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专题 12.1 全等三角形与全等三角形的性质
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 全等图形的判断】....................................................................................................................................1
【考点二 全等三角形的概念】................................................................................................................................2
【考点三 全等三角形的性质】................................................................................................................................4
【考点四 几何动点中找全等三角形】....................................................................................................................7
【考点五 利用全等图形求正方形网格中角度之和】..........................................................................................12
【考点六 将已知图形分割成几个全等图形】......................................................................................................14
【过关检测】............................................................................................................................................................17
【典型例题】
【考点一 全等图形的判断】
例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等形的识别．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可
得答案．
【详解】解：A、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
C、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东济南·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，
据此即可求解．
【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形，
故选：B ．
2．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）下列几组图形中是全等形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等形，根据全等形的定义即可求解，熟练掌握“能够完全重合的图形叫作全等图
形”是解题的关键．
【详解】解：根据全等形的定义得：C选项是全等形，
故选C．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查图形全等，涉及全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形是全等图形，逐项验证
即可得到答案，熟记全等图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据全等图形的定义可知，只有 这两个图形能够完全重合，
故选：B．
【考点二 全等三角形的概念】
例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键．
【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的概念及性质，根据三角形全等的概念和性质逐一判断即可.
【详解】A选项：形状和大小完全相同的两个三角形全等，故形状相同的两个三角形不一定全等，本选项
说法错误；
B选项：全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误；
C选项：全等三角形的周长相等，面积相等，本选项说法正确；
D选项：等边三角形的形状相同，但大小不同，故本选项说法错误.
故选：C
2．（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等
C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】A【分析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确；
B、两个全等三角形的面积一定相等，故本选项错误；
C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误；
D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三
角形，故本选项错误．
故选：A．
3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有( )
①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；
④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断．
【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法
错误；
全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；
若 ， 的对应角为 ，所以 ，故④说法正确；
说法正确的有③④，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．
【考点三 全等三角形的性质】
例题：（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知点A在 上， ，
(1)试说明： ；
(2)若 ， ，求 的长
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的对应角相等得到 ，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到 ， ，然后利用线段的和差即可得到结果．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图， ，其中点A、E、B、D在一条直线上．
(1)若 ，求 的大小；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的
关键．
（1）先根据垂直以及直角三角形两锐角互余求出 ，再利用全等三角形对应角相等即可
得到 的大小；
