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房山区 2023-2024 学年度第二学期学业水平调研（一）
八年级数学
本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，
在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 在平面直角坐标系 中，点 所在象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了点的坐标，解答本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，
第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．根据各象限内点的坐标特点即可得出结论．
【详解】解：∵点 的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴点P在平面直角坐标系的第四象限．
故选：D．
2. 如图， 中，E是 延长线上的一点，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到 ，再由平行线的
性质即可得到答案．
【详解】解： 中， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故选：D
3. 已知点 在函数 的图象上，则k的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据图象上的点的坐标满足函数解析式进行解答即可．
【详解】解：∵点 在函数 的图象上，
∴ ，
解得 ，
故选：A
4. 若一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形的边数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：因为多边形的内角和公式为 ，
所以， ，
解得， ，
所以这个多边形的边数是6．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学
生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，
推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．
5. 下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB=CD，AD=BC ②AB=CD，AB CD
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学科网（北京）股份有限公司③AB=CD，AD BC ④AB CD，AD BC
A. ②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理依次判断即可得出结果．
【详解】解：①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
③不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
∴①②④正确，
故选：B．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
6. 在平面直角坐标系 中，点 关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称点的规律，横坐标相同，纵坐
标互为相反数，解答即可．
【详解】解：点 关于x轴对称的点的坐标是 ，
故选：A．
7. 在下列四个函数图象中，y的值随x的值增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据函数与函数的增减性对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、y的值随x的值增大而增大，故本选项错误；
B、y的值随x的值增大而增大，故本选项错误；
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学科网（北京）股份有限公司C、y的值随x的值增大而减小，故本选项正确；
D、对称轴左边，y的值随x的值增大而减小，对称轴右边，y的值随x的值增大而增大，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解函
数的增减性的定义是解题的关键．
8. 一个一次函数 的图象经过点 ，且和x轴交于点B，如果该函数图象与坐标轴围成的三角形
的面积为6，那么该一次函数的表达式为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积公式，有一定的综合性，注意点的坐标和
线段长度的转化．先求出一次函数 与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到
关于k的方程，解方程即可求出k，即可得到答案．
【详解】解：设一次函数 图象过点 ，
∴ ，
∴
令 ，则 ，
∴一次函数 与x轴交点为 ，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
解得： ，
则函数的解析式是 或 .
故选：C．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 函数 中，自变量x的取值范围是_________
【答案】 ≠1 的一切实数
【解析】
【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为x≠1．
【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能
为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10. 已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，且点P位于第二象限，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标到坐标轴的距离及各象限中点的坐标符号特征，熟练掌握点的坐标在象限
中的符号特点是解题的关键．根据点到坐标轴的距离及点的坐标在象限中的特征可进行求解．
【详解】解：由点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5：点P的横坐标可能为 ，点P的纵坐标可能
为 ，
∵点P位于第二象限，
∴点P的坐标为 ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
11. 如图，在菱形ABCD中， ，则 的度数是______．
【答案】 ##65度
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的四边相等是解题的关键．由菱形的性质
可得 ， ，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 已知一次函数的图象经过点 ，且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的表达式可以为______
（写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点
可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的取值即可．
【详解】解：∵一次函数图象是y随x的增大而增大，故设一次函数的解析式为： ，
∵一次函数的图象经过点 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴该一次函数解析式可以为： ．
