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专题 14.1 幂的运算【八大题型】
【人教版】
【题型1 由幂的运算进行求化简求值】..................................................................................................................3
【题型2 由幂的运算进行简便运算】......................................................................................................................4
【题型3 由幂的运算进行整体代入求值】..............................................................................................................6
【题型4 由幂的运算求字母的值】..........................................................................................................................7
【题型5 由幂的运算表示代数式】..........................................................................................................................9
【题型6 由幂的运算比较大小】............................................................................................................................11
【题型7 由幂的运算确定字母之间的关系】.......................................................................................................14
【题型8 幂的运算中的新定义问题】....................................................................................................................16
知识点：幂的运算
1．同底数幂的乘法
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an= · = = ．
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．
（m，n，…，p都是正整数）．
（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．
2．幂的乘方
（1）幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个
am相乘，读作a的m次幂的n次方．
（2）幂的乘方法则：
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【拓展】
（1）幂的乘方的法则可推广为 （m，n，p都是正整数）．
（2）幂的乘方法则的逆用： （m，n都是正整数）．
3．积的乘方
（1）积的乘方的意义：
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．
（积的乘方的意义）
=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）
=a3b3．
积的乘方法则：
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
．
因此，我们有 ．
语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：
一般地，我们有 （a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【拓展】
（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，
例如： （a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．
（2）同底数幂的除法法则的逆用： （a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
【题型1 由幂的运算进行求化简求值】
【例1】（23-24八年级·河南周口·期末）若a2n=2（n为正整数），则（4a3n）2÷4a4n的值为 ．【答案】8
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解：当a2n=2时，
（4a3n）2÷4a4n
=16（a2n）3÷4（a2n）2
=16×23÷（4×22）
=16×8÷（4×4）
=16×8÷16
=8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式1-1】（23-24八年级·重庆南川·期末）已知3m=2，2n=3，则9m ⋅2n= ．
【答案】12
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，代数式求值．熟练掌握幂的乘方的逆运算，代数式求值是解题的
关键．
根据9m ⋅2n=(32) m ⋅2n=(3m) 2 ⋅2n，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，9m ⋅2n=(32) m ⋅2n=(3m) 2 ⋅2n=22 ⋅3=12，
故答案为：12．
1 1
【变式1-2】（23-24八年级·湖北黄石·期末）已知50a=20，8b=20，则 + = ．（a、b为正整数）
a b
【答案】2
【分析】本考查同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用，掌握运算法则即可解题．
【详解】解：∵ 50a=20，8b=20，
1 1
∴50=20a， 8=20b，
1 1
∴20a×20b=50×8 ，
1 1
∴20a + b=400=202，
1 1
∴ + =2，
a b故答案为：2．
1
【变式1-3】（23-24八年级·湖南株洲·期末）已知 2x+y=16,4 x+ 2 y =8 ，则23x+y= ．
【答案】4
{
x+ y=4
)
【分析】根据已知可得： 1 ，解得x,y的值代入求值即可．
2(x+ y)=3
2
【详解】解：∵2x+y=16，24=16，
∴x+ y=4，
1 1
∵ 4 x+ 2 y =2 2(x+ 2 y) =8 ，23=8，
1
∴2(x+ y)=3，
2
{
x+ y=4
)
联立得： 1 ，
2(x+ y)=3
2
{x=−1)
解得： ，
y=5
∴23x+y=23×(−1)+5=22=4，
故答案为：4．
{
x+ y=4
)
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，根据题意得出 1 是解题的关键．
2(x+ y)=3
2
【题型2 由幂的运算进行简便运算】
( 5 ) 2024 (12) 2023
【例2】（23-24八年级·湖南邵阳·期末）计算： − × = ．
12 5
5
【答案】
12
【分析】本题考查积的乘方的逆运算、同底数幂乘法的逆运算，根据积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的
逆运算进行计算即可．
( 5 ) 2024 (12) 2023
【详解】解： − ×
12 5
( 5 ) 2023 (12) 2023 ( 5 )
= − × × −
12 5 12
( 5 12) 2023 ( 5 )
= − × × −
12 5 12=(−1) 2023× ( − 5 )
12
( 5 )
=−1× −
12
5
= ，
12
5
故答案为：
12
1 100
【变式2-1】（23-24八年级·上海普陀·期末）简便计算：(− ) ×2733 = ．
3
1
【答案】
3
【详解】原式=(− 1 ) 100 ×399 =(− 1 )×(− 1 ×3) 99 = ( − 1) ×(−1)= 1 .