（2）利用全等三角形的性质得到 ，则 ，即可得到．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴
（2）∵ ，
∴
∴ ，
∴
2．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图， ， ， ， ， ．
(1)试说明： ；
(2)求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质，属于基础题型：
（1）根据 ，得到 ，再根据线段的和差关系即可得出结论；
（2）根据（1）中的结论，求出 的长，进而求出 的长度即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知 ，点 在边 上， 与 交于点 ，
， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 与 的周长之和．
【答案】(1)
(2)31
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关
键．
（1）根据全等三角形的性质得到 ，计算即可；
（2）根据全等三角形的性质求出 ，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ 与 的周长和 ，．
【考点四 几何动点中找全等三角形】
例题：（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形 中， ，
．动点P以 的速度从点A出发沿边 向点D匀速移动，动点Q
以 的速度从点B出发沿边 向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线 向点D匀速移动，
三点同时出发．连接 ，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、
M为顶点的三角形与 全等．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为 ，动
点M的速度为 ，则 ，进而得到 ，
再分当 时，当 时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即
可．
【详解】解：设运动的时间为 ，动点M的速度为 ，
由题意得， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
当 时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ．当 时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ．
综上所述，动点M的速度为 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形 中， ， ，点P从点A出
发，以 的速度沿 边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以 的速度沿
边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为
时，存在某一时刻， 与 全等．
【答案】1或
【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形
的判定与性质．可分两种情况：① 得到 ， ，② 得到
， ，然后分别计算出 的值，进而得到 的值．
【详解】解：①当 ， 时， ，
，
，
，
，
，解得： ，
，
，②当 ， 时， ，
，
，解得： ，
，
，
解得： ，
综上所述，当 或 时，存在某一时刻， 与 全等，
故答案为：1或
2．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系 中，A(5,0)， ，动点P，Q分
别按照 和 的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l经过原点O，且 ，
过P，Q分别作l的垂线段，垂足分别为E，F．若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4
个单位长度，运动时间为t秒，当 与 等时，t的值为 ．
【答案】1或2或5
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并利用全等三
角形的性质建立方程．判断出 再分三种情况讨论，表示出 ， 建立一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
由题意， 和 是两直角三角形的斜边，
当 与 全等时， ，①当点P在 上，点Q在 上时，
根据题意可得， 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ；
②当点P，Q都在 上时，点P，Q重合时，两三角形重合时，
P点行程为 ，Q点行程为 ，
∴ ，
解得 ；
③当点P在 上，点Q在 上且点Q与点A重合时，
，
∴ ．
解得 ；
综上所述，当 与 全等时，满足题意的t的值为1或2或5．
故答案为：1或2或5．
3．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图， 垂足为C， 射线
，垂足为B，动点P从C点出发以 的速度沿射线 运动，点N为射线 上一动点，满足
，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时， 与点P、N、B为顶点的三角
形全等（ ）．
【答案】6或12或18
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，此题要分两种情况：①当P在线段 上时，②当P在 上，
再分别分两种情况 或 进行计算即可．
【详解】解：①当P在线段 上， 时， ，，
，
，
点P的运动时间为 （秒）；
②当P在线段 上， 时， ，
这时 ，因此时间为0秒，
，故 不合题意舍去；
③当P在 上， 时， ，
，
点P的运动时间为 （秒）；
④当P在 上， 时， ，
，
点P的运动时间为 （秒），
∴点P的运动时间为6或12或18，
故答案为：6或12或18．
【考点五 利用全等图形求正方形网格中角度之和】
例题：如图，在 的正方形网格中标出了 和 ，则 _____度．
【答案】
【分析】作辅助线，使 为等腰直角三角形，根据全等三角形 ，可得到 ，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接 、 ， ， ， ，
由图可知，在 和 中，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．
【变式训练】
1．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
【答案】135
【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出 的值，即可得出答案；
【详解】如图所示，在△ACB和△DCE中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．
2．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为__________.
【答案】 /45度
【分析】观察图形可知 与 所在的直角三角形全等，则 ，根据外角的性质卡得 ，
即可求解．
【详解】观察图形可知 与 所在的直角三角形全等，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出
是解题的关键．
【考点六 将已知图形分割成几个全等图形】
