(459)--选填02板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26选填题速成(2) (高等数学) 主讲 武忠祥三 、无穷小比较 1）洛必达法则 2) 等价无穷小代换 x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1 x) ~ ex 1;  (1x) 1~x, 1cos  x ~ x 2 a x 1 ~ xln a, [1  (x)] (x)  1 ～ (x)(x) 2 x3 x3 x2 x  sin x ~ , tan x  x ~ x  ln(1 x) ~ 6 3 2 x3 x3 arcsin x  x ~ x  arctan x ~ 6 3 f (x) x x 若 lim  1, 则  f ( t )dt ~  g(t)dt x0 g(x) 0 0 x x 1）特别的如果当 x  0 时， f (x) ~ g(x)，则  f (t)dt ~  g(t)dt 0 0 (x) 2）  f (t)dt n(m  1) 03）泰勒公式 2 n x x (1) e x  1  x      o(x n ) 2! n! x 3 (1) n1 x 2n1 (2) sin x  x      o(x 2n1 ) 3! (2n  1)! x 2 (1) n x 2n (3) cos x  1      o(x 2n ) 2! (2n)! x 2 (1) n1 x n (4) ln(1  x)  x      o(x n ) 2 n ( 1) ( 1)( n  1) (5) (1  x)   1 x  x 2    x n (x n ) 2! n!【例1】(2009年,1,2,3）当 x  0 时， f (x)  x  sin ax 与 g(x)  x 2 ln(1  bx) 是等价无穷小，则 1 1 （A） a  1,b   （B） a  1,b  6 6 1 1 （D） （C） a  1,b   a  1,b  6 6 f (x) x  sin ax 【解1】泰勒 1  lim  lim x0 g(x) x0  bx 3 【解2】代入【例2】(2011年1,2,3）已知当 函数 x  0 f (x)  3sin x  sin 3x 与 cx k 是等价无穷小，则 （A） k  1,c  4. （B） k  1,c  4. 最低次幂 （C） k  3,c  4. （D） k  3,c  4. 3 3 x (3x) 3[x  ] [3x  ](x 3 ) 3sin x  sin 3x 【解1】泰勒 3! 3! 1  lim  lim x0 cx k x0 cx k 3 1 [ x 3 ] [ (3x) 3 ] [3sin x  3x] [sin 3x  3x] 4x 3 【解2】等价 6 6 1  lim  lim  lim k k k x0 cx x0 cx x0 cx 3sin x  sin 3x 3sin x  sin 3x 【解3】代入 k  1, 1  lim ，k  3, 1  lim 3 x0 cx x0 cx【例3】(2014年3）设 p(x)  a  bx  cx 2  dx 3 . 当 x  0 时,若 p(x)  tan x 是比 x 3 高阶的无穷小,则下列结论中错误的是 1 （A）a  0 （B）b  1 （C） c  0 （D）d  6 3 x p(x)  [x  (x 3 )] p(x)  tan x 【解1】泰勒 3 0  lim  lim x0 x 3 x0 x 3 p(x)  tan x p(x)  x tan x  x p(x)  x 1 【解2】 0  lim  lim  lim  lim  3 3 3 3 x0 x x0 x x0 x x0 x 3 【解3】 tan x  p(x) (x 3 )  a  bx  cx 2  dx 3 (x 3 )【例4】(2020年1,2) 当  时,下列无穷小量中最高阶的是（ ） x  0 x x 2 A.  (e t  1)dt B.  ln(1  t 3 )dt 0 0 sin x 1cos x C.  sin t 2 dt D.  sin 3 tdt 0 0 (x)  sin x f (t)dt 【解】  2 sin t dt 0 2 x sin x  2 sin t dt 2x sin x  2 sin t dt x 2 x t   2 dt sin u du 0 0f (x) 1cosx 【例5】设 f ( x ) 连续 , l i m   1 , 且当 x  0 时  f (t)dt x0 1  cos x 0 是 x 的 n 阶无穷小 , 则 n 等于 （A）3； （B）4； （C）5； （D）6. f ( x) f ( x) 【解】 lim  lim  1, x0 1  cos x x0 1 2 x 21 x 1 【例6】设 f (x)   ln(1  t)dt, g(x)  3 1  x 5  ( )13 cos x sin x 1  x 