3 3 3 3 3
2 5
【变式2-2】（23-24八年级·上海奉贤·期中）用简便方法计算：35×(− ) ×(−5) 6（结果，可用幂的形式
3
表示）．
【答案】−5×105
【分析】根据题意先将化为指数相同的数的乘积，然后进行计算即可求解．
2 5
【详解】解：35×(− ) ×(−5) 6
3
=[3× ( − 2) ] 5 ×55×5
3
=[(−2)×5] 5×5
=5×(−10) 5
=−5×105．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，积的乘方运算，掌握积的乘方，有理数的乘方的运算法则是解题
的关键．
4 11 3 22
【变式2-3】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算：(− ) ×(− ) ．
9 2
【答案】−1
(4) 11 (2) 22 (3) 22
【分析】先确定符号，再利用幂的乘方的逆运算将 转化成 去和 相乘得到1．
9 3 2(4) 11 (3) 22
【详解】解：原式=− ×
9 2
[(2) 2 ) 11 (3) 22
=− ×
3 2
(2) 22 (3) 22
=− ×
3 2
(2 3) 22
=− ×
3 2
=−1．
【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算公式并能够进行简便计算．
【题型3 由幂的运算进行整体代入求值】
【例3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）若a+b+c=1，则(−2) a−1×(−2) 3b+2×(−2) 2a+3c的值为
.
【答案】16
【分析】根据同底数幂的乘法可进行求解．
【详解】解：∵a+b+c=1，
∴(−2) a−1×(−2) 3b+2×(−2) 2a+3c=(−2) a−1+3b+2+2a+3c=(−2) 3(a+b+c)+1=16；
故答案为16．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级·北京·期末）已知2x+3 y−3=0，求3⋅9x ⋅27y的值为（ ）
A．21 B．81 C．243 D．48
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，熟练掌握幂的原式性质和整体代入
的方法是解题的关键．利用幂的乘方与积的乘方的逆运算化简后，利用同底数幂的乘法法则和整体代入的
方法解答即可．
【详解】解∶原式=3⋅(32)x⋅(33)y
=3⋅32x ⋅33y
=31+2x+3y
∵2x+3 y−3=0∴2x+3 y=3
∴ 原式=31+3=34=81
故选：B．
【变式3-2】（23-24春·广西崇左·八年级统考期中）若2a+3b−4c−2=0，则9a×27b÷81c的值为
．
【答案】9
【分析】由幂的乘方进行化简，然后把2a+3b−4c=2代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵2a+3b−4c−2=0，
∴2a+3b−4c=2，
∴9a×27b÷81c=32a×33b÷34c=32a+3b−4c=32=9；
故答案为：9．
【点睛】本题考查了幂的乘方的运算法则，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行
化简．
【变式3-3】（23-24八年级·四川成都·期中）若x+4 y−2=0，则22x ⋅44y的值为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了幂的乘方逆运算法则，同底数幂的乘法，代数式求值，将22x ⋅44y转化为4x ⋅44y，利
用同底数幂的乘法法则得到4x+4y，由x+4 y−2=0变形得到x+4 y=2，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵ 22x ⋅44y=4x ⋅44y=4x+4y，x+4 y=2，
∴22x ⋅44y=4x+4y=42=16，
故答案为：16．
【题型4 由幂的运算求字母的值】
【例4】（23-24八年级·河北沧州·期中）已知3a+1×5a+1=152a−3，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】题目主要考查积的乘方的逆运算，根据积的乘方的逆运算得出a+1=2a−3，求解即可，熟练掌
握运算法则是解题关键．
【详解】解：3a+1×5a+1=(3×5) a+1=152a−3，
∴a+1=2a−3，
解得：a=4，
故选：D．【变式4-1】（23-24八年级·四川眉山·阶段练习）若 34×34×34=3m，43+43+43+43=4n，则m−n的
值为( )
A．−5 B．0 C．3 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据题意得出m=12，n=4，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵34×34×34=312=3m，43+43+43+43=4×43=44=4n，
∴m=12，n=4
∴m−n=12−4=8，
故选：D．
【变式4-2】（23-24八年级·四川成都·期中若22n+3+4n+1=192，则n的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了幂的乘方逆应用，同底数幂的乘法的逆应用，根据已知，正确变形计算即可．
【详解】∵22n+3+4n+1=192，
∴22n+3+4n+1=22n+3+22n+2=(2+1)×22n+2=3×22n+2=192，
∴22n+2=64=26，
∴2n+2=6
∴n=2，
故答案为：2．
【变式4-3】（23-24八年级·江苏泰州·期末）若m，n均为正整数，且 2m−1×4n=32，则m+n的所有可能值
