(459)--选填02板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26选填题速成(2)
(高等数学)
主讲 武忠祥三 、无穷小比较
1）洛必达法则
2) 等价无穷小代换
x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1 x) ~ ex 1;

(1x) 1~x, 1cos  x ~ x 2 a x 1 ~ xln a, [1  (x)] (x)  1 ～ (x)(x)
2
x3 x3 x2
x  sin x ~ , tan x  x ~ x  ln(1 x) ~
6 3 2
x3 x3
arcsin x  x ~ x  arctan x ~
6 3
f (x)
x x
若 lim  1, 则  f ( t )dt ~  g(t)dt
x0 g(x) 0 0
x x
1）特别的如果当 x  0 时， f (x) ~ g(x)，则  f (t)dt ~  g(t)dt
0 0
(x)
2）  f (t)dt n(m  1)
03）泰勒公式
2 n
x x
(1) e x  1  x      o(x n )
2! n!
x 3 (1) n1 x 2n1
(2) sin x  x      o(x
2n1
)
3! (2n  1)!
x 2 (1) n x 2n
(3) cos x  1      o(x 2n )
2! (2n)!
x 2 (1) n1 x n
(4) ln(1  x)  x      o(x n )
2 n
( 1) ( 1)( n  1)
(5) (1  x)   1 x  x 2    x n (x n )
2! n!【例1】(2009年,1,2,3）当 x  0 时， f (x)  x  sin ax 与
g(x)  x 2 ln(1  bx) 是等价无穷小，则
1 1
（A） a  1,b   （B） a  1,b 
6 6
1
1
（D）
（C） a  1,b   a  1,b 
6
6
f (x) x  sin ax
【解1】泰勒
1  lim  lim
x0 g(x) x0  bx 3
【解2】代入【例2】(2011年1,2,3）已知当 函数
x  0
f (x)  3sin x  sin 3x 与 cx k 是等价无穷小，则
（A） k  1,c  4. （B） k  1,c  4.
最低次幂
（C） k  3,c  4. （D） k  3,c  4.
3 3
x (3x)
3[x  ] [3x  ](x 3 )
3sin x  sin 3x
【解1】泰勒 3! 3!
1  lim  lim
x0 cx k x0 cx k
3 1
[ x 3 ] [ (3x) 3 ]
[3sin x  3x] [sin 3x  3x] 4x 3
【解2】等价 6 6
1  lim  lim  lim
k k k
x0 cx x0 cx x0 cx
3sin x  sin 3x 3sin x  sin 3x
【解3】代入
k  1, 1  lim ，k  3, 1  lim
3
x0 cx x0 cx【例3】(2014年3）设 p(x)  a  bx  cx 2  dx 3 . 当 x  0
时,若 p(x)  tan x 是比 x 3 高阶的无穷小,则下列结论中错误的是
1
（A）a  0 （B）b  1 （C） c  0 （D）d 
6
3
x
p(x)  [x  (x 3 )]
p(x)  tan x
【解1】泰勒 3
0  lim  lim
x0 x 3 x0 x 3
p(x)  tan x p(x)  x tan x  x p(x)  x 1
【解2】
0  lim  lim  lim  lim 
3 3 3 3
x0 x x0 x x0 x x0 x 3
【解3】 tan x  p(x) (x 3 )  a  bx  cx 2  dx 3 (x 3 )【例4】(2020年1,2) 当  时,下列无穷小量中最高阶的是（ ）
x  0
x x
2
A.  (e t  1)dt B.  ln(1  t 3 )dt
0 0
sin x 1cos x
C.  sin t 2 dt D.  sin 3 tdt
0 0
(x)