4 则当 x  0  时，f (x) 是 g(x) 的（ ）. (A) 低阶无穷小 （B）高阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但不等价的无穷小 x 1 【解】 f (x)   ln(1  t)dt  (x  sin x)ln(1 ) ～ x 3  x sin x 6 1 1 g(x)  ( 3 1  x 5  1)  ( )13 cos x  1)  x 4 1  x 4 1 2 ( x) 1 1  x 4 3 1 ( )13 cos x  1 (1  x 4 ) 2(13 cos x)  1 ～ ～ 1  x 4 2(1  3 cos x)x 【例7】设 f (x)   [(2  sin t) t  2 t ]d t ，g(x)  tan x  arcsin x 0 则当 x  0 时，f (x) 是 g(x) 的（ ）. (A) 低价无穷小 (B) 高阶无穷小 x,sin x,tan x, (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小 arcsin x,arctan x 3 x 【解】 g(x)  tan x  arcsin x  (tan x  x)  (arcsin x  x) ～ 差为3阶 6 sin t x x f (x)   [(2  sin t) t  2 t ]d t   2 t [(1  ) t  1]d t 0 0 2 3 x sin t x t sin t x  2  [(1  ) t  1]d t ～  dt ～ 0 2 0 2 6【例8】(1996年1,2）设 f (x) 有连续导数, f (0)  0 ， f  (0)  0, x F(x)   (x 2  t 2 ) f (t)dt ,且当 x  0 时, F  (x) 与 x k 为同阶无穷 小,则 k 等于 0 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 x x x 【解1】直接法 F(x)  x 2  f (t)dt   t 2 f (t)dt F  (x)  2x  f (t)dt 0 0 0 x   2 f (t)dt F (x) 2 f (x) f (x) lim  lim 0  lim lim  f  (0)  0 x0 x k x0 x k1 x0 (k  1)x k2 x0 x x 【解2】直接法 F  (x)  2x  f (t)dt f (x)  f  (0)x (x) 0 4 x x 【解3】排除法 f (x)  x F(x)   (x 2  t 2 )tdt  0 4【例9】 设 g(x) 可导,且当 x  0 时，g(x) 是 x 的高阶无穷小,则当 x  0 时，必有（ ）.  1 g(x) g  (x)  x 2 sin , x  0. （A） g  (x) 是无穷小量. 0  lim  lim g(x)   x x0 x x0 1   0, x  0. x x 1 （B） 是无穷大量. lim  lim   g(x) x0 g(x) x0 g(x) ( ) x G(x) g(x) （C）若 G  (x)  g(x) ，则 G(x) 是 x 2 的高阶无穷小. l im  lim  0 2 x0 x x0 2x x  g(t)dt g(x) x （D） g(t)dt 是 x 2 的高阶无穷小. lim 0  lim  0 2 0 x0 x x0 x 【解】x 2 f (x)  sin x  tan x 【例10】已知当 x  0 时， lim  5, 5 x0 x 则当 x  0 时, f (x) 是 x 的（ ） （A）等价无穷小 （B）同阶但非等价的无穷小 （C）高阶无穷小 （A）低阶无穷小 x 2 f (x)  sin x  tan x 【解】 lim  x 2  0 5 x0 x f (x) tan x  sin x 1 lim  lim  3 x0 x x0 x 2【例11】当 x  0 时， tan(tan x)  sin(sin x) 与 x n 是等价无穷小，则 n （ ） （A） （B） （C） （D） 1. 2. 3. 4. tan(tan x)  sin(sin x) 【解1】直接法（泰勒） 1  lim n x0 x tan x  sin x 1 【解2】直接法 lim  3 x0 x 2 tan(tan x)  sin(sin x) tan(tan x)  sin(tan x) sin(tan x)  sin(sin x) lim  lim  lim x0 x 3 x0 x 3 x0 x 3 1 1    1 2 2 【解3】排除法 tan(tan x)  sin(sin x) 奇函数，排除B,D1 【例12】已知当 x  0 时, f (x)  1  cos(sin x)  ln(1  x 2 ) 是 2 x 的 n 阶无穷小，则 n  ( ) (A) (B) (C) (D) 1 2 3 4 f (x) 【解1】直接法（泰勒） lim n x0 x 1 【解2】排除法 f (x)  1  cos(sin x)  ln(1  x 2 ) 偶函数，排除A,C 2 f (x) 1 1 lim   排除B. 2 x0 x 2 2  f (0) f (0) f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2  x 3 (x 3 ) 【例13】(2021年1) 2! 