(3.2)-线代基础精讲简版答案_08.2026考研数学高途王喆全程班_26考研数学（一、三）优学领航全程班_{2}--资料_{3}-基础精讲简版答案

第一章 行列式
第1节 n 阶行列式的定义
例1.1.1
答案：8
详细讲解—见线代1 n阶行列式及其定义
例1.1.2
n(n−1)
答案：
2
详细讲解—见线代1 n阶行列式及其定义
例1.1.3
答案：a a a −a a a +a a a −a a a +a a a −a a a
11 22 33 11 23 33 12 23 31 12 21 33 13 21 32 13 22 31
详细讲解—见线代1 n阶行列式及其定义
例1.1.4
答案：k =1;i=5;该项符号为正。
详细讲解—见线代1 n阶行列式及其定义
例1.1.5
答案：x4系数为6，x3系数为−4。
详细讲解—见线代1 n阶行列式及其定义
例1.1.6
答案：−8
详细讲解—见线代1 n阶行列式及其定义
例1.1.7
答案：240
详细讲解—见线代1 n阶行列式及其定义
第2节 行列式的性质
例1.2.1
答案：−7
详细讲解—见线代2 行列式的性质
例1.2.2
答案：−3详细讲解—见线代2 行列式的性质
例1.2.3
答案：D
详细讲解—见线代2 行列式的性质
例1.2.4
答案：A
详细讲解—见线代2 行列式的性质
第3 节 行列式按行按列展开
例1.3.1
答案：−16
详细讲解—见线代3 行列式的展开定理
例1.3.2
答案：150
详细讲解—见线代3 行列式的展开定理
例1.3.3
答案：A
详细讲解—见线代3 行列式的展开定理
例1.3.4
答案：0
详细讲解—见线代3 行列式的展开定理
例1.3.5
答案：B
详细讲解—见线代3 行列式的展开定理
第4节 行列式的计算
例1.4.1
答案：38
详细讲解—见线代4 行列式的计算
例1.4.2
答案：12
详细讲解—见线代4 行列式的计算
例1.4.3 b b b b 
答案：a − 1 b− 1 b− 1 b− 1 ba a a a
 1 a a a a  2 3 4 5
2 3 4 5
详细讲解—见线代4 行列式的计算
例1.4.4
答案： x+(n−1)a

⋅(x−a)n−1
详细讲解—见线代4 行列式的计算
例1.4.5
答案：a xn +a xn−1+a xn−2 +a xn−3 ++a x2 +a x+a
n n−1 n−2 n−3 2 1 0
详细讲解—见线代4 行列式的计算
例1.4.6
 a a a 
答案：1+ 1 + 2 ++ n bb b
 b b b  1 2 n
1 2 n
详细讲解—见线代4 行列式的计算
例1.4.7
答案：证明略
详细讲解—见线代4 行列式的计算
第5 节 克莱姆法则
例1.5.1
答案：D =10,D =−15,D =20,D =−25
1 2 3 4
详细讲解—见线代5 克莱姆法则
例1.5.2
答案：D
详细讲解—见线代5 克莱姆法则
例1.5.3
答案：当D≠0即λ≠1时，方程组有唯一解。
详细讲解—见线代5 克莱姆法则第二章 矩阵
第1 节 矩阵及其计算1
例2.1.1
 2 2 2 
答案： 
−1 −1 −2
详细讲解—见线代6 矩阵及其计算1
例2.1.2
答案：D
详细讲解—见线代6 矩阵及其计算1
例2.1.3
−1 1 3 
13 −1  
答案：AB= ,BA=

8 −3 6

0 −5
 
 4 0 12
详细讲解—见线代6 矩阵及其计算1
例2.1.4
−6 −32
答案：AB= ,BA=0
8 16 
详细讲解—见线代6 矩阵及其计算1
第2 节 矩阵及其计算2
例2.2.5
1 n
答案： 
0 1
详细讲解—见线代7 矩阵及其计算2
例2.2.6
λn 
 1 
λn
 
答案：An = 2
 

 
 

λn

n
详细讲解—见线代7 矩阵及其计算2
例2.2.7 1 2 3 
(−2)99 2⋅(−2)99 3⋅(−2)99
答案：ATB=   0 0 0   , ( ATB )100 =  0 0 0  
   
−1 −2 −3

299 2100 3⋅299

详细讲解—见线代7 矩阵及其计算2
例2.2.8
答案：证明略
详细讲解—见线代7 矩阵及其计算2
例2.2.9
答案：−54
详细讲解—见线代7 矩阵及其计算2
第3 节 矩阵的逆1
例2.3.1
1 2 1
 
