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2022—2023 学年度第一学期初三期中调研数学学科
一、选择题
1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进
行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对
称图形的定义.
2. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A. 20° B. 40° C. 50° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得 ，然后由圆周角定理，
即可求得答案．
【详解】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴ ，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
的
3. 抛物线y＝2（x﹣1）2+5 顶点坐标是（ ）
A. （1，5） B. （2，1） C. （2，5） D. （﹣1，5）
【答案】A
【解析】
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x
＝h．
4. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完
全平方公式写成平方形式即可．
【详解】解： ，
，
，，
故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．
5. 若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长公式进行求解即可．
【详解】解：弧长
．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式： ．
6. 关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A. 当x＞-2时，y随x增大而减小 B. 当x＞-2时，y随x增大而增大
C. 当x＞2时，y随x增大而减小 D. 当x＞2时，y随x增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），
∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大
∴C正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，
对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
7. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概
率的大小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计
概率可判断D．
【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，
故选项A不正确；
事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确；
某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定
会中奖机会很小，故选项C不正确；
图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，
可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确．
故选择B．
【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实
验概率知识是解题关键．
8. 如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另
一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得
最大值时，点D的坐标为（ ）
A. （0， ） B. （1， ） C. （2，2） D. （2，4）
【答案】C
【解析】
【分析】先根据三角形中位线的性质得到当BC为直径（过圆心M）时，OD最大；然后延长BC与圆交于C 点，连接AC ；再由圆周角定理可得∠BAC =90°，然后由垂径定理得到AB=4、勾股定理可得BM=
1 1 1
即BC = 、AC =4，最后求出线段AC 的中点坐标即可．
1 1 1
【详解】解：如图：∵点O是AB的中点，点D是AC的中点
∴OD//BC且OD= BC
∴BC最大时,即当BC为直径（过圆心M）时，OD最
如图：延长BC与圆交于C 点，连接AC ，
1 1
∵BC 是直径
1
∴∠BAC =90°
1
∵OB=OM=OA=2
∴AB=2OA=4,点C 的横坐标为2，BM= ，即BC =
1 1
∴AC =
1
∴点C 的坐标为（2,4）
1
∵AC 的中点D，A（2,0）
1 1
∴D 的坐标为（2，2）．
1
故选：C．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线、勾股定理、线段的
中点等知识，将求线段OD最大时D的坐标转换成求BC最大时点D的坐标是解答本题的关键．
二、填空题
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），若点A与点B关于原点O对称，则B点的坐标为____．
【答案】（2，﹣3）【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的对应坐标符号相反可直接得
到答案．
【详解】解：∵点A和点B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，3），
∴点B的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10. 写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当 时， 随着 的增大而减小．这个二次函
数的解析式可以是______．
【答案】y=-x2-2x-1．
【解析】
【分析】首先由①得到a＜0；由②得到- ≤0；只要举出满足以上两个条件的a、b、c的值即可得出所填
答案．
【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c，
①开口向下，
∴a＜0；
②当x＞0时，y随着x的增大而减小，- ≤0，即b＜0；
∴只要满足以上两个条件就行，
如a=-1，b=-2，c=-1时，二次函数的解析式是y=-x2-2x-1．
故答案为：y=-x2-2x-1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的
题目．
11. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】由题意可利用判别式的意义得到Δ=0，然后解关于k的方程即可．
【详解】解：因为 有两个相等的实数根，
所以Δ ，解得： .故答案为：4.
【点睛】本题考查根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数
根．
12. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 沿着y轴向上平移2个单位长度所得抛物线解析式为
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行计算即可．
【详解】解：将抛物线 沿着y轴向上平移2个单位长度所得抛物线解析式为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规律，是解题的关键．
13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝
50°，则∠AOD的度数为____．
【答案】 ##80度
【解析】
【分析】根据切线的性质得 ，根据 和三角形内角和定理得 ，又因为
OB=OD，所以 ，即可得．
的
【详解】解：∵ 是 直径， 是 的切线，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵OB=OD，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角定理和三角形的外角性质，解题的关键是
掌握这些知识点．
14. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且
∠AOC=105°，则∠C=____°．
【答案】45
【解析】
【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质得到 的度数，再由∠AOC=105°，计算得到 的度
数，最后由三角形外角和得到 的度数，即可知道 的度数．
【详解】解：∵ 是由 绕点O顺时针旋转40°后得到的图形
∴
∴
又∵∴
又∵
∴
∴
故答案为：45
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，学会数形结合处理相关的数据是
解题的重点．
15. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数
265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598
n
“正面向上”的频率
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率大约是
______．（精确到 ）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定
性，即可求解．
【详解】解：随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以
估计“正面向上”的概率大约是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16. 标有1—25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座
位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人
使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择．
（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被______选择；
（2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为______．
【答案】 ①. 乙 ②. 110
【解析】
【分析】（1）根据游戏规则，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，
丁选13，14，15，16，17号座位，即可得知；
（2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相
加即可．
【详解】解：（1）根据游戏规则可知：
甲选1，2号座位，
乙选3，4，5号座位，
丙选7，8，9，10号座位，
丁选13，14，15，16，17号座位，
故3，4，5号座位会被乙选择，
故答案为：乙；
（2）根据游戏规则，第一种，可得丁选择了：23、8、1、4、15；
丙选择了：9、2、3、14；
乙选择了：7、6、5；
甲选择了：10、11；
故四人所选的座位号数字之和为： ．
第二种，可得丁选择了：19、6、1、2、11；
丙选择了：5、4、3、12；乙选择了：7、8、9；
甲选择了：10、13；
故四人所选的座位号数字之和为： ．
故答案为：110．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法，解题的关键是理清游戏规则．
三、解答题
17. 解方程: .