例题：（23-24七年级下·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿
网格线分割成两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，结合图形的对称性和互补性，利用面积相等以及图形全等分
别分割即可．
【详解】解：分割线如图所示：
【变式训练】
1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列3个 的网格中，画有正方形 ，沿网格线
把正方形分 分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．
【答案】见解析
【分析】根据全等图形的性质，按照题意作图即可．【详解】．
【点睛】本题考查作图-全等图形，熟练掌握全等图形的性质是解答本题的关键．
2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图1，把大小为 的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2
中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把 的正方形网格分割成两个全等形．
【答案】见解析
【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．
【详解】解：∵要求分成全等的两块，
∴每块图形要包含有8个小正方形．
【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题．【过关检测】
一、单选题
1．（22-23八年级上·山西运城·期末）如图， ，下列等式不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出 ， ， ， ，再逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相
等，对应角相等．
【详解】解： ，
， ， ， ，
，
，
即只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意；
故选：D．
2．（22-23七年级上·山东东营·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即
可得．
【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；
D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
故选：C．
3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知 ， ， ，则 的度
数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键．根
据全等三角形的性质可得 ， ，进而可得 ，然后根据平行线
的性质求出 ，即可求解．
【详解】解： ， ，
， ，
，
，
，
；
故选：B．
4．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，已知 ，点 在同一条直线上，若，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据 得到 ，得到 ，从而解答．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
5．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图， ，下列结论：① 与 是对应边；②
与 是对应边； 与 是对应角；④ 与 是对应角，其中正确的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．③④
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定．
【详解】解：由 得，
① 与 是对应边．故①不符合题意；
② 与 是对应边．故②符合题意；
③ 与 是对应角．故③不符合题意；
④ 与 是对应角，故④符合题意．
综上所述，正确的结论是②④，
故选：B．二、填空题
6．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，四边形 与四边形 是全等四边形，若 ，
， ，则 ．
【答案】60°/60度
【分析】本题考查了全等多边形的性质和四边形的内角和，先根据全等图形的性质求得 和 ，再由
四边形的内角和求得 即可．
【详解】解：∵全等多边形的对应边和对应角相等，
∴ ， ，
又∵四边形的内角和为 ，
∴ ，
故答案为： ；
7．（2024八年级上·江苏·专题练习）下列5个说法：
①两个形状相同的图形称为全等图形；
②两个圆是全等图形；
③两个正方形是全等图形；
④全等图形的形状和大小都相同；
④面积相等的两个三角形是全等图形．
其中，说法正确的是 ．
【答案】④
【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．
【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误；
②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误；
③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误；
④全等图形的形状和大小都相同，说法正确；
⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误；
正确的说法只有④，
故答案为：④．
8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， 于点 ， 于点 ， ，交于点 ， ，若 ， ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出 是解此题
的关键．
根据全等三角形的性质得出 ，求出 ，再根据三角形的面积公式求出 面积即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
9．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ， 的延长线交 于点 ， ，
， ，则 °．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；
根据“全等三角形对应角相等”和三角形内角和定理先求出 的度数，再根据“对顶角相等”和三角
形内角和定理即可求得 的度数．
【详解】解： ，
， ，
，，
，
．
故答案为： ．
10．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图， ， ． ，点 在线
段 上以1 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动．设运动时间为
（ ），则当点 的运动速度为 时， 与 全等．
【答案】1或1.5
【分析】本题主要考查全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，理解并掌握全等三角形的性质是
解题关键．设点 的运动速度是 ，则有 ， ， ，若 与
全等，有两种情况：① ， ；② ， ．分别求解即可．
【详解】解：设点 的运动速度是 ，
则有 ， ， ，
∵ ，
∴ 与 全等，有两种情况：
① ， ，
则 ，
解得 ，
则 ，
解得 ；
② ， ，
则 ， ，解得 ， ．
故答案为：1或1.5．