答案：A* = 0 2 2
 
 
1 0 1
详细讲解—见线代8 矩阵的逆1
例2.3.2
答案：A−1 = A2 −A+E
详细讲解—见线代8 矩阵的逆1
例2.3.3
1/2 1 1/2
 
答案：A−1 = 0 1 1
 
 
1/2 0 1/2
详细讲解—见线代8 矩阵的逆1
第4 节 矩阵的逆2
例2.4.4
答案：B
详细讲解—见线代9 矩阵的逆2
例2.4.5
答案：C
详细讲解—见线代9 矩阵的逆2例2.4.6
答案：A
详细讲解—见线代9 矩阵的逆2
例2.4.7
−2 −6 0 
答案：
( A−1)*
=

−4 −10 0

 
 
−2 2 −4
详细讲解—见线代9 矩阵的逆2
第5 节 分块矩阵
例2.5.1
答案：2
详细讲解—见线代10 分块矩阵
例2.5.2
1/3 0 0 
 
答案：A−1 = 0 1 −1
 
 
 0 −2 3 
详细讲解—见线代10 分块矩阵
例2.5.3
答案：−6
详细讲解—见线代10 分块矩阵
例2.5.4
 B−1 0 
答案：A−1 = 
−D−1CB−1 D−1

详细讲解—见线代10 分块矩阵
例2.5.5
答案：(aa −bb )⋅(a a −bb )
1 4 1 4 2 3 2 3
详细讲解—见线代10 分块矩阵
第6 节 初等变换与初等矩阵1
例2.6.11 0 1 1
 
答案： 0 1 1/2 1
 
 
0 0 0 0
详细讲解—见线代11 初等变换与初等矩阵
第7 节 初等变换与初等矩阵2
例2.7.2
答案：过程略，详见例2.7.2
详细讲解—见线代12 初等变换与初等矩阵
例2.7.3
答案：C
详细讲解—见线代12 初等变换与初等矩阵
例2.7.4
答案：B
详细讲解—见线代12 初等变换与初等矩阵
例2.7.5
 −2 1 0 
 
答案：A−1 = −13/2 3 −1/2
 
 
 −16 7 −1 
详细讲解—见线代12 初等变换与初等矩阵
例2.7.6
1 2 5 
 
答案：X = A−1B= 2 −9 −8
 
 
0 −4 −6
详细讲解—见线代12 初等变换与初等矩阵
第8 节 矩阵的秩1
例2.8.1
答案：r(A)=2
详细讲解—见线代13 矩阵的秩1
例2.8.2
答案：r(A)=3详细讲解—见线代13 矩阵的秩1
例2.8.3
答案：λ=5;µ=1
详细讲解—见线代13 矩阵的秩1
第9 节 矩阵的秩2
例2.9.4
答案：证明略
详细讲解—见线代14 矩阵的秩2
例2.9.5
答案：R(A)=R(B)=m
详细讲解—见线代14 矩阵的秩2
例2.9.6
答案：证明略
详细讲解—见线代14 矩阵的秩2
例2.9.7
答案：R(AB)=2
详细讲解—见线代14 矩阵的秩2
例2.9.8
(1)有唯一解时⇔r(A)=r(A|β)=4⇔a为任意值，b≠-52；
答案：(2)无解时⇔r(A)< r(A|β)⇔a≠-1且b=-52;
(3)有无穷多解时⇔r(A)=r(A|β)<4⇔a=-1且b=-52；
详细讲解—见线代14 矩阵的秩2第三章 向量
第1节 向量及其运算
【本节无例题】
详细讲解—见线代15 向量及其运算
第2 节 向量的线性相关与线性表示
例3.2.1
α,α,α无关⇔|ααα |≠0⇔t ≠5；
答案： 1 2 3 1 2 3
α,α,α相关⇔|ααα |=0⇔t=5
1 2 3 1 2 3
详细讲解—见线代16 向量的线性相关与线性无关
例3.2.2
答案：证明略
详细讲解—见线代16 向量的线性相关与线性无关
例3.2.3
答案：−1
详细讲解—见线代16 向量的线性相关与线性无关
例3.2.4
答案：C
详细讲解—见线代16 向量的线性相关与线性无关
第3 节 向量的线性表示法与向量组的等价 1
例3.3.1
答案：β可由α,α,α线性表示
1 2 3
详细讲解—见线代17 向量的线性表示法与向量组的等价1
例3.3.2
答案：
（1）β可由向量组A 线性表出且表法唯一⇔r(ααα)=r(ααα |β)=3⇔a≠0且a≠b;
1 2 3 1 2 3
（2）β不能由向量组A 线性表出⇔r(ααα)<r(ααα |β)⇔a=0且a≠b;
1 2 3 1 2 3
（3）β可由向量组A 线性表出且表法不唯一⇔r(ααα)=r(ααα |β)<3⇔a=b且a≠0;
1 2 3 1 2 3
详细讲解—见线代17 向量的线性表示法与向量组的等价1
第4 节 向量的线性表示法与向量组的等价 2例3.4.3
答案：a=1
详细讲解—见线代18 向量的线性表示法与向量组的等价2
例3.4.4
答案：证明略
详细讲解—见线代18 向量的线性表示法与向量组的等价2
例3.4.5
答案：B
详细讲解—见线代18 向量的线性表示法与向量组的等价2
第5 节 向量的秩与最大线性无关组 1
例3.5.1
答案：C
详细讲解—见线代19 向量组的秩与极大线性无关组1
例3.5.2
答案：D
详细讲解—见线代19 向量组的秩与极大线性无关组1
第6 节 向量的秩与最大线性无关组 2
例3.6.3
（1）当c=2时，r(αααα)=3，α,α,α即为 T 的一个最大无关组；
1 2 3 4 1 2 3
答案：
（2）当c≠2时，r(αααα)=4，α,α,α,α即为 T 的一个最大无关组。
1 2 3 4 1 2 3 4
详细讲解—见线代20 向量组的秩与极大线性无关组2
例3.6.4
（1）r(A)=2=r(αααα)，α,α即为 A 的一个最大无关组；
1 2 3 4 1 2
答案： 1 5
（2）α =− α − α；α =2α −α
3 2 1 2 2 4 1 2
详细讲解—见线代20 向量组的秩与极大线性无关组2
第7 节 向量空间的基与维数（仅数一）例3.7.1
9
答案：t =−
4
详细讲解—见线代21 向量空间（仅数一）
例3.7.2
x   1 
1
   
