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内江一中高 2027 届高二(上)第二次月考 数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知直线 经过点 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出斜率，再根据斜率和倾斜角之间的关系求出.
【详解】由题意可知，直线 的斜率为 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 ，
故直线 的倾斜角为 .
故选：B
2. 已知空间中直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则（ ）
A. B. C. D. 直线 与平面 不相交
【答案】D
【解析】
【分析】由方向向量与法向量关系可判断直线与平面 关系.
【详解】对于AB， ，则直线 可能与平面 平行，也可能在平面 内，因题目条
件不足，故AB选项无法判断，
对于C， 与 不共线，则直线 与平面 不垂直，故C错误，
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学科网（北京）股份有限公司对于D，由AB分析可知，直线 与平面 不相交，故D正确.
故选：D.
3. 球的半径为10，若它的截面面积是 ，则球心到截面的距离是（ ）
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用 即可求解.
【详解】因为球的截面面积是 ，故截面圆的半径 ，
设球心到截面的距离是 ，则 解得 .
故选：C
4. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异
面直线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，结合正方体 的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，如图， ， 四点共面，A不是；
对于B，如图， ， 四点共面，B不是；
对于C，如图， ， 四点共面，C不是；
对于D，如图， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 直线 ，
则 与 是异面直线，D是.
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司5. 若双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. 2或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可.
【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为 ，
则渐近线的倾斜角为 或 ，
所以渐近线的斜率为 或 .
因为该双曲线方程为 ，所以渐近线方程为 .
所以 或 .
所以双曲线的离心率为 或2.
故选：C.
6. 已知圆 及点 ，在圆 上任取一点 ，连接 ，将点 折叠到点A，记
与折痕 的交点为 （如图）. 当点 在圆 上运动时，点 的轨迹方程为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由题意可得： ，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再
由 求得 ，可求点 的轨迹方程可求．
【详解】连接 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为4．
因为将点 折叠到点A，记 与折痕 的交点为 ，所以 ，
所以 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，且 ，所以 ，
所以 ，所以点 的轨迹方程为 ．
故选：A．
7. 如图，在正三棱柱 中， ，P为 的中点，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以 为基底表示 后可求 的值.
【详解】由正三棱柱 可得 ， ，
而 ，
故
.
故选：A.
8. 已知椭圆 的焦距为 ，若直线 恒与椭圆 有两个不同的
公共点，则椭圆 的离心率范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点 在椭圆内部，整理不等式 可得离心率
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学科网（北京）股份有限公司.
【详解】将直线 整理可得 ，
易知该直线恒过定点 ，
若直线 恒与椭圆 有两个不同的公共点，可知点 在椭圆内部；
易知椭圆上的点当其横坐标为 时，纵坐标为 ，即可得 ，
整理可得 ，即 ，
解得 .
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线 ，则下列表述正确的是（ ）
A. 当 时，直线的倾斜角为
B. 当实数 变化时，直线 恒过点
C. 当直线 与直线 平行时，则两条直线的距离为
D. 原点到直线 的距离最大值为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，依据斜率求出倾斜角；对于B，将直线 的方程化为 即可；对于
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学科网（北京）股份有限公司C，根据平行关系求出 ，再利用两条平行直线间的距离公式即可；对于D，当直线 与过原点、 的
直线垂直时，原点到直线 的距离最大，求两点间距离即可.
【详解】对于A，当 时，直线 ，则直线斜率为 ，
故直线的倾斜角为 ，故A正确；
对于B，直线 ，当 时， ，
故直线 恒过点 ，故B正确；
对于C，当直线 与直线 平行时，有 ，得 ，
此时直线 ，
则两条直线的距离为 ，故C正确；
对于D，当直线 与过原点、 的直线垂直时，原点到直线 的距离最大，
最大值为 ，故D错误.
故选：ABC
10. 如图1，半圆O的直径为4，点B，C三等分半圆，P，Q分别为OB，OC的中点，将此半圆以OA为母
线卷成如图2所示的圆锥，D为BC的中点，则在图2中，下列结论正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B. 平面
C. 平面
D. 三棱锥 与 公共部分的体积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，先求出圆锥的底面圆半径，再利用正弦定理求出 ，进而可判断；对于B，由勾股定
理逆定理结合 ，可得 与 不垂直，由此即可判断；对于 C，由中位线定理得
，结合线面平行的判定定理即可判断；对于D，连接 交于点 ，连接 并延长 ，
可知 交 于点 ，则三棱锥 与三棱锥 公共部分即为三棱锥 ，再确定
点 的位置即可求解体积并判断D.
【详解】对于A，在图 中，设圆锥的底面圆半径为 ，
则 ，解得 ，
因为在图1中，点 、 三等分半圆，
所以在图 中，点 、 为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以 为等边三角形，
所以 ，所以 ，
又因为点 、 分别是 、 的中点，
所以 ，故A正确；
对于B，
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学科网（北京）股份有限公司连接 ，因为三角形 边长为 的等边三角形，三角形 为等腰三角形，
点 是 的中点，所以 ，
而 ，所以 ，这表明 与 不垂直，故B错误；
对于C，因为点 、 分别是 、 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故C正确；
对于D，连接 交于点 ，连接 并延长 ，则由对称性可知 必定交 于点 ，
则三棱锥 与三棱锥 公共部分即为三棱锥 ，
因为点 分别是 、 的中点，
所以 为 的重点，所以 ，
由上易知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，所以圆锥的高为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以三棱锥 与三棱锥 公共部分的体积为 ，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知 ， 是椭圆 （ ）和双曲线 （ ， ）的公共焦点，
是他们的一个公共点，且 ，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由椭圆与双曲线的几何性质可判断A，B项，由 ，得 ，可判断C项，
D项利用C项的结论及基本不等式求解即可．
【详解】对A：因为椭圆与双曲线由公共焦点，所以 ，故A正确；
对B：不妨设 为第一象限的点，再设 ， .如图：
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学科网（北京）股份有限公司由椭圆及双曲线的定义可得： .