【答案】-1；
【解析】
【详解】试题分析：运用公式法求解即可.
试题解析：∵2x2-x-3=0
在这里,a=2，b=-1，c=-3
b2-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0
∴x=
即：x=-1；x= .
1 2
18. 问题：如图， 是 的直径，点 在 内，请仅用无刻度的直尺，作出 中 边上的高.
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长 交 于点 ，延长 交 于点 ；
②分别连接 ， 并延长相交于点 ；
③连接 并延长交 于点 ．所以线段 即为 中 边上的高．
（1）根据小芸的作法，补全图形；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ 是 的直径，点 ， 在 上，
∴ ________°．（______）（填推理的依据）
∴ ， ．
∴ ，________是 的两条高线．
∵ ， 所在直线交于点 ，
∴直线 也是 的高所在直线．
∴ 是 中 边上的高．
【答案】（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．
【解析】
【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；
（2）根据题意填空，即可求解．
【详解】解：（1）如图，CH为△ABC中AB边上的高；（2）证明：∵ 是 的直径，点 ， 在 上，
∴ ___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）
∴ ， ．
∴ ，_BD__是 的两条高线．
∵ ， 所在直线交于点 ，
∴直线 也是 的高所在直线．
∴ 是 中 边上的高．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题
意灵活应用是解题关键．
19. 如图， 为 的直径，弦 于点E，若 ， ，求弦 的长．
【答案】8
【解析】【分析】连接 ，根据垂径定理得到 ，根据 ，求出 、 的长，根据 ，求
出 的长，利用勾股定理求出 ，即可得到 的长．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 为 的直径， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握垂直弦的直径
平分弦，勾股定理解直角三角形，是解题的关键．
20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点 ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将 ABC绕点B顺时针旋转90°得到 A′BC′，请画出 A′BC′． △
（2）求△BA边旋转到BA′位置时所扫过图形△的面积． △
【答案】解：（1）画图见解析；（2）BA边旋转到BA′位置时所扫过图形的面积为 ．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质作出图形即可；
（2）利用扇形面积公式得出答案．
【详解】解；（1）答案如图所示；
（2）∵AB= = ，
∴BA边旋转到BA′位置时所扫过图形的面积为： = ．
考点：1．作图-旋转变换；2．作图—相似变换．
21. 若关于x 的一元二次方程： 有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若方程有一个根是0，求方程的另一个根．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根： ，进行求解即可；
（2）将 代入方程中，求出 的值，再解一元二次方程，求出另一个根即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根，∴ ，即： ，
解得： ；
【小问2详解】
解：将 代入 得： ，
∴ ，
∴方程为： ，
即： ，
∴ ，
∴方程的另一个根为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程解的定义．熟练掌握使等式
成立的未知数的值是方程的解，以及因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
22. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干
套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概
率是 ．
（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，
求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
【答案】（1）
（2）【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，再
由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“冬季两项”只有1种情况，
恰好抽到“冬季两项”的概率是 ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：直接使用图中的序号代表四枚邮票，由题意画出树状图，如图所示：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．其中，恰好抽到“高山滑
雪”和“自由式滑雪”的结果有2种，
∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为： ．
【点睛】本题主要考查的是概率公式，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23. 一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过 90元，
在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千
… 50 60 70 …
克）
销售量y（千
… 100 90 80 …
克）（1）求y与x的函数关系式；
（2）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？
【答案】（1）
（2）85
【解析】
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据题意列出w与x的函数关系式，然后配方 ，即可求
出．
【小问1详解】
解：设y与x的函数关系式为 ，根据题意得
，解得 ．
故y与x的函数关系式为 ；
【小问2详解】
解：根据题意得：
，
∵ ，
∴当 时，批发商获得的利润w(元)最大，
即产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，利用待定系数法求出一次函数的解析式与列出二次函数解析式，会配方变为顶点式．
24. 如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，BD是 ABC的角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为
半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，CD＝4，求半径的长．【答案】（1）见解析；（2）半径的长为5．
【解析】
【分析】（1）连接 ，由 为角平分线得到一对角相等，再根据等腰三角形的性质得出一对内错角相
等，进而确定出 与 平行，利用两直线平行同位角相等得到 为直角，由此即可得证；
（2）过 作 垂直于 ，可得出四边形 为矩形，由此可得OG＝CD＝4，设OE＝OD＝CG＝
x，利用勾股定理列出方程即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
为 的平分线，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
是 的切线；
（2）解：过 作 ，连接 ，
∵ ， ，
∴四边形 为矩形，∴ ， ，
设OE＝OD＝CG＝x，则GE＝CG－CE＝x－2，
在
∵ 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
即半径的长为5．
【点睛】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质以及勾股