答案： x = 1/2
 2  
   
x  −1/2
3
详细讲解—见线代21 向量空间（仅数一）
例3.7.3
 1 −4 2 1 
 
−2 10 5 −2
 
(1)C =
答案：  0 0 4 −1
 
 0 0 −10 3 
(2)β=−8α +21α +4α −10α
1 2 3 4
详细讲解—见线代21 向量空间（仅数一）第四章 线性方程组
第1 节 齐次线性方程组的求解
例4.1.1
−1 −1
   
1 0
   
答案：ξ = 0 ,ξ =−1,通解为kξ+kξ,k ,k ∈R。
1   2   1 1 2 2 1 2
 0   0 
   
 0   1 
详细讲解—见线代22 齐次线性方程组的求解
例4.1.2
 2   2 
   
1 1
   
答案：ξ=−1,通解为 k−1,k∈R。
   
 2   2 
   
 1   1 
详细讲解—见线代22 齐次线性方程组的求解
第2 节 非齐次线性方程组解集的结构
例4.2.1
−2 −2 −6  6 
       
1 1 5 −4
       
答案：ξ = 1 ,ξ = 0 ,ξ = 0 ,η= 0 ,通解为kξ+kξ +kξ +η,kk k ∈R。
1   2   3     1 1 2 2 3 3 1 2 3
 0   1   0   0 
       
 0   0   1   0 
详细讲解—见线代23 非齐次线性方程组的求解
例4.2.2
−2  1  0
     
1 −2 1
答案：ξ =   ,ξ =   ,η=  ,通解为kξ+kξ +η,kk ∈R。
1  1  2  0  0 1 1 2 2 1 2
     
 0   1  0
详细讲解—见线代23 非齐次线性方程组的求解例4.2.3
(1)|A|=1−a4
1  0  1  0 
       
答案： 1 −1 1 −1
(2)ξ=
 
,η=
 ,通解为k  
+
 
,k∈R
1  0  1  0 
       
1  0  1  0 
详细讲解—见线代23 非齐次线性方程组的求解
例4.2.4
答案：C
详细讲解—见线代23 非齐次线性方程组的求解第五章 矩阵的特征值与特征向量
第1 节 矩阵的特征值与特征向量 1
例5.1.1
−1
 
