文档文本内容
北京市昌平区双城融合学区（第三组）02023-2024学年八年级上学期期中质量抽
测数学试卷
阅卷人
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选
项，符合题意的选项只有一个.
得分
3
1．若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
x−1
A．x＝0 B．x＝1 C．x≠0 D．x≠1
2．-8的立方根是（ ）
A．-2 B．2 C．±2 D．4
x+ y
3．若把分式 中x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
xy
1
A．不变 B．缩小为原来的
3
1
C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的
9
4．下列等式成立的是（ ）
y−x a−m m x8 x2+ y2
A． =−1 B． = C． ❑=x4 D． =x+ y
x−y a−n n x2 ❑ x+ y
❑
2
5．若 表示一个整数，则整数x可取的值的个数是 （ ）
x−1
A．3 B．4 C．5 D．6
F L
6．已知杠杆平衡条件公式
1= 2
，其中F1，F2，L1，L2均不为零，用含F1，F2，L2的代数式表示L1
F L
2 1
正确的是（ ）
F F L F L F
A．L = 1 2 B．L = 2 C．L = 2 2 D．L = 1
1 L 1 F F 1 F 1 F L
2 1 2 1 2 2
7．如图所示，下列选项中，被污渍覆盖住的无理数可能是（ ）
A．−√3 B．√5 C．√11 D．√17
1 / 151 1 1
8．若x❑=a+1（a不取0和－1），x❑= ，x❑= ，…，x❑= ，则x❑ =（ ）
1 2 1−x❑ 3 1−x❑ n 1−x❑ 2023
1 2 n−1
a 1
A．a+1 B． C．− D．a
a+1 a
阅卷人
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
得分
9． 如果二次根式√x−8有意义，则x的取值范围是 .
x+2
10．要使分式 的值为0，则x的值是 ．
x−3
11．计算：√16= ；±√121= .
2x2 y
12．计算： ❑⋅ = .
y 4x
x
13．计算：( ) 2 = .
3 y ❑
14．已知n为整数，且n<√5<n+1，则n的值为 .
15．如果y=√2−x+√x−2+7，则yx的值为 .
❑
16．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简√b2 +√(a−b) 2 = .
❑ ❑
阅卷人
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，
每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）
得分
5 y 10 y
17．计算： ÷ .
3x 21x2
❑
a2 b2
18．计算： + .
a−b b−a
2a 1
19．计算： − ．
a2−4 a−2
a−b 2 b
20．计算：( ) ⋅ .
b a2−b2
x2−1 1
21．计算： ÷(1− ).
x+2 x+2
x x3−x
22．如果 x2+x−3=0 ，求代数式 ( −1)÷ 的值.
x−1 x2−2x+1
2 / 153 1
23．解方程： = .
x−1 x+1
6 x+5
24．解方程： − =0 .
x−1 x2−x
25．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”.某公司积极
响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价
的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆.求每辆B型汽车
进价是多少万元？
26．已知3a+1的平方根是±4，2a+b−5的算术平方根是3.
（1）求a，b的值；
（2）求5b+a+2的立方根.
27．阅读理解，并回答问题.
阅读材料1：
∵4<5<9，∴√4<√5<√9，即2<√5<3.
∴√5的整数部分为2，小数部分为√5−2.
阅读材料2：
对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若a−b>0，则a>b；若a−b=0，则a=b；若a−b<0，
则a<b.我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法.
√2 1 √2 1 √2−1
例如：比较 与 的大小时，可以计算 − ，得 ，
2 2 2 2 2
√2−1 √2 1
∵√2−1＞0，∴ ＞0.∴ ＞ .
2 2 2
（1）请表示出√19的整数部分和小数部分；
√19−4 1
（2）试判断 与 的大小，并说明理由.
5 5
N
28．在分式 中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b(当N为常数时，b=0)，则称
M
N 1 x+1 x3
分式 为a−b次分式．例如， ， ， 均为四次分式.
M x4 x5−2x x7
1 x+1 4x2
（1）在下列分式 ， ， 中，是字母x的三次分式的有 ；
x3 x4 x3−2
mx+2 nx+3
（2）已知，A= ，B= (其中m，n为常数).
x−3 x2−9
3 / 15①若m=0，n=−4，则A+B，A⋅B，A2中，化简后是二次分式的为 ▲ ；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求3m−n的值.