为 ．
【答案】4或 5/5或4
【分析】先根据同底数幂的乘法和乘方进行变形：2m−1×22n＝2m−1＋2n＝25，得到m＋2n−1＝5，由m和n为
正整数进行讨论即可得到答案．
【详解】解：∵原式＝2m−1×22n＝2m−1+2n＝25，
∴m＋2n−1＝5，
6−m
∴n＝ ，
2
∵m，n为正整数，
∴当m＝2时，n＝2，
当m＝4时，n＝1，
∴m＋n＝2＋2＝4或m＋n＝4＋1＝5．故答案为：4或5．
【点睛】本题主要考查了乘方和同底数幂的乘法运算法则，能够灵活运用同底数幂的运算法则及其逆运算
法则进行变形是解答此类问题的关键．
【题型5 由幂的运算表示代数式】
【例5】（23-24八年级·山东淄博·期中）若am=an (a>0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．利用上面结
论解决下面的问题：
(1)若3x×9x×27x=312，求x的值．
(2)若x=5m，y=4−25m，用含x的代数式表示y．
【答案】(1)x=2
(2)y=4−x2
【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变
形．
（1）由题意得出6x=12，即可得出答案；
（2）将5m=x代入y=4−25m=4−(52
)
m=4−(5m
)
2可得答案．
【详解】（1）解：3x×9x×27x=3x×(32
)
x×(33
)
x=3x×32x×33x=36x．
∵36x=312，
∴6x=12，
∴x=2；
（2）解：∵x=5m，
∴y=4−25m=4−(52
)
m=4−(5m
)
2=4−x2，
∴y=4−x2．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）若x=3m，y=9m−3，用x的代数式表示y，则y=
．
【答案】x2−3
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．
根据y=9m−3=(3m) 2 −3，求解作答即可．【详解】解：由题意知，y=9m−3=(32) m −3=(3m) 2 −3=x2−3，
故答案为：x2−3．
【变式5-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知2m=a，2n=b，3m=c，请用含a，b，c的式子表示下列
代数式：
(1)2m+n
(2)42m+3n
(3)36m
【答案】(1)ab
(2)a4b6
(3)a2c2
【分析】本题考查了同底数幂旳乘法，积的乘方与幂的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；
（2）根据幂的乘方与积的乘方的运算即可；
（3）根据幂的乘方与积的乘方的运算即可．
【详解】（1）解：∵2m=a，2n=b，
∴2m+n=2m ⋅2n=ab；
（2）∵2m=a，2n=b，
∴42m+3n=(22) 2m+3n =24m ⋅26n=(2m) 4 ⋅(2n) 6 =a4b6；
（3）∵3m=c，2m=a，
∴36m=(62) m =(6m) 2 =[(2×3) m) 2 =(2m ⋅3m) 2 =(ac) 2=a2c2．
【变式5-3】（2024八年级·全国·专题练习）在等式的运算中规定：若ax=ay (a>0且a≠1，x，y是正整
数），则x= y，利用上面结论解答下列问题：
(1)若9x=36，求x的值；
(2)若3x+2−3x+1=18，求x的值；
(3)若m=2x+1，n=4x+2x，用含m的代数式表示n．
【答案】(1)x=3；
(2)x=1；(3)n=m2−m
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算：
（1）根据幂的乘方的逆运算法则把两边底数为成一样，再根据题目规定解答即可；
（2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把变形为3×3x+1−3x+1=18，进而得到3x+1=9=32，据此即可解
答；
（3）先求出2x=m−1，再根据n=4x+2x=(22) x +2x=(2x) 2 +2x进行求解即可．
【详解】（1）解：∵9x=36，
∴(32) x =36，
∴32x=36，
∴2x=6，
∴x=3；
（2）解：∵3x+2−3x+1=18，
∴3×3x+1−3x+1=18，
∴2×3x+1=18，
∴3x+1=9=32，
∴x+1=2，
∴x=1；
（3）解：∵m=2x+1，
∴2x=m−1，
∵n=4x+2x，
∴n=(22) x +2x，
∴n=(2x) 2 +2x，
∴n=(m−1) 2+(m−1)=m2−2m+1+m−1=m2−m．
【题型6 由幂的运算比较大小】
【例6】（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．解：∵411=(22) 11 =222，且3>2
∴322>222，即322>411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
解：∵82=(23) 2 =26，且8>6
∴28>26，即28>82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
(1)比较344、433、522的大小
(2)比较8131、2741、961的大小
(3)已知a2=2，b3=3，比较a、b的大小
【答案】(1)344>433>522
(2)8131>2741>961
(3)a64>25，
∴8111>6411>2511，
即344>433>522；（2）解：∵8131=(34) 31 =3124，
2741=(33) 41 =3123，
961=(32) 61 =3122，
∵124>123>122，
∴3124>3123>3122，
即8131>2741>961；