sin x f (t)dt
【解】
 2
sin t dt
0
2
x
sin x
 2
sin t dt
2x
sin x
 2
sin t dt
x
2
x t
  2
dt sin u du
0 0f (x) 1cosx
【例5】设 f ( x ) 连续 , l i m   1 , 且当 x  0 时  f (t)dt
x0 1  cos x 0
是 x 的 n 阶无穷小 , 则 n 等于
（A）3； （B）4； （C）5； （D）6.
f ( x) f ( x)
【解】 lim  lim  1,
x0 1  cos x x0 1
2
x
21
x 1
【例6】设 f (x)   ln(1  t)dt, g(x)  3 1  x 5  ( )13 cos x
sin x 1  x 4
则当 x  0  时，f (x) 是 g(x) 的（ ）.
(A) 低阶无穷小 （B）高阶无穷小
（C）等价无穷小 （D）同阶但不等价的无穷小
x 1
【解】 f (x)   ln(1  t)dt  (x  sin x)ln(1 ) ～ x 3  x
sin x 6
1
1
g(x)  ( 3 1  x 5  1)  ( )13 cos x  1)  x 4
1  x 4
1
2
( x)
1 1  x 4 3
1
( )13 cos x  1 (1  x 4 ) 2(13 cos x)  1 ～ ～
1  x 4 2(1  3 cos x)x
【例7】设 f (x)   [(2  sin t) t  2 t ]d t ，g(x)  tan x  arcsin x
0
则当 x  0 时，f (x) 是 g(x) 的（ ）.
(A) 低价无穷小 (B) 高阶无穷小
x,sin x,tan x,
(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小
arcsin x,arctan x
3
x
【解】 g(x)  tan x  arcsin x  (tan x  x)  (arcsin x  x) ～ 差为3阶
6
sin t
x x
f (x)   [(2  sin t) t  2 t ]d t   2 t [(1  ) t  1]d t
0 0 2
3
x sin t x t sin t x
 2  [(1  ) t  1]d t ～  dt ～
0 2 0 2 6【例8】(1996年1,2）设 f (x) 有连续导数, f (0)  0 ， f  (0)  0,
x
F(x)   (x 2  t 2 ) f (t)dt ,且当 x  0 时, F  (x) 与 x k 为同阶无穷 小,则 k 等于
0
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
x x x
【解1】直接法 F(x)  x 2  f (t)dt   t 2 f (t)dt F  (x)  2x  f (t)dt
0 0 0
x

 2 f (t)dt
F (x) 2 f (x) f (x)
lim  lim 0  lim lim  f  (0)  0
x0 x
k
x0 x
k1
x0 (k  1)x
k2
x0 x
x
【解2】直接法 F  (x)  2x  f (t)dt f (x)  f  (0)x (x)
0
4
x
x
【解3】排除法 f (x)  x F(x)   (x 2  t 2 )tdt 
0 4【例9】 设 g(x) 可导,且当 x  0 时，g(x) 是 x
的高阶无穷小,则当 x  0 时，必有（ ）.
 1
g(x) g  (x)  x 2 sin , x  0.
（A） g  (x) 是无穷小量. 0  lim  lim g(x)   x
x0 x x0 1   0, x  0.
x
x 1
（B） 是无穷大量.
lim  lim  
g(x)
x0 g(x) x0 g(x)
( )
x
G(x) g(x)
（C）若 G  (x)  g(x) ，则 G(x) 是 x 2 的高阶无穷小. l im  lim  0
2
x0 x x0 2x
x