4 / 15答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
3
【解析】【解答】∵ 若分式 有意义 ∴ x-1≠0 即x≠0分式有意义。
x−1
故选：D.
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，所以x-1≠0 解答即可。
2．【答案】A
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】（-2）3=-8，所以-8的立方根是-2
【分析】负数有一个负的立方根。根据立方与开立方的互逆关系求解。
3．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
x+ y 3x+3 y 1 x+ y
【解析】【解答】 把分式 中x，y都扩大3倍 后，原式= ＝ · ，约分后缩小为原来的
xy 3x·3 y 3 xy
1
。
3
故选：D.
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，即
可解答。
4．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
y−x −(x−y)
【解析】【解答】A . = ＝-1 ，故 A 正确。
x−y x−y
a−m m
B. ≠ ，故 B错误。
a−n n
x8
C.
=x6
故 C错误。
x2
X2+Y2
D. ≠X+Y 故 D错误。
X+Y
故选：A。
5 / 15【分析】根据分式的基本性质即可求出答案。
5．【答案】B
【知识点】分式的值；自然数及整数的概念
2
【解析】【解答】∵ 表示一个整数 ，∴ x-1=-1 ，-2 ，2 ， 1 ，解得： x=-1 ，0 ，2 ， 3
x−1
则整数x的值共有4个 。 故选：B。
【分析】由原式为整数，x为整数，确定出x可取的值的个数即可。
6．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
F L F L
【解析】【解答】∵ 1 = 2 ∴ F×L=F×L ∴L = 2 2 ，故选：C 。
F L 1 1 2 2 ， 1 F
2 1 1
F L
1 2
【分析】根据 ＝ 即可得到 F×L=F×L ，即可用 F ，F，L 的代数式表示L。
F L 1 1 2 2 1 2 2 1
2 1
7．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】设被污渍覆盖住的无理数为x，由图可知：3﹤x﹤4 。
∵ -2﹤−√3﹤-1 ，2﹤ √5﹤3， 3﹤√11﹤4，4﹤√17﹤5
∴ 被污渍覆盖住的无理数为√11。
故选：C .
【分析】设被污渍覆盖住的无理数为x，由图可知被污渍遮住的无理数在3和4之间，估算出无理数
−√3 ，√11，√5√17的范围，进而解决此题。
8．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】
1 a 1
1 1 = =a+1
由题可知：x= =− ， x= 1 a+1，x= a
2 1−(a+1) a 3 1−(− ) 4 1−
a a+1
1 a
… 由此可见，这一列代数式按a+1 ，− ， 循环出现，且2023÷3=674余1，所x =a+1
a a+1 2023
故选：A .
【分析】依次求出x ， x ，x… 根据发现的规律即可解决问题。
1 2 3
6 / 159．【答案】x≥8
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ x-8≥0 ，∴x≥8 ，故答案为：x≥8.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案。
10．【答案】x=−2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】∵ 要使分式的值为0 ∴ x-3≠0 ，x+2=0 ，∴x=-2 ，故答案为：-2 。
【分析】根据分式值为零的条件可得，x+2=0且x-3≠0，即可解答。
11．【答案】4；±11
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】√16＝√42＝4 ，±√121＝±√112= ±11 ，故答案为：4 ，±11 。
【分析】根据平方根，算术平方根的定义进行计算即可。
x
12．【答案】
2
【知识点】分式的乘除法
2x2 y 2x2y x
【解析】【解答】解：原式= × = = .
y 4x 4xy 2
【分析】 分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
x2 ❑
13．【答案】 ❑
9 y2
❑❑
【知识点】分式的乘除法
x2 ❑
【解析】【解答】解：原式= ❑
9 y2
❑❑
【分析】根据分式的乘除法法则，分式分子分母分别乘方计算即可得到结果。
14．【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵4＜5＜9 ，∴2＜√5＜3 ， ∵ n为整数，且n＜√5＜n+1， n=2 .故答案为：2 。
【分析】根据完全平方数进行计算，即可解答。
15．【答案】49
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵2-x≥0 x-2≥0 ∴x=2 则 y=7 ∴ yx =49 故答案为：49 。
【分析】根据二次根式的非负性，2-x≥0 x-2≥0 ，求出y=7，即可解答。
7 / 1516．【答案】2b−a
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】由数轴图示可知：a＜0 ＜b ，a-b=0 ，∴√b2＋√(a−b) 2=b+b-a=2b-a .