三、解答题
11．（2024八年级上·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三
角形写出对应的边和角．
(1) ，对应边是 ，对应角是 ；
(2) ，对应边是 ，对应角是 ；
(3) ，对应边是 ，对应角是 ；
(4) ，对应边是 ，对应角是 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全是三角形的性
质即可得到结论．
【详解】（1）解： ，对应边是 ，
对应角是 ；
（2） ，对应边是 ，
对应角是 ；
（3） ，对应边是 ，
对应角是 ；
（4） ，对应边是 ，
对应角是 ．
12．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）一个三角形的三条边的长分别是 ， ， ，另外一个三角形
的三条边的长分别是 ， ， ，若这两个三角形全等，求 的值．
【答案】 的值为 或 ．【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，分类讨论列方程求解即可，熟记性
质是解题的关键．
【详解】解：∵这两个三角形全等，
∴ 当 ， ，
解得： ， ，
∴ ；
当 ， ，
解得： ， ，
∴ ，
综上可知： 的值为 或 ．
13．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种
方法将下列图形划分为两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了画全等图形，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义．
【详解】解：如图所示：
14．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知 ，点 在AB上，DE与 相交于点 ．
(1)当 ， 时，线段 的长为 ；
(2)已知 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（ ）由 ，可得 ， ，从而可得答案；
（ ）由 ， ， ，可得 ， ，再利用三角形的内角和求
出 ，再根据角度和差即可求解；
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
15．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个 的正方形，求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全
等三角形是正确解决本题的关键．
由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是 ，再相加即可．
【详解】解：根据全等三角形的性质可知，
与 的余角相等，也就是 与 互余，
同理： 与 互余． 与 互余， 与 互余， 与 互余， 与 互余，又
，
、 、 、 、 、 、，
．
16．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， ， ， ， 交于点
E， ．
(1)求 的度数；
(2) 平行于 吗？说明理由；
(3)求∠BAC的度数．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)30°
【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的性质和判定，掌握全等三角形的性质是解题的关
键．
（1）由全等三角形的性质得到 ，进而可证明 ；
（2）先由平行线的性质得到 ，由全等三角形的性质得到 ，则
，即可证明 ；
（3）由 ，可知 ，然后由 可求得 ，从而可求得
的度数．
【详解】（1）解： ，
．
．
．（2）解： ，理由如下：
，
．
，
．
．
．
（3）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
17．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形 中， ， ，
，点 从点 出发，以 的速度向点 运动，当点 与点 重合时，停止运动．设点 的运
动时间为 秒．
(1) ________ ．（用含 的代数式表示）
(2)如图1，当 为何值时， ．
(3)如图2，当点 从点 开始运动，同时点 从点 向点 以 的速度运动（点 运动到点 处时停
止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点 和点 运动过程中， 与 可能
全等吗？若可能，求出 的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．
（1）根据路程 速度 时间，根据点 的速度，表示出 ，再表示出 ；
（2）根据全等三角形对应边相等的性质得 ，即 ，求解即可；
（3）分两种情况讨论，当 ， ， 时或当 ， ， 时，
与 全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出 的值，再计算 的值即可．
【详解】（1）解： 点 从点A出发，以 秒的速度向点 运动，点 的运动时间为 秒，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
当 时， ；
（3）解：情况一：当 ， ， 时， ，
， ，
，
，
，
，
∴ ，
；
情况二：当当 ， ， 时，
， ，
，，
，
，
综上所述，当 或 时， 与 全等．
18．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图①，在 中， ， ， ，
，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边 运动，回到点A停止，速度为
，设运动时间为 ．
(1)如图①，当 时， 的面积等于 面积的一半；
(2)如图②，在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有一个
动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好 ，求点Q的运动速度．
【答案】(1) 秒或 秒
(2) cm/s或 cm/s
【分析】本题主要考查了直角三角形综合，画出相应图形，熟练掌握直角三角形性质，三角形中位线性质，
全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键．
（1）分两种情况，当点P在 上时， ， 得到点P移动路程为 ，移动时间为 秒；当点
P在 上时， ， 得到得到点P移动路程为 ，移动时间为 秒；
（2）分两种情况，当点P在 上， ，Q的移动速度 ；②当点P在 上，， ，点P移动的距离为32cm，点Q移动的距离为31cm，∴点Q移动的速度为
．
【详解】（1）当点P在 上时，如图①﹣1，
∵ 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴点P移动的距离为 ，
∴移动的时间为： 秒；
当点P在 上时，如图①﹣2
∵ 的面积等于 面积的一半；
∴ ，
∴点P移动的距离为 ，
∴移动的时间为： 秒；
故答案为： 秒或 秒；
（2）∵ ，
∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
当点P在 上，如图②﹣1所示，
∵ ，
∴点Q移动的速度为 ；
当点P在 上，如图②﹣2所示：
∵ ， ，
∴点P移动的距离为 ，点Q移动的距离为 ，
∴点Q移动的速度为 ；故P、Q两点运动过程中的某一时刻，恰好 时，点Q的运动速度为 或 ．