g(t)dt
g(x)
x
（D） g(t)dt 是 x 2 的高阶无穷小. lim 0  lim  0
2
0 x0 x x0 x
【解】x 2 f (x)  sin x  tan x
【例10】已知当 x  0 时， lim  5,
5
x0 x
则当 x  0 时, f (x) 是 x 的（ ）
（A）等价无穷小
（B）同阶但非等价的无穷小
（C）高阶无穷小
（A）低阶无穷小
x 2 f (x)  sin x  tan x
【解】 lim  x 2  0
5
x0 x
f (x) tan x  sin x 1
lim  lim 
3
x0 x x0 x 2【例11】当 x  0 时， tan(tan x)  sin(sin x) 与
x
n 是等价无穷小，则
n
（ ）
（A） （B） （C） （D）
1. 2. 3. 4.
tan(tan x)  sin(sin x)
【解1】直接法（泰勒）
1  lim
n
x0 x
tan x  sin x 1
【解2】直接法
lim 
3
x0 x 2
tan(tan x)  sin(sin x) tan(tan x)  sin(tan x) sin(tan x)  sin(sin x)
lim  lim  lim
x0 x 3 x0 x 3 x0 x 3
1 1
   1
2 2
【解3】排除法 tan(tan x)  sin(sin x) 奇函数，排除B,D1
【例12】已知当 x  0 时, f (x)  1  cos(sin x)  ln(1  x 2 ) 是
2
x 的 n 阶无穷小，则 n  ( )
(A) (B) (C) (D)
1 2 3 4
f (x)
【解1】直接法（泰勒）
lim
n
x0 x
1
【解2】排除法 f (x)  1  cos(sin x)  ln(1  x 2 ) 偶函数，排除A,C
2
f (x) 1 1
lim   排除B.
2
x0 x 2 2 
f (0) f (0)
f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2  x 3 (x 3 )
【例13】(2021年1)
2! 3!
sin x
设函数 f (x)  在 x  0 处的3次泰勒多项式为 ax  bx 2  cx 3,则( )
1  x 2
7 7
（A）a  1,b  0,c   （B）a  1,b  0,c 
6 6
7 7
（C）a  1,b  1,c   （D）a  1,b  1,c 
6 6
sin x x 3 7x 3
【解1】直接法 f (x)   (x  (x 3 ))(1  x 2 (x 2 ))  x  (x 3 )
1  x 2 3! 6
3
x
x  (x 3 )
sin x
3!
【解2】直接法 f (x)    ax  bx 2  cx 3 (x 3 )
1  x 2 1  x 2
sin x 7
【解3】直接法 f (x)  x   x ～ sin x  x(1  x 2 )  (sin x  x)  x 3 ～  x 3
1  x 2 6
sin x sin x
【解4】排除法 f (x)  奇函数, b  0, f (x)   x  cx 3 (x 3 ) c  0
1  x 2 1  x 2【例14】(2022年2,3) 当 x  0 时,(x),(x) 是非零无穷小量，给出以下四个命题
①若 (x) ～ (x) ，则 2 (x) ～2 (x)
②若2
(x)
～2
(x)
，则 (x) ～ (x)
③若 (x) ～ (x) ，则 (x)  (x) ((x))
④若 (x)  (x) ((x)) ，则 (x) ～ (x)
其中所有正确的命题序号是
（A）①②. （B）①④. （C）①③④. （D）②③④.
【解】【例15】(2023年1,2）当 x  0 时，函数 f (x)  ax  bx 2  ln(1  x)
2
与 g(x)  e x  cos x 是等价无穷小，则 ab  ________ .
2
x
ax  bx 2  [x  (x 2 )]
f (x)
【解1】 2
1  lim  lim
x0 g(x) x0 x 2
[1  x 2 (x 2 )] [1  (x 2 )]
2
1
(a  1)x  (b  )x 2 (x 2 )
1 3
2
 lim a  1  0,b   . ab  2
2
x0 3x 2 2
(x 2 )
2
1 3
2 2
【解2】 e x  cos x  [e x  1] [cos x  1] ~ x 2  [ x 2 ]  x 2
2 2
ax  bx 2  ln(1  x)
1 3
1  lim a  1, b   .
3
x0
2 2
2
x
21
【例16】(2023年2）已知  x  ,  y  满足： x  y  , x  sin x , y  y 2 (n  1,2,),
n n 1 1 n1 n n1 n
2
则当 n   时,（ ）
A. x 是 y 的高阶无穷小； B. y 是 x 的高阶无穷小；
n n n n
C. x 与 y 是等价无穷小； D.
x 与 y 是同阶但不等价的无穷小.
n n
n n
y
【解1】令 z  n 若 lim x n1  a, 且 a  1, 则 lim x  0.
n n
x n x n
n n
2
z y x y x x
lim n1  lim( n1  n )  lim( n  n )  lim( y  n )  0 lim z  0.
n z n x y n sin x y n n sin x n n
n n1 n n n n
x sin x y y 2
【解2】 lim n1  lim n  1 lim n1  lim n  0
n x n x n y n y
n n n n四 、函数连续性及间断点类型
间断点的分类
1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点
可去间断点: 左极限= 右极限
跳跃间断点: 左极限  右极限
2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在
1
无穷间断点：
lim  
x0 x
1
振荡间断点：
limsin
x0 xln | x |
【例1】(2008年2)设函数 f (x)  sin x ，则 f (x) 有（ ）
| x  1 |
（A）1个可去间断点，1个跳跃间断点
（B）1个可去间断点，1个无穷间断点
（C）2个跳跃间断点
（D）2个无穷间断点
【解】 ，，
0 1
可去
lim f (x)  lim x ln x  0
x0 x0
ln x x  1
lim f (x)  sin1lim  sin1lim 跳跃
x1 x1 x  1 x1 x  11
e x1 ln1  x
【例2】(2020年2,3）函数 f (x)  的第二类间断点的个数为( )
(e x  1)(x  2)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解】间断点  1, 0, 1, 2.
lim f (x)  
x1
1 ln(1  x) 1
lim f (x)   lim  
x0 2e x0 e x  1 2e
lim f (x)  