故答案为：2b-a
【分析】根据数轴上a，b的范围进行化简即可。
5 y 21x2
17．【答案】解：原式= ⋅ ❑
3x 10 y
7x
=
2
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】根据分式的除法进行计算即可。
a2 b2
18．【答案】解：原式= ❑ − ❑
a−b a−b
a2 −b2
= ❑ ❑
a−b
（a+b)(a−b)
=
a−b
=a+b
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】 原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
2a 1
19．【答案】解：原式＝ −
(a+2)(a−2) a−2
2a a+2
＝ −
(a+2)(a−2) (a+2)(a−2)
2a−(a+2)
＝
(a+2)(a−2)
a−2
＝
(a+2)(a−2)
1
＝ ．
a+2
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】先通分变成同分母的分式，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
(a−b) 2 b
20．【答案】解：原式= ×
b2 (a+b)(a−b)
8 / 15a−b
=
b(a+b)
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】先因式分解，然后约分，按照分式的乘除法计算法则计算即可。
x2−1 x+2 1
21．【答案】解：原式= ÷( − )
x+2 x+2 x+2
x2−1 x+1
= ÷
x+2 x+2
(x+1)(x−1) x+2
= ⋅
x+2 x+1
=x−1
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先进行括号内的通分，再根据分式的混合运算的法则进行计算即可。
x x3−x
22．【答案】解： ( −1)÷ ，
x−1 x2−2x+1
x−x+1 x(x+1)(x−1)
= ( )÷
x−1 (x−1) 2
1 (x−1)
= ( )⋅
x−1 x(x+1)
1
=
x(x+1)
1
=
x2+x
当 x2+x−3=0 ，即 x2+x=3 时，
1
原式= .
3
【知识点】分式的混合运算；一元二次方程的其他应用
1
【解析】【分析】先根据分式的混合运算得到 ，再把 x2+x−3=0 变形为 x2+x=3 ，再代入到
x2+x
化简结果中计算即可.
23．【答案】解：去分母，得 3(x+1)=x−1
去括号，得： 3x+3=x−1
合并同类项，得：2x=−4
移项，系数化为1，得：x=−2
经检验，x=−2是原方程的解.
9 / 15所以原方程的解是x=−2．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】 按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
6 x+5
24．【答案】解： − =0 ，
x−1 x2−x
6 x+5
方程两边同时乘以 x(x−1) ，得 ·x(x−1)− ·x(x−1)=0·x(x−1)
x−1 x2−x
∴6x−(x+5)=0
∴6x−x−5=0
5x=5 ，
x=1 ，
检验：当 x=1 时， x(x−1)=0 ，原方程中的分式无意义.
∴原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】把分式方程去分母变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可．
25．【答案】解：设每辆B型汽车进价是x万元，那么每辆A型汽车进价是1.5x万元.
1200 1500
根据题意，得 − =20
x 1.5x
解这个方程，得 x=10.
经检验，x=10是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.
答：每辆B型汽车进价是10万元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设每辆B型汽车进价是x万元，那么每辆A型汽车进价是1.5x万元 ，利用数量=总价
÷单价 ， 结合用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆 ，可列出关于
x的分式方程，解之检验后，即可得出结论。
26．【答案】（1）解：∵3a+1的平方根是±4，2a+b−5的算术平方根是3.
∴3a+1=16，2a+b−5=9.
∴a=5，b=4.
（2）解：5b+a+2=5×4+5+2，
=27
27的立方根是3，所以5b+a+2的立方根是3.
【知识点】平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据平方根、算术平方根的定义得出3a+1=16 ，2a+b-5=9，进而求出a、b的值。
（2）求出5b+a+2的值，再根据立方根的定义进行计算即可。
10 / 1527．【答案】（1）解：∵16<19<25，∴√16<√19<√25，即4<√19<5.
∴√19的整数部分为4，小数部分为√19−4.
