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专题04 计算题解题策略
目录
策略(一) “三步”审题法.......................................................................................................................................1
策略(二) 大题小做...................................................................................................................................................9
策略(三) 规范答题.................................................................................................................................................16
计算题技法专练........................................................................................................................................................20
【概述】物理计算题历来是高考拉分题，试题综合性强，涉及物理过程多，所给的物理情境较复杂，物理
模型比较模糊甚至很隐蔽，所运用的物理规律也较多，对考生的各项能力要求很高。掌握以下“三策略”，
可在物理计算题上得到理想的分值。
策略(一) “三步”审题法
【例1】（2023·安徽·高三专题练习）如图甲所示，质量 的小物块 （可视为质点）放在质量
木板 的左端，木板长 。起初 、 两叠体静止于水平面上。现用一水平向左的力 作
用在木板 上，通过传感器测出 、 两物体的加速度与外力 的变化关系如图乙所示。已知两物体与地
面之间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力， 取 。求：
(1) 、 之间的动摩擦因数 及 与地面之间的动摩擦因数 。
(2)若开始时对 施加水平向左的恒力 ，且给 一水平向右的初速度 ，则 时 与
的右端相距多远？【三步审题】
(1)当F>F 时B相对地面滑动，F 的值为B与地面间的最大静摩擦力大
0 0
小
第一步：审 (2)当F25 N时，A与B有相对运动，A在B的动摩擦力作用下加速度
不变
第二步：审 (1)A与B间相互作用：板块模型
情景建模型 (2)A与B的运动：匀变速直线运动
(1)运用牛顿运动定律找加速度与摩擦力(动摩擦因数)的关系，并分析aF
第三步：审
图像的物理意义
过程选规律
(2)用匀变速运动的规律分析A与B运动的位移
【答案】(1)0.4， 0.1；(2)
【详解】(1)由乙图知， 、 一起运动的最大外力 ，当 时， 与 相对滑动，对 由牛
顿第二定律有
由乙知
解得
对 由牛顿第二定律有
即
当 时，
代入上式解得(2)给 一水平向右的初速度 ，且 时， 运动的加速度大小为 ，方向水平向左，
设 运动时间 速度减为零，则
位移
代入数据可得
的加速度大小
代入数据可得
，方向向左
的位移大小
此时 的速度
由于
即此时 运动到 的右端，当 继续运动时， 从 的右端掉下来停止。
设 从 上掉下来后 的加速度大小为 ，对 由牛顿第二定律有
可得
在 时 与 右端的距离 。
【例2】（2021·浙江·高考真题）如图所示，水平地面上有一高 的水平台面，台面上竖直放置倾
角 的粗糙直轨道 、水平光滑直轨道 、四分之一圆周光滑细圆管道 和半圆形光滑轨道
，它们平滑连接，其中管道 的半径 、圆心在 点，轨道 的半径 、圆心在
点， 、D、 和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道 上距台面高为h的P点静止下滑，与静
止在轨道 上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道 、轨道 从F点竖直向下运动，与正
下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，已知小滑块与轨道 间的动摩擦因数 ， ， 。
（1）若小滑块的初始高度 ，求小滑块到达B点时速度 的大小；
（2）若小球能完成整个运动过程，求h的最小值 ；
（3）若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值
。
【三步审题】
第一步：审条件挖隐含
(1)关注研究对象——滑块、小球。
(2)关注运动过程
滑块匀加速下滑，与小球碰撞交换速度，小球做圆周运动，下抛，与三棱柱碰撞后平抛。
(3)关注受力
