，
所以 ，所以 ， 故 ，
再证： ， 由最后两式可得 ，故 ，故 且 ，
即证： ，即 ， ， 结合 可得 即 ，故 ，故 .
由（1）得，当 时， ，取 ，
故存在 ，使得数列 可围成“T-Circle”,此时数列 为： .
则 ，即 . （2） ，满足条件的一个数列为
（3）（i）若 的各项不全相等,且可围成“T-Circle”．
综上， .
结合 为正项数列可得 ，
诸式相乘后可得 ，
19．已知有穷正项数列 ,若将数列每项依次围成一圈,满足每一项等于相邻两项的乘积,
又上述关系式即为 (若下标大于 ，则取下标除以 的余数).
则称该数列可围成一个“T-Circle”．例如：数列 都可围成“T-Circle”．
故 ，
(1)设 ,当 时,是否存在 使该数列可围成“T-Circle”,并说明理由.
故 (若下标大于 ，则取下标除以 的余数).所以 (若下标大于 ，则取下标除以 的余数).
若 ，则 ，故 ，
设 ，
若 ，则 即为 ，故 ，从而 ， ， 故 ，故 ，故 ，故 ，故 ，
而 ，故 ，故 ，故 ，从而 ，
此时 均为1，与题设矛盾.
此时 均为1，与题设矛盾.
综上，
若 ，则 即为 ，而 ，
，故 ，此时 均为1，与题设矛盾.
若 ，则 即为 ，而 ，所以 ，故 ，
从而 ，
而 ，故 ，故 ，
此时 均为1，与题设矛盾.
若 ，则 即为 ，而 ，所以 ，
而 ，故 ，故 ，故 ，
故 ，故 ，故 ，
此时 均为1，与题设矛盾.