x1
lim f (x)  
x21
【例3】(2024年2）函数 f (x)  x (1x)(x2) 的第一类间断点的个数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 2. 1. 0.
【解】 ，，
0 1 2
lim f (x)  
x0
1
1
lim f (x)  lim x
(1x)(x2)
 lim[1  (x  1)] (1x)(x2)  e 可去
x1 x1
x1
lim f (x)  

x21  x
【例4】(2024年3)设函数 f (x)  lim , 则 f (x) （ ）
n 1  nx 2n
（A）在 x  1, x  1 处都连续.
（B）在 x  1 处连续，在 x  1 处不连续.
（C）在 x  1, x  1 处都不连续.
（D）在 x  1 处不连续，在 x  1 处连续.
1  x 1  x, x  1,
【解】
f (x)  lim  
n 1  nx 2n  0, x  1.(x 2  a 2 )(x  1)
【例5】已知函数 f (x)  在 (,) 上有一个
1
e x  b
可去间断点和一个跳跃间断点,则
(A) a  1,b  1. (B) a  0,b  1.
(C) a  0,b  e. (D) a  e,b  e.
【解】由题设可知，
b  0,
否则
f ( x)
只有一个间断点
x  0.
显然 x  0 是 f ( x) 的一个间断点,而另一个间断点只能是
而
x  1. b  e.
2
a (x 2  a 2 )(x  1)
lim f (x)  , lim f (x)  0. lim f (x)  lim
x0  e x0  x1 x1 1
e x  e
(x  1) 1 1  a 2
 (1  a 2 )lim  (1  a 2 )lim  
x1 1 x1 1 1 e
e x  e  e x
2
x(n  1)(x 2  1)  x
【例6】设 f (x)  lim , 则 f (x) 第一类间断点的个数为（ ）
n 2  nln x
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
 x 2  1
, x  1,

ln x

 1 x 2  1
【解】
f (x)   , x  1, f (0) 没定义 lim f (x)  lim  0
2
 x0 x0 ln x
1

 , x  1.
 2

x 2  1 2x
lim f (x)  lim  lim  2 lim f (x)  2
x1 x1 ln x x1 1 x1
x第二章 一元函数微分学
一. 导数概念及可导性判断
导数的概念
f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x )
导数： f  (x )  lim 0 0  lim 0
0 x0 x xx x  x
0
0
f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x )
左导数： f  (x )  lim 0 0  lim 0
 0 x0  x xx  x  x
0 0
f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x )
右导数： f  (x )  lim 0 0  lim 0
 0 x0  x xx  x  x
0 0
定理 可导  左右导数都存在且相等常用的结论：
1.设 f (x) (x) x  a , 其中 ( x) 在 x  a 处连 续,则 f ( x)
在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0.
2.设 f (x)  x n x , 则 f (n) (0) 存在， f (n1) (0) 不存在；
3.设 连续 可导 可导
f ( x) f ( x) f (x)
(1) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f (x) 在 x 处可导
0 0 0
(2) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f  (x )  0.
0 0 01
2 2
【例1】函数 f (x)   e x t dt ，在 x  0 处（ ）
0
（A）连续但不可导 （B）可导且导数不为0
（C）导数为0且取极小值 （D）导数为0且取极大值
x
2
 u
e du
 x 2
 e u du 0  1