定理等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
25. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作
是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获
得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，
请解决以下问题：
d（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0
h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求所画图象对应的函数表达式；
（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上
的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他
因素）．
【答案】（1）见解析 （2）5
（3）
（4）72米
【解析】
【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可；
（2）观察图象即可；
（3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶
点式即可，再找点（1.0，4.2）代入即可求得解析式；
（4）在求得的解析式中令h=0，则可求得d的值，即可确定所需护栏的长度．
【小问1详解】
坐标系及图象如图所示．【小问2详解】
由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米．
【小问3详解】
∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2），
∴抛物线的对称轴为 ．
∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）．
设抛物线的函数表达式为 ．
把（1.0，4.2）代入，解得 ．
∴所画图象对应的函数表达式为 ．
【小问4详解】
令 ，解得 （舍）， ．
∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米．
∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，
∴正方形护栏的边长至少为18米．
则公园至少需要准备18 4=72（米）的护栏．
【点睛】本题是二次函数×的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次
方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与y轴交于点A．
（1）求抛物线的对称轴和点A的坐标；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
（3）已知点 ， ．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取
值范围．
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线 ，点A的坐标是 ；
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据对称轴公式即可求对称轴，根据当 时， 即可求得点A的坐标；
（2）根据对称性即可求解；
（3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解．
【小问1详解】
解：由抛物线 ，可知 ．
∴抛物线的对称轴为直线 ．
∵抛物线 与y轴交于点A，当 时， ，
∴点A的坐标是 ；
【小问2详解】
∵点B是点A关于直线 的对称点，
∴点B的坐标为 ．
【小问3详解】
∵点A ，点B ，点 P ，点Q ，
∴点 P在点A 的上方，点Q在直线 上．①当 时， ，点Q在点A的右侧．
（i）如图1，当 ，即 时，点Q在点B的左侧，结合函数图象，可知线段 与抛物线没有公
共点；
（ii）如图2，当 ，即 时，点Q在点B的右侧，或与点B重合，
结合函数图象，可知线段 与抛物线恰有一个公共点
②当 时， ，点Q在点B的左侧．
（i）如图3，当 ，即 时，点Q在点A的右侧，或与点A重合，
结合函数图象，可知线段 与抛物线恰有一个公共点；
（ii）如图4，当 ，即 时，点Q在点A的左侧，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点．综上所述，a的取值范围是 或 ．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求
解．
27. 在 中， ， ，点D为线段 上一点，将线段 绕点B顺时针旋转
，得到线段 ，连接 ．
（1）①请补全图形：
②直接写出 之间的数量关系____________；
（2）取 中点F，连接 、 ，猜想 与 的位置关系与数量关系，并证明．
【答案】（1）图见解析，
（2） ， ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ，得到， ， ，推出
，即可得出 之间的数量关系；
（2）如图，设 交 于 ，延长 至 ，使 ，连接 ，证明
和 ，即可得证．
【小问1详解】
解：①补全图形如下：②连接 ，
∵将线段 绕点B顺旋转 ，得到线段 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】，证明如下：
如图，设 交 于 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，三角形全等
的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，对于点 给出如下定义：将点P向右（ ）或
向左（ ）平移 个单位长度，再向上（ ）或向下（ ）平移 个单位长度，得到点 ，点
与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．【已知 ， ，则
AB中点坐标为 】
（1）①若 ， ，则 中点坐标为______；
②若 ， ，则点Q的坐标为______（2）已知 ，点P在直线l： 上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______
（3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为 ，点 为正方形
上的动点
①当 时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______
②当点 在直线： 上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形 的边上或者内部，
则a的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）
（3） 1
【解析】
【分析】（1） 根据中点坐标公式即可求解； 根据定义可求 的坐标，再由中点坐标公式求出 的
坐标．
（2）根据题意可得 ，再根据“平移中点”的定义，可得 ，再由点 在第一
象限，可得到关于 的不等式组，即可求解．
（3）①根据“平移中点”的定义，可得 ，从而得到 点形成的正方形边长为1，即可求解；②
根据题意可得 ，从而得到 ， ，再求出临界值，即可求解．
【小问1详解】
解： 解： ,
中点坐标公式为 ，即故答案为：
解： 向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
与 的中点坐标为 ，即
故答案为：
【小问2详解】
解：∵点 在直线 ： 上， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在第一象限，
∴ ，
∴
【小问3详解】
解： ：当 时，
点在正方形 上
点的运动形成的图形也是正方形正方形 的边长为2
点形成的正方形边长为1
点 形成的图形的面积是1
故答案为：1
解： 点 在直线： 上
点
正方形的中心是 ，边长为2
∴ ， ，
当 时， ，
∴ ，
∴ 时，存在点 在正方形 的边上或者内部；
当 时， ，
∴ ，
∴ 时，存在点 在正方形 的边上或者内部；综上所述： 时，存在点 在正方形 的边上或者内部．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，理解定义，灵活应用中点坐
标公式，数形结合解题是关键．