3! sin x 设函数 f (x)  在 x  0 处的3次泰勒多项式为 ax  bx 2  cx 3,则( ) 1  x 2 7 7 （A）a  1,b  0,c   （B）a  1,b  0,c  6 6 7 7 （C）a  1,b  1,c   （D）a  1,b  1,c  6 6 sin x x 3 7x 3 【解1】直接法 f (x)   (x  (x 3 ))(1  x 2 (x 2 ))  x  (x 3 ) 1  x 2 3! 6 3 x x  (x 3 ) sin x 3! 【解2】直接法 f (x)    ax  bx 2  cx 3 (x 3 ) 1  x 2 1  x 2 sin x 7 【解3】直接法 f (x)  x   x ～ sin x  x(1  x 2 )  (sin x  x)  x 3 ～  x 3 1  x 2 6 sin x sin x 【解4】排除法 f (x)  奇函数, b  0, f (x)   x  cx 3 (x 3 ) c  0 1  x 2 1  x 2【例14】(2022年2,3) 当 x  0 时,(x),(x) 是非零无穷小量，给出以下四个命题 ①若 (x) ～ (x) ，则 2 (x) ～2 (x) ②若2 (x) ～2 (x) ，则 (x) ～ (x) ③若 (x) ～ (x) ，则 (x)  (x) ((x)) ④若 (x)  (x) ((x)) ，则 (x) ～ (x) 其中所有正确的命题序号是 （A）①②. （B）①④. （C）①③④. （D）②③④. 【解】【例15】(2023年1,2）当 x  0 时，函数 f (x)  ax  bx 2  ln(1  x) 2 与 g(x)  e x  cos x 是等价无穷小，则 ab  ________ . 2 x ax  bx 2  [x  (x 2 )] f (x) 【解1】 2 1  lim  lim x0 g(x) x0 x 2 [1  x 2 (x 2 )] [1  (x 2 )] 2 1 (a  1)x  (b  )x 2 (x 2 ) 1 3 2  lim a  1  0,b   . ab  2 2 x0 3x 2 2 (x 2 ) 2 1 3 2 2 【解2】 e x  cos x  [e x  1] [cos x  1] ~ x 2  [ x 2 ]  x 2 2 2 ax  bx 2  ln(1  x) 1 3 1  lim a  1, b   . 3 x0 2 2 2 x 21 【例16】(2023年2）已知  x  ,  y  满足： x  y  , x  sin x , y  y 2 (n  1,2,), n n 1 1 n1 n n1 n 2 则当 n   时,（ ） A. x 是 y 的高阶无穷小； B. y 是 x 的高阶无穷小； n n n n C. x 与 y 是等价无穷小； D. x 与 y 是同阶但不等价的无穷小. n n n n y 【解1】令 z  n 若 lim x n1  a, 且 a  1, 则 lim x  0. n n x n x n n n 2 z y x y x x lim n1  lim( n1  n )  lim( n  n )  lim( y  n )  0 lim z  0. n z n x y n sin x y n n sin x n n n n1 n n n n x sin x y y 2 【解2】 lim n1  lim n  1 lim n1  lim n  0 n x n x n y n y n n n n四 、函数连续性及间断点类型 间断点的分类 1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点 可去间断点: 左极限= 右极限 跳跃间断点: 左极限  右极限 2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在 1 无穷间断点： lim   x0 x 1 振荡间断点： limsin x0 xln | x | 【例1】(2008年2)设函数 f (x)  sin x ，则 f (x) 有（ ） | x  1 | （A）1个可去间断点，1个跳跃间断点 （B）1个可去间断点，1个无穷间断点 （C）2个跳跃间断点 （D）2个无穷间断点 【解】 ，， 0 1 可去 lim f (x)  lim x ln x  0 x0 x0 ln x x  1 lim f (x)  sin1lim  sin1lim 跳跃 x1 x1 x  1 x1 x  11 e x1 ln1  x 【例2】(2020年2,3）函数 f (x)  的第二类间断点的个数为( ) (e x  1)(x  2) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解】间断点  1, 0, 1, 2. lim f (x)   x1 1 ln(1  x) 1 lim f (x)   lim   x0 2e x0 e x  1 2e lim f (x)    x1 lim f (x)   x21 【例3】(2024年2）函数 f (x)  x (1x)(x2) 的第一类间断点的个数是（ ） （A） （B） （C） （D） 3. 