因为 ，所以 ，
所以 .
又 ，
所以 ，故B正确；
对C：由 ，即 .故C错误；
对D：因为 ，所以
（当且仅当 ， 时取“ ”）.故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：关于圆锥曲线的焦点三角形的问题，若知道 ，一般可利用余弦定理列式.
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 求过两条直线 和 的交点，且与 垂直的直线方程
_____________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先求出两直线的交点坐标，根据两直线垂直，斜率的关系，可求出所求直线的斜率，代入公式，
即可得答案.
【详解】联立 ，解得 ，即交点坐标为 ，
直线 变形为 ，斜率为 ，
所以所求直线的斜率为 ，
则所求直线方程为 ，整理得 .
故答案为：
13. 如图，在正方体 中，二面角 的大小为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.
【详解】在正方体 中，令棱长 ，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
令平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
令平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
于是得 ，而 ，则 ，
由图形知，二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的大小 .
故答案为：
14. 如图所示，一套组合玩具需在一半径为4的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为
__________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司的
【分析】设母线与底面 夹角为 ，内切球半径 ，用 表示底面半径 和圆锥的高 ，求出圆锥体
积 的表达式，利用基本不等式求出最小值．
【详解】球的外切圆锥，轴截面如图所示，
设母线与底面的夹角为 ，底面半径 ，内切球半径 ，圆锥的高 ，
则： ， ，
圆锥的体积 ，
而 ，所以 ， ，
又因为： 定值，
所以 ，当且仅当 ，即 时，
等号成立，
所以 ．
故答案为： .
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线 的实轴长为2，离心率为 .
（1）求双曲线 的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2） 为双曲线 上一点，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据实轴求出a值，根据离心率求出c值，根据a，b，c的关系，求出 ，即可得答案.
（2）根据双曲线的定义，结合余弦定理，可得 的值，代入完全平方公式，化简变形，即可得答
案.
【小问1详解】
由题意实轴 ，解得 ，则离心率 ，
所以 ，
所以双曲线 的方程为 .
【小问2详解】
由双曲线的定义得 ，且 ，
由余弦定理 ，所以 ，解得
，
所以
，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知圆 的圆心在坐标原点，且过点 ．
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 经过点 且与圆 相切，求直线 的方程．
（3）已知点 是圆 上的动点，试求点 到直线 的距离的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出 即为圆的半径，从而求出圆的方程；
（2）求出直线 的斜率，即可得到直线 的斜率，再由点斜式计算可得；
的
（3）求出圆心到直线 距离，从而求出点 到直线的距离的最大值.
【小问1详解】
依题意圆 的半径为 ，
所以圆 的方程为 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为直线 的斜率 ，所以直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，即 ；
【小问3详解】
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆相离，
所以 到直线 的距离的最大值为 .
17. 如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ， D是BC的中点.
（1）求证: 平面 ;
（2）求证: 平面 平面 ;
（3）求直线AC与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）连接 交 于O，连接OD，则由三角形中位线定理可得 ，再利用线面平行
的判定定理可得结论.
（2）由等边三角形的性质可得 ，再由棱柱的性质结合已知可得 平面 ，从而得
，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可得结论.
（3）过C作CE 于E，连AE，则可得CE⊥平面 ，从而中得∠CAE是AC与平面 所成的
角，然后在直角 中求解即可.
【小问1详解】
在三棱柱 中，连接 交 于O，连接OD，
则O是 的中点，又 是 的中点， ，
而 平面 ，OD 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
由 ， 是 的中点，得 ，
由 平面 ，得 平面 ，又AD 平面 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ､BC是平面 内的两条相交直线，因此 平面 ，而AD 平面 ，
所以平面 平面
【小问3详解】
在平面 内过C作CE 于E，连AE，
由（2）知，平面 平面 ，平面 平面 ，
则 平面 ， 是AC与平面 所成的角，
在直角 中，令 ，则 ， ，
在直角 中， ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 如图，在四棱锥 中， ，平
面 平面 ， 为棱 的中点.
的
（1）求三棱锥 体积；
（2）求直线 与 所成角的余弦值；
（3）若点 在棱 上，使得点 到平面 的距离是 ，求二面角 的余弦值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用等体积法求解；
（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据向量的夹角公式计算得到答案；
（3）设 ，确定 ，再利用距离的向量公式计算出
的值，最后计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【小问1详解】
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 为棱 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为 ，所以点 到平面 的距离为 ，
所以 ；
【小问2详解】
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图：
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 .
【小问3详解】
根据（2）可知 ，则 ， ， ，
设 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，故 ，
点 到平面 的距离是 ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，故 ，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .
19. 已知椭圆C的两个焦点 ， ，过 点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，
N两点， 的周长等于16.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点 的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线 ， 的斜率分别为 ， .
（i）求证： 为定值；
（ii）求 面积的最大值.
【答案】（1） ；
（2）（i）证明见解析；（ii） 面积的最大值为 .
【解析】
【分析】（1）依据题意列出关于 的方程组求出 即可得解；
（2）（i）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证；
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学科网（北京）股份有限公司（ii）由（i）先求出 ，再由面积公式 结合
基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得椭圆焦点在x轴上，且 ，
所以椭圆的方程为 .
【小问2详解】
（i）证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然 ，所以 ；
当直线斜率不为0时，设直线方程为 ，
联立 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
综上， 为定值0.
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学科网（北京）股份有限公司（ii）由（i）可得 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 面积的最大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司