√19−4 1
（2）解： < ，
5 5
√19−4 1 √19−5
理由如下：∵ − = <0，
5 5 5
√19−4 1
∴ <
5 5
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值；数学思想
【解析】【分析】（1）按照材料一的解题思路进行计算，即可解答。
（2）按照材料二的解题思路进行计算，即可解答。
1 x+1
28．【答案】（1） ，
x3 x4
（2）解：①A·B，A2
mx+2 nx+3 mx+2 nx+3
②∵A= ，B= ∴A+B= +
x−3 x2−9 x−3 x2−9
∵A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，所以n=1，
mx+2 1 mx+3
∴A+B= ＋ ＝
x−3 x−3 x−3
∴m=0 ，3m-n=0-1=-1
由 ①知m=0，n=−4时也符合条件，此时 3m−n=0-（-4）=4，
综上，3m-n的值为-1或4。
【知识点】分式的混合运算；有理数的乘方法则；定义新运算
1
【解析】【解答】（1） 分母的次数为3，分子的次数为0，故为三次分式 ； ，
x3
x+1
中 分母的次数为4，分子的次数为1，故为三次分式；
x4
4x2
中 分母的次数为3，分子的次数为2，故不是三次分式；
x3−2
1 x+1
故答案为： ，
x3 x4
（2）
11 / 152 −4x+3 2 −4x+3 −2x+9
①m=0 n=−4代入，则A= B= ∴A+B= ＋ = ∴分母的次数为2，分子的
， x−3 x2−9 x−3 x2−9 x2−9
次数为1，故A+B一次分式；
2 −4x+3 −8x+6
A⋅B= · = 分母的次数为3，分子的次数为1，故A⋅B二次分式；
x−3 x2−9 x3−3x2−9x+27
2 4
A2=（ ）2＝ 分母的次数为2，分子的次数为0，故A2二次分式
x−3 x2−6x+9
故答案为： A·B，A2
【分析】（1）根据材料中的新定义求解。
（2）① 把m=0 n=−4代入， 可计算A和B的值 ，分别代入A+B，A⋅B，A2中计算，根据新定义判断
，
是否是二次分式 。
②计算A+B，并根据一次分式的定义，可得m和n的值，代入3m-n中计算求值即可。
12 / 15试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：100分
客观题（占比） 20.0(20.0%)
分值分布
主观题（占比） 80.0(80.0%)
客观题（占比） 10(35.7%)
题量分布
主观题（占比） 18(64.3%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题（共8道小
题，每小题2分，共 8(28.6%) 16.0(16.0%)
16分）
解答题（本题共12
道小题，第17-22
题，每小题5分，第
23-26题，每小题6 12(42.9%) 68.0(68.0%)
分，第27、28题，
每小题7分，共68
分）
选择题（共8道小
题，每小题2分，共
16分）第1-8题均 8(28.6%) 16.0(16.0%)
有四个选项，符合题
意的选项只有一个.
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (25.0%)
2 容易 (71.4%)
3 困难 (3.6%)
4、试卷知识点分析
13 / 15序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 分式有意义的条件 2.0(2.0%) 1
2 立方根及开立方 2.0(2.0%) 2
3 分式的加减法 10.0(10.0%) 18,19
4 分式的乘除法 14.0(14.0%) 12,13,17,20
5 二次根式有意义的条件 4.0(4.0%) 9,15
6 有理数在数轴上的表示 2.0(2.0%) 16
7 定义新运算 7.0(7.0%) 28
8 解分式方程 12.0(12.0%) 23,24
9 数学思想 7.0(7.0%) 27
10 无理数的估值 11.0(11.0%) 7,14,27
11 探索数与式的规律 2.0(2.0%) 8
12 平方根的概念与表示 6.0(6.0%) 26
13 算术平方根的概念与表示 6.0(6.0%) 26
14 二次根式的性质与化简 2.0(2.0%) 16
15 无理数的大小比较 7.0(7.0%) 27
16 分式方程的实际应用 6.0(6.0%) 25
17 分式的基本性质 6.0(6.0%) 3,4,6
18 分式的混合运算 17.0(17.0%) 21,22,28
19 求算术平方根 2.0(2.0%) 11
20 一元二次方程的其他应用 5.0(5.0%) 22
14 / 1521 自然数及整数的概念 2.0(2.0%) 5
22 有理数的乘方法则 7.0(7.0%) 28
23 分式的值为零的条件 2.0(2.0%) 10
24 开立方（求立方根） 6.0(6.0%) 26
25 分式的值 2.0(2.0%) 5
26 开平方（求平方根） 2.0(2.0%) 11
15 / 15