2. 1. 0. 【解】 ，， 0 1 2 lim f (x)   x0 1 1 lim f (x)  lim x (1x)(x2)  lim[1  (x  1)] (1x)(x2)  e 可去 x1 x1 x1 lim f (x)    x21  x 【例4】(2024年3)设函数 f (x)  lim , 则 f (x) （ ） n 1  nx 2n （A）在 x  1, x  1 处都连续. （B）在 x  1 处连续，在 x  1 处不连续. （C）在 x  1, x  1 处都不连续. （D）在 x  1 处不连续，在 x  1 处连续. 1  x 1  x, x  1, 【解】 f (x)  lim   n 1  nx 2n  0, x  1.(x 2  a 2 )(x  1) 【例5】已知函数 f (x)  在 (,) 上有一个 1 e x  b 可去间断点和一个跳跃间断点,则 (A) a  1,b  1. (B) a  0,b  1. (C) a  0,b  e. (D) a  e,b  e. 【解】由题设可知， b  0, 否则 f ( x) 只有一个间断点 x  0. 显然 x  0 是 f ( x) 的一个间断点,而另一个间断点只能是 而 x  1. b  e. 2 a (x 2  a 2 )(x  1) lim f (x)  , lim f (x)  0. lim f (x)  lim x0  e x0  x1 x1 1 e x  e (x  1) 1 1  a 2  (1  a 2 )lim  (1  a 2 )lim   x1 1 x1 1 1 e e x  e  e x 2 x(n  1)(x 2  1)  x 【例6】设 f (x)  lim , 则 f (x) 第一类间断点的个数为（ ） n 2  nln x (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4  x 2  1 , x  1,  ln x   1 x 2  1 【解】 f (x)   , x  1, f (0) 没定义 lim f (x)  lim  0 2  x0 x0 ln x 1   , x  1.  2  x 2  1 2x lim f (x)  lim  lim  2 lim f (x)  2 x1 x1 ln x x1 1 x1 x第二章 一元函数微分学 一. 导数概念及可导性判断 导数的概念 f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x ) 导数： f  (x )  lim 0 0  lim 0 0 x0 x xx x  x 0 0 f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x ) 左导数： f  (x )  lim 0 0  lim 0  0 x0  x xx  x  x 0 0 f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x ) 右导数： f  (x )  lim 0 0  lim 0  0 x0  x xx  x  x 0 0 定理 可导  左右导数都存在且相等常用的结论： 1.设 f (x) (x) x  a , 其中 ( x) 在 x  a 处连 续,则 f ( x) 在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0. 2.设 f (x)  x n x , 则 f (n) (0) 存在， f (n1) (0) 不存在； 3.设 连续 可导 可导 f ( x) f ( x) f (x) (1) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f (x) 在 x 处可导 0 0 0 (2) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f  (x )  0. 0 0 01 2 2 【例1】函数 f (x)   e x t dt ，在 x  0 处（ ） 0 （A）连续但不可导 （B）可导且导数不为0 （C）导数为0且取极小值 （D）导数为0且取极大值 x 2  u e du  x 2  e u du 0  1  【解1】令 xt  u f (x)   0 , x  0, f  (0)  lim x  0 x x0 x   1, x  0. 