故答案为： （答案不唯一）
13. 已知菱形 的面积为 ，对角线 的长为 ，则 的长为______ ．
【答案】6
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵菱形 的面积为 ，对角线 的长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6
14. 如图，在 中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边
形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】先证明 再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可．
【详解】解：∵AE⊥BC，
∴
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学科网（北京）股份有限公司，
∴
∴
补充： 或 或 ，
∴四边形AEFD是矩形，
故答案为： 或 或 （任写一个即可）
【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“有三个角是直角的四边形是矩形”是解本题的关键．
15. 在平面直角坐标系 中，若四边形 是正方形、点B坐标为 ，点D在y轴上，则点C的
坐标为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，点的坐标等知识，分两种情况画出图形，根据正方形的性质进行解答
即可．
【详解】解：如图，
当点C在点 位置，点D在点 位置时，
∵四边形 是正方形、点B坐标为 ，
∴ ， 于点 ， 于点 ，
∴点 的坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当点C在点 位置，点D在点 位置时，
∵四边形 是正方形、点B坐标为 ，
∴ ， 于点 ， 于点 ，
∴点 的坐标为 ，
故点C的坐标为 或 ．
故答案为： 或
16. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 相交于点 ，下列结论中正确
的是______（填写序号）．
①关于x，y的方程组 的解是 ，
②关于x的不等式 的解集是 ；
③ ；
④ ．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与方程组，一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解题的
关键是仔细观察图形，注意几个关键点，利用数形结合进行求解．
根据一次函数的性质、一次函数与方程组、一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 直线 与 相交于点 ，
关于 ， 的方程组 的解是 ，
故①的结论正确；
由图知：当 时，函数 对应的点都在函数 下方，
因此关于 的不等式 的解集是： ，
故②的结论不正确；
由图知：当 时，函数 图象对应的点在 轴的上方，
因此 ，
故③的结论正确；
由图象可得， ，
因此 ，
故④的结论不正确；
故答案为：①③．
三、解答题（共68分，第17--25题，每题6分，第26--27题，每题7分）解答应写出文字说
明、演算步骤或证明过程．
17. 作出一次函数 的图象．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，求出一次函数 的图象上两个点的坐标，再描点连
线即可．
【详解】解：对于一次函数 来说，
当 时， ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴一次函数 的图象经过点 ，与y轴的交点为 ，
过两点画出一次函数 的图象如图所示，
18. 一个一次函数的图象经过 和 两点，求这个一次函数的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设这个一次函数的表达式为 ，
把 和 代入 中得： ，
解得 ，
∴这个一次函数的表达式为 ．
19. 如图，在 中，点E、F分别在 、 上，且 ．求证：四边形 是平行四
边形．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
由四边形 是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得 ， ，又由
，即可证得 ，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形
是平行四边形．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ 且 ．
∴四边形 是平行四边形
20. 已知某汽车行驶前油箱里有油 ，在行驶过程中，每千米耗油 ．那么油箱里剩余的油量
是汽车行驶的路程 的函数．
（1）求此函数的表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）当汽车行驶 时，油箱里还有油______L；
（3）当油箱里剩余油量 时，汽车行驶了______km．
【答案】（1） ，
（2）32 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是列一次函数关系式，以及已知自变量的值求函数值，已知函数值求自变量的值，掌
握以上知识是解题的关键．
（1）由剩余油量等于总油量减去消耗的油量，从而得到函数解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）把 代入（1）中的函数解析式，可得答案；
（3）把 代入（1）中的函数解析式，可得答案；
【小问1详解】
由题意得：y与x的函数关系为：
，
当 时，解得 ，
∴x的取值范围是 ；
【小问2详解】
当汽车行驶 时，
当 时， ，
所以当汽车行驶 时，油箱里还有油 ．
故答案为：32；
【小问3详解】
若油箱中的剩余油量 ，
当 时，则 ，
解得： ，
所以当油箱里剩余油量 时，汽车行驶了 ．
故答案为： ．
21. 如图，在矩形 中， ， 相交于点O， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)根据矩形的性质得出OA=OB，进而利用菱形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．
【小问1详解】
证明： ，
四边形AEBO是平行四边形
又 四边形ABCD是矩形
， ，
四边形AEBO是菱形
【小问2详解】
解：如图：连接EO，交AB于点F
四边形ABCD是矩形
， ，
又
是等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司四边形AEBO是菱形
，
四边形 的面积为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅
助线是解决本题的关键．
22. 已知等腰三角形的周长为 ，设它的底边长为 ，腰长为 ，腰长y 是底边长x
的函数．求此函数的表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解不等式组，求自变量取值范围及函数解析式，根据以上定义，
列出正确的函数解析式是解题的关键．根据等腰三角形的定义及已知周长为 ，得出 ，化
简得y与x的函数关系式为： ；由三角形的存在性，两边之和大于第三边，两边之差小于第
三边，有： ， ，化简后得自变量x的取值范围．
【详解】解：依题意有： ，
可得： ，
故y与x的函数关系式为： ；
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学科网（北京）股份有限公司依题意： ，
即 ，
解得 ，
故自变量x的取值范围为 ．
23. 已知点 ， ， ， ．
（1）在平面直角坐标系xOy中作出点A，B，C，D；