当λ=λ =1时，α = −2 ，kα（k ≠0）为λ=λ =1的全体特征向量；
1 2 1   1 1 1 1 2
 
 1 
答案：
0
 
当λ =2时，α = 0 ，kα（k ≠0）为λ =2的全体特征向量.
3 2   2 2 2 3
 
1
详细讲解—见线代24 特征值与特征向量的概念与性质1
例5.1.2
答案：
1
 
α = 0 ，λ=−1的全体特征向量为kα（k ≠0）；
1   1 1 1 1
 
1
1/4 1/4
   
α = 1 ，α = 0 ，kα+kα（k k 不全为0）是λ =λ =2的全体特征向量。
2   3   2 2 3 3 2 3 2 3
   
 0   1 
详细讲解—见线代24 特征值与特征向量的概念与性质1
第2 节 矩阵的特征值与特征向量 2
例5.2.3
答案：51
详细讲解—见线代25 特征值与特征向量的概念与性质2
例5.2.4
答案：B
详细讲解—见线代25 特征值与特征向量的概念与性质2
例5.2.5
特征值：2、3、6
答案：343
6
详细讲解—见线代25 特征值与特征向量的概念与性质2
例5.2.6答案：AC
详细讲解—见线代25 特征值与特征向量的概念与性质2
第3 节 矩阵的相似对角化1
例5.3.1
答案：证明略
详细讲解—见线代26 矩阵的相似对角化1
例5.3.2
答案：B
详细讲解—见线代26 矩阵的相似对角化1
例5.3.3
BT =5
答案：
( ATB )−1 = 1
25
详细讲解—见线代26 矩阵的相似对角化1
例5.3.4
答案：x=0,y=−2
详细讲解—见线代26 矩阵的相似对角化1
第 4 节 矩阵的相似对角化 2
例5.4.5
 1 1 1  −1 
   
答案：可相似对角化，P= −1 −2 −3 ，Λ= −2
   
   
 1 4 9   −3
详细讲解—见线代27 矩阵的相似对角化2
例5.4.6
λ =λ =2仅有一个无关特征向量，
答案： 2 3
则A不可相似对角化
详细讲解—见线代27 矩阵的相似对角化2
例5.4.7
−1 1 1  2 
   
答案：P= 1 0 −2 ，Λ= 2
   
   
 0 1 3   6详细讲解—见线代27 矩阵的相似对角化2
例5.4.8
0 10 0 3−3⋅2100 +3100 −2/5+2102 −3101/2 1/2−2100 +3100 /2
   
答案：A=

0 0 1

，A100 = 3−3⋅2101+3101 −2/5+2103 −3102 /2 1/2−2101+3101/2
 6 −11 6     3−3⋅2102 +3102 −2/5+2104 −3103 /2 1/2−2102 +3102 /2  
详细讲解—见线代27 矩阵的相似对角化2
第5 节 实对称阵的正交相似对角化 1
例5.5.1
答案：C
详细讲解—见线代28 实对称阵的正交相似对角化1
例5.5.2
答案：C
详细讲解—见线代28 实对称阵的正交相似对角化1
例5.5.3
 1 
−
 
3
 
 1 
答案： − 
3
 
 1 
 
 3 
详细讲解—见线代28 实对称阵的正交相似对角化1
第6 节 实对称阵的正交相似对角化 2
例5.6.4
 1 1 1 
− −
 
2 6 3
  −1 
 1 1   
答案：P= 0 −  ，Λ=  −1 
 6 3   
 5
 1 2 1 
 
 2 6 3
详细讲解—见线代29 实对称阵的正交相似对角化2
例5.6.51 0 2 
 
答案：A= 0 1 2
 
 
2 2 −1
详细讲解—见线代29 实对称阵的正交相似对角化2第六章 二次型
第1节 二次型的概念
例6.1.1
 1 2/5 9/2
 
答案：A= 2/5 2 7/2
 
 
9/2 7/2 3 
详细讲解—见线代30 二次型的概念
例6.1.2
1 1 3 
 
答案：B= 1 1 −2
 
 
3 −2 2 
详细讲解—见线代30 二次型的概念
例6.1.3
答案： f(x ,x ,x )=−x2 + 2x 2 +2x x −x x
1 2 3 1 3 1 2 2 3
详细讲解—见线代30 二次型的概念
第2 节 二次型的标准化与规范化1
例6.2.1
5
答案： f =2y2 +3y 2 + y 2
1 2 3 3
详细讲解—见线代31 二次型的标准化与规范化1
例6.2.2
f =z2 −z 2，其中
1 2
z = y + y
答案： 1 1 3
z = y + y
2 1 3
z = y .
3 3
详细讲解—见线代31 二次型的标准化与规范化1
例6.2.3
答案： f = y2 + y 2 +10y 2
1 2 3
详细讲解—见线代31 二次型的标准化与规范化1例6.2.4
(1)c=3
答案：
(2)f =4y2 +9y 2
1 2
详细讲解—见线代31 二次型的标准化与规范化1
第3 节 二次型的标准化与规范化 2
例6.3.5
f =z2 +z 2 +z 2，其中
1 2 3
z = 2(x +x −x )
1 1 2 3
答案：z = y + y
2 1 3
5
z = y
3 3 3
x=Cz
详细讲解—见线代32 二次型的标准化与规范化2
例6.3.6
答案：B
详细讲解—见线代32 二次型的标准化与规范化2
第4 节 正定二次型
例6.4.1
答案：−2<λ<1
详细讲解—见线代33 二次型的正定
例6.4.2
答案：证明略
详细讲解—见线代33 二次型的正定
例6.4.3
答案：证明略
详细讲解—见线代33 二次型的正定