1 2 2  e x t dt  1 e x 22  1 x 22 【解2】 f (0)  1 f  (0)  lim 0  lim  lim  0 x0 x x0 x x0 x 1 2 2 f (x)   e x t dt  1(x  0) 0 1 1 2 【解3】 f (x)   [1  x 2 t 2  ]dt  1  x 2   f  (0)  0, f  (0)  . 0 3 3 x, x  0,  【例2】(2016年1）已知函数 则（ ） f (x)  1 1 1 n  1,2,, ,  x  .  n n  1 n （A） x  0 是 f (x) 的第一类间断点， （B）x  0 是 f (x) 的第二类间断点， （C） 在 处连续但不可导， f (x) x  0 （D） f (x) 在 x  0 处可导. 【解】 f  (0)  1  f (x) f (x) n  1 f  (0)  lim  1 1     x x n x0【例3】(2018年1,2,3）下列函数中,在 x  0 处不可导的是( ) （A） f (x)  x sin x , （B） f (x)  x sin x , （C） f (x)  cos x , （D） f (x)  cos x . 【解1】排除法 【解2】直接法 注：常用的结论：设 f (x) (x) x  a , 其 ( x) 在 x  a 处连 续,则 f ( x) 在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0.【例4】(2020年1）设函数 f ( x) 在区间 (1,1) 内有定义,且 lim f ( x)  0, 则 x0 f ( x) （A）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导； x0 x f ( x) （B）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导； 2 x0 x f ( x) （C）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0 ； x0 x f ( x) （D）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0. 2 x0 x 【解】【例】(2024年1）设函数 f (x) 在区间 (1,1) 上有定义，且 lim f (x)  0, 则（ ） x0 f (x) （A）当 时， lim  m f  (0)  m. x0 x mx, x  0, f (x) （B）当 f  (0)  m 时， lim  m. f (x)    1, x  0. x0 x （C）当 lim f  (x)  m 时， f  (0)  m. x0 （D）当 f  (0)  m 时， lim f  (x)  m. x0  1  mx  x 2 sin , x  0, f (x)   x   0, x  0.f (x)  a sin f (x)  sin a 【例5】(2020年3）设 lim  b, 则 lim  ( ) xa x  a xa x  a A. B. C. D. bsin a bcosa bsin f (a) bcos f (a) sin f (x)  sin a sin f (x)  sin a f (x)  a 【解1】直接法 lim  lim   bcos a 经典错误 xa x  a xa f (x)  a x  a  f (x), x  a, 令 f (x)  a F(x)  F(a) F(x)   b  lim  lim  F  (a)  a, x  a. xa x  a xa x  a sin f (x)  sin a sin F(x)  sin F(a) lim  lim  [sin F(x)]   cos F(a) F  (a)  bcos a xa x  a xa x  a xa sin f (x)  sin a cos[ f (x)  a] 【解2】直接法 lim  lim  bcos a xa x  a xa x  af (x)  a sin f (x)  sin a 【例5】(2020年3）设 lim  b, 则 lim  ( ) xa x  a xa x  a A. B. C. D. bsin a bcosa bsin f (a) bcos f (a) f (x)  a f (x)  a 2sin cos sin f (x)  sin a 2 2 【解3】直接法 lim  lim  bcos a xa x  a xa x  a f (x)  a 【解4】排除法 lim  b 与 f (a) 无关，排除 C,D. xa x  a f (x)  a  b(x  a) f (x)  x a  0,b  1