（2）顺次连接点A，B，C，D所得的图形是哪种特殊的四边形？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）菱形，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了平面直角坐标系中描点和连线，菱形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定
和勾股定理是解题的关键．
（1）根据点的坐标在坐标系中描点即可；
（2）顺次连接点A，B，C，D得到四边形，再证明四边形是菱形即可．
【小问1详解】
解：点A，B，C，D如图所示，
【小问2详解】
如图，顺次连接点A，B，C，D得到四边形 ，四边形 是菱形，理由如下：
由勾股定理可得， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴四边形 是菱形．
24. 小强从家骑自行车去体育场，在那里锻炼了一段时间后又骑自行车到文具店去买笔，然后骑自行车回
家，小强离家的距离 与所用的时间 的函数关系如图所示．
观察图象，解答下列问题：
（1）小强到达离家最远的地方用了______ ；
（2）小强出发 后离家______ ；
（3）求小强从家出发后，经过多长时间离家 ．
【答案】（1）3 （2）20
（3）小强从家出发后，经过 小时或 小时距家 ．
【解析】
【分析】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系
式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解，并会
根据图示得出所需要的信息．
（1）根据分段函数的图象上点的坐标的意义可知：小明到达离家最远的地方需3小时；
（2）运用待定系数法求出直线 的解析式，把 代入解析式即可；
（3）分别利用待定系数法求直线 的解析式和直线 的解析式，分别令 ，求解 即可．
【小问1详解】
解：由图象可知小明到达离家最远的地方需 小时，此时他离家25千米；
故答案为：3
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：设直线 的解析式为 ，由 、 ，
代入得： ，
解得： ，
故直线 的解析式为： ，
当 时， ．
即小强出发 后离家 ；
故答案为：20
【小问3详解】
解：设直线 的解析式为 ，
由 、 ，代入得
，
解得： ，
故直线 的解析式为： ，
设直线 的解析式为 ，
，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ， ，
解得： ， ，
答：小强从家出发后，经过 小时或 小时距家 ．
25. 如图，在 中，对角线 ，延长 到点E，使 ，连接 ，交 于点
F．连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了矩形 的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定
和性质、平行四边形的性质是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质得到 ，得到 ，再利用 得到 ，
则四边形 是平行四边形．再利用 得到 ，即可证明四边形 是矩形．
（2）证明 ， ， ，利用勾股定理即可得到答案．
【小问1详解】
证明：在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中，
26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象经过点 ，且与函数
的图象交于点 ．
（1）求m的值及一次函数 的表达式；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，直接写
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学科网（北京）股份有限公司出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把点 代入 可求得 进而得出 再利用待定系数法即可求出．
（2）解不等式 得出 根据题意 即可解出．
【小问1详解】
∵一次函数 与函数 的图象交于点 ，
∴把点 代入 得，
把 代入 得，
解之得
∴一次函数为
【小问2详解】
解不等式
∵ 时，对于x的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，
第21页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∴ 的取值范围
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数及一次函数和不等式的关系，熟练掌握待定系数法求函数
解析式是解此题的关键．
的
27. 在平面直角坐标系 中，横、纵坐标都是整数 点叫做整点．
（1）在点 ， ， ， 中，整点是______；
（2）在（1）的条件下，直线 与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）内整点有______个；
（3）若直线 与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）内有且只有四个整点，直接写出k的取值
范围．
【答案】（1） ，
（2）2 （3） 或 .
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，通过表达式画出图像，找出临界点是解题的关键.
（1）根据整点的定义即可得到答案；
（2）求出直线 的解析式，作出直线 的图象，即可得到答案；
（3）根据图象一定经过 ，分 和 两种情况，分别利用数形结合进行解答即可．
【小问1详解】
解：∵在平面直角坐标系 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
∴在点 ， ， ， 中，整点是 ， ，
故答案为： ，
【小问2详解】
解：设直线 的解析式为 ，则
第22页/共25页
学科网（北京）股份有限公司解得
∴直线 的解析式为 ，
在坐标系中画出直线 的图象如图，
直线 与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）内整点有2个，即为点 ，
故答案为：2
【小问3详解】
∵直线 ，
∴图象一定经过 ，
当 时，直线 从左至右是上升的趋势，
如图所示：
第23页/共25页
学科网（北京）股份有限公司通过图象可得，当直线经过 时， ，解得 ，
此时直线 恰好经过整点 ， ，与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有3个整
点；当直线经过 时， ，解得 ，
此时直线 与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）恰好有4个整点，
∴当 时，直线 与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有四个整点.
当 时，直线 从左至右是下降的趋势，
如图所示：
通过图象可得，当直线经过 时， ，解得 ，
此时直线 恰好经过整点 ， ，与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有3个整
点；
当直线经过 时， ，解得 ，
此时直线 与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）恰好有4个整点，
∴当 时，直线 与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有四个整点.
第24页/共25页
学科网（北京）股份有限公司综上可知，k的取值范围为 或 .
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