（3）解：∵(a2) 3 =a6=8，(b3) 2 =b6=9，
又∵8<9，
∴a289，得出721>1714，
即可作答．
【详解】解：∵721=(73) 7 =3437，1714=(172) 7 =2897，343>289
∴3437>2897
∴721>1714
故答案为：＞．
【变式6-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）已知a=2731，b=361，c=941，试比较a，b，c的大小并用“
>”把它们连接起来： ．
【答案】a>c>b
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘
方的逆运算法则得到a=393，c=382，据此可得答案．
【详解】解：∵a=2731，c=941，
∴a=(33) 31 =393，c=(32) 41 =382，
∵393>382>361，
∴a>c>b，故答案为：a>c>b．
【变式6-3】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小
的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数
相同的形式，请阅读下列材料：若a3=2，b5=3，则a,b的大小关系是a b（填“<”或“>”）．
解：∵a15=(a3) 5 =25=32；b15=(b5) 3 =33=27，且32>27，
∴a15>b15，
∴a>b，
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质： ；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(2)比较8131，2741，961的大小；
(3)比较2100与375的大小．
【答案】(1)C
(2)8131>2741>961
(3)2100<375
【分析】
本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算：
（1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可；
（2）根据8131=3124，2741=3123，961=3122进行求解即可；
（3）根据2100=1625，375=2725进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则，
故答案为：C；
（2）解：∵8131=(34) 31 =3124，2741=(33) 41 =3123，961=(32) 61 =3122，且124>123>122，
∴8131>2741>961；
（3）解：∵2100=(24) 25 =1625，375=(33) 25 =2725，且16<27，
∴2100<375．
【题型7 由幂的运算确定字母之间的关系】
【例7】（2024八年级·江苏·专题练习）若2a=5，2b=10，2c=50，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是
①c=2b−1；②c=a+b；③b=a+1；④c=ab
【答案】①②③
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法
则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆
用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断．
【详解】解：∵2a=5，2b=10,
∴2a×2b=2a+b=5×10=50，
∵2c=50，
∴a+b=c，②关系成立；
∵22b−1=(2b) 2 ÷2=102÷2=50=2c，
∴2b−1=c，①关系成立；
∵2a+1=2a×2=5×2=10=2b，
∴a+1=b，③关系成立；
则①②③成立，
故答案为：①②③．
⏟2×2×⋅⋅⋅⋅⋅×2=⏟4×4×⋅⋅⋅×4
【变式7-1】（2024·河北唐山·八年级期末）若 ，则k与m（k，m都
k个2 m个4
为正整数，且k≥2）的关系是（ ）
A．k=m B．k=2m C．k+m=6 D．m−k=2
【答案】B
【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据幂的意义得出2k=4m，然后利用幂
的乘方可得2k=22m，即可求解．
⏟2×2×⋅⋅⋅⋅⋅×2=⏟4×4×⋅⋅⋅×4
【详解】解：∵ ，
k个2 m个4
∴2k=4m，
∴2k=(22) m ，
∴2k=22m，
∴k=2m，
故选：B．【变式7-2】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）已知9x=m，3y=n，27z=mn，那么x，y，z满足的等
量关系是 ．
【答案】3z=2x+ y
【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，根据题意，得到27z=9x ⋅3y，逆用幂的乘方以及同
底数幂的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解：∵9x=m，3y=n，27z=mn，
∴27z=9x ⋅3y，
∴(33) z =(32) x ⋅3y，
∴33z=32x ⋅3y=32x+y，
∴3z=2x+ y；
故答案为：3z=2x+ y．
40
【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c= ，那么a、b、c之间满足的等量关
9
系是 ．
【答案】3a+b-c=2
40
【分析】由题意知23×5÷9= ，则有(3a) 3 ×3b÷32=3c，化简求解即可．
9
40
【详解】解：由题意知23×5÷9=
9
∴(3a) 3 ×3b÷32=3c
∴33a+b−2=3c