【解1】令 xt  u f (x)   0 , x  0, f  (0)  lim x  0
x
x0 x

 1, x  0.
1
2 2
 e x t dt  1 e x 22  1 x 22
【解2】 f (0)  1 f  (0)  lim 0  lim  lim  0
x0 x x0 x x0 x
1
2 2
f (x)   e x t dt  1(x  0)
0
1 1 2
【解3】 f (x)   [1  x 2 t 2  ]dt  1  x 2   f  (0)  0, f  (0)  .
0 3 3 x, x  0,

【例2】(2016年1）已知函数 则（ ）
f (x)  1 1 1 n  1,2,,
,  x  .

n n  1 n
（A） x  0 是 f (x) 的第一类间断点，
（B）x  0 是 f (x) 的第二类间断点，
（C） 在 处连续但不可导，
f (x) x  0
（D） f (x) 在 x  0 处可导.
【解】 f  (0)  1

f (x) f (x) n  1
f  (0)  lim  1 1  

 x x n
x0【例3】(2018年1,2,3）下列函数中,在 x  0 处不可导的是( )
（A） f (x)  x sin x , （B） f (x)  x sin x ,
（C） f (x)  cos x , （D） f (x)  cos x .
【解1】排除法
【解2】直接法
注：常用的结论：设 f (x) (x) x  a , 其 ( x) 在 x  a 处连
续,则 f ( x) 在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0.【例4】(2020年1）设函数 f ( x) 在区间 (1,1) 内有定义,且 lim f ( x)  0, 则
x0
f ( x)
（A）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导；
x0 x
f ( x)
（B）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导；
2
x0 x
f ( x)
（C）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0 ；
x0 x
f ( x)
（D）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0.
2
x0 x
【解】【例】(2024年1）设函数 f (x) 在区间 (1,1) 上有定义，且 lim f (x)  0, 则（ ）
x0
f (x)
（A）当 时，
lim  m f  (0)  m.
x0 x
mx, x  0,
f (x)
（B）当 f  (0)  m 时， lim  m. f (x)  
 1, x  0.
x0 x
（C）当 lim f  (x)  m 时， f  (0)  m.
x0
（D）当 f  (0)  m 时， lim f  (x)  m.
x0
 1
 mx  x 2 sin , x  0,
f (x)  
x
  0, x  0.f (x)  a sin f (x)  sin a
【例5】(2020年3）设 lim  b, 则 lim  ( )
xa x  a xa x  a
A. B. C. D.
bsin a bcosa bsin f (a) bcos f (a)
sin f (x)  sin a sin f (x)  sin a f (x)  a
【解1】直接法
lim  lim   bcos a 经典错误
xa x  a xa f (x)  a x  a
 f (x), x  a,
令 f (x)  a F(x)  F(a)
F(x)   b  lim  lim  F  (a)
 a, x  a. xa x  a xa x  a
sin f (x)  sin a sin F(x)  sin F(a)
lim  lim  [sin F(x)]   cos F(a) F  (a)  bcos a
xa x  a xa x  a xa
sin f (x)  sin a cos[ f (x)  a]
【解2】直接法 lim  lim  bcos a
xa x  a xa x  af (x)  a sin f (x)  sin a
【例5】(2020年3）设 lim  b, 则 lim  ( )
xa x  a xa x  a
A. B. C. D.
bsin a bcosa bsin f (a) bcos f (a)
f (x)  a f (x)  a
2sin cos
sin f (x)  sin a
2 2
【解3】直接法 lim  lim  bcos a
xa x  a xa x  a
f (x)  a
【解4】排除法 lim  b 与 f (a) 无关，排除 C,D.
xa x  a
f (x)  a  b(x  a)
f (x)  x
a  0,b  1