∴3a+b−2=c
∴a、b、c之间满足的等量关系是3a+b−c=2
故答案为：3a+b−c=2．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法．解题的关键在于熟练掌握同底数幂乘
法、同底数幂的除法的运算法则．
【题型8 幂的运算中的新定义问题】
【例8】（23-24八年级·湖北随州·期末）阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若ax=N (a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log N，比如指数
a
式24=16可以转化为对数式4=log 16，对数式2=log 25，可以转化为指数式52=25．
2 5我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
log (M⋅N)=log M+log N (a>0，a≠1，M>0，N>0)，理由如下：
a a a
设log M=m，log N=n，则M=am，N=an，
a a
∴M⋅N=am ⋅an=am+n，由对数的定义得m+n=log (M⋅N)
a
又∵m+n=log M+log N，
a a
∴log (M⋅N)=log M+log N．
a a a
请解决以下问题：
(1)将指数式34=81转化为对数式_______；
M
(2)求证：log = log M−log N(a>0，a≠1，M>0，N>0)；
a N a a
(3)拓展运用：计算log 9+log 8−log 2=______．
6 6 6
【答案】(1)4=log 81
3
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．
（2）根据指数与对数的关系求证．
（3）利用（1）、（2）中的对数运算法则求解．
【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：4=log 81．
3
故答案为：4=log 81．
3
（2）解：设log M=m，log N= n，则M=am，N=an，
a a
M
∴ = am÷an=am−n．
N
M
∴log = log am−n=m−n=log M−log N．
a N a a a
M
∴log = log M−log N．
a N a a
（3）解：原式=log (9×8÷2)
6
=log 36
6
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键．【变式8-1】（23-24八年级·山东济南·期中）我们定义：三角形 ＝ab•ac，五角星
＝z•（xm•yn），若 ＝4，则 的值＝ ．
【答案】32
【分析】根据题意可得出算式3x ⋅32y=4，根据同底数幂的乘法得出3x+2y=4，求出32x+4y=(3x+2y ) 2=16
，根据题意得出所求的代数式是2(9x ⋅81y )，再根据幂的乘方和积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解：根据题意得：3x ⋅32y=4，
所以3x+2y=4，
即32x+4y=42=16，
所以2(9x ⋅81y
)
=2×[(32
)
x ⋅(34
)
y
]
=2×(32x ⋅34y
)
=2×(3x ⋅32y
)
2
=2×42
=32，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是能灵活运用整式的运算法则进行
计算．
【变式8-2】（23-24八年级·浙江台州·期末）定义一种新运算[a,b)：若ax=b，则[a,b)=x．例如：32=9
，则[3,9)=2．已知[2,5¿+)2,6¿=¿¿2,m¿¿，则m的值为 ．【答案】30
【分析】本题主要考查了新定义的运算、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
设[2,5]=a，[2,6]=b，[2,m]=c，易得2a=5，2b=6，2c=m，且a+b=c，然后根据2a×2b=2a+b=2c，
即可求得m的值．
【详解】解：设[2,5]=a，[2,6]=b，[2,m]=c，
则有2a=5，2b=6，2c=m，且a+b=c，
∴2a×2b=2a+b=2c，即有m=5×6=30．
故答案为：30．
【变式8-3】（23-24八年级·上海浦东新·期中）如果ac=b，那么我们规定：F(a,b)=c，例如，因为23=8
，34=81那么我们就说F(2,8)=3，F(3,81)=4；
(1)请根据上述定义，填空：
(2 16 )
F(4,16)=______；F(2,64)=______；F , =______；
5 625
(2)已知F(x,5)=a，F(x,6)=b，F(x,m)=c，且a+b=c，求m的值．
【答案】(1)2，6，4；
(2)m=30．
【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案；
（2）根据新定义可得xa=5，xb=6，xc=m，然后利用同底数幂的乘法法则求出xa ⋅xb=xa+b=xc=30即
可．
(2) 4 16
【详解】（1）解：∵42=16，26=64， = ，
5 625
(2 16 )
∴F(4,16)=2，F(2,64)=6， F , =4，
5 625
故答案为：2，6，4；
（2）解：∵F(x,5)=a，F(x,6)=b，F(x,m)=c，
∴xa=5，xb=6，xc=m，
又∵a+b=c，
∴xa ⋅xb=xa+b=xc=30，
∴m=30．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、新定义、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，正确理解新定义是解
题的关键．