根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况。
第二步：审情景建模型
对象拆解 分别对滑块和小球进行受力分析和运动分析
模型构建 匀变速直线运动、弹性碰撞、竖直面内圆周运动、平抛运动
适用合适
动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律、牛顿第二定律、运动的分解
的规律
第三步：审过程选规律
(1)对滑块进行受力分析，根据动能定理求得到达B点时的速度。
(2)根据动量守恒和机械能守恒求得碰撞后小球的速度。
(3)根据牛顿第二定律求得小球恰好做圆周运动时在最高点E的速度。(4)根据C到E过程机械能守恒求得h 。
min
(5)从E到G过程，根据动能定理求得小球从G点平抛的初速度。
(6)平抛过程根据运动的分解得出落地点Q与F点水平距离x的数学表达式。
(7)用数学知识求得x的最大值。
【答案】（1）4m/s；（2） ；（3）0.8m
【详解】（1）小滑块在 轨道上运动
代入数据解得
（2）小球沿 轨道运动，在最高点可得
从C点到E点由机械能守恒可得
解得 ，
小滑块与小球碰撞后动量守恒，机械能守恒，因此有 ，
解得 ，
结合(1)问可得
解得h的最小值
（3）设F点到G点的距离为y，小球从E点到G点的运动，由动能定理
由平抛运动可得 ，
联立可得水平距离为
由数学知识可得当
取最大，最大值为
【例3】（2023·全国·高三专题练习）某科研机构采用无人机将山里的特产送下山，或利用无人机运输急救
药品和生活必需品，帮助部分山区居民解决交通不便的情况。如图所示是某次无人机在基地进行物流配送与飞行测试：实验中该无人机空载先从地面由静止竖直向上匀加速起飞，上升到100m高度时无人机速度
达到20 m/s，随后以等大加速度减速正好到达目标所在位置。当无人机满载物品后，又以4m/s2加速度匀
加速下降。已知无人机在飞行测试阶段受到的空气阻力为重力的0.1倍，已知该无人机的空载质量为
80kg，有效载荷为20kg，求：
（1）无人机从静止到目标所在位置的时间；
（2）在上升阶段中，当无人机速度达到最大速度20m/s时，无人机发动机的功率；
（3）无人机从目标所在位置回到地面时，当达到最大速度后匀速飞行5s，最后匀减速直线运动回到地面
速度恰好为零，求减速阶段无人机的制动力。
【审题破题】
1.快速读题，提取关键信息
(1)运动分析：“匀加速起飞”、“等大加速度减速”、“匀加速下降”等信息，构建匀变速直线运动模型。
(2)受力分析：“空气阻力为重力的0.1倍”知无人机受重力和空气阻力，由牛顿第二定律列方程求解加速
度。
2.联想情景，构建运动模型
(1)上升阶段 (2)下降阶段
【答案】（1）20s；（2）20800W；（3）1300N
【详解】（1）匀加速上升过程
解得a=2m/s2
此过程时间
匀减速上升过程a=-2m/s2 t=t=10s
2 1故无人机从静止到目标所在位置的时间为t=t＋t=20s
1 2
（2）上升阶段速度达到v 时，根据牛顿第二定律F-（mg＋0.1mg)=ma
0
又P=Fv
0
解得P=20800W
（3）无人机匀加速上升高度与匀减速上升高度相等，即
故无人机上升的总高度为h=200m
匀加速下降过程下落的高度为
匀速飞行过程下落的高度为
匀减速下落过程有
由牛顿第二定律得Mg-0.1Mg-F′=Ma
2
联立解得F′=1300N
【例4】（2020·全国·统考高考真题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R
的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同
的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速
率v 穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
0
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv，该粒子进入电场时的速度应为多大？
0
【“三步”规范解题】
第一步：审题——2个切入点
(1)关注匀强电场的区域分布——匀强电场分布在柱形区域内。
(2)关注运动过程——进入电场时速度为零的粒子，在电场中做匀加速直线运动；进入电场时速度不为零的
粒子，在电场中做类平抛运动。第二步：破题——3个关键点
(1)进入电场时速度为零的粒子，从自圆周上的C点穿出电场，可以确定电场线沿AC方向。
(2)要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点为D，即粒子要
从D点射出时沿电场线方向移动距离最多。
(3)粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为 mv ，即在电场方向上速度变化为
0
v。
0
第三步：解题——3个环节
(1)沿AC方向射出的粒子，根据动能定理可求出电场强度的大小。
(2)从切点D射出的粒子，根据类平抛运动规律，可求出粒子进入电场时的
大小。
(3)根据粒子沿电场线方向做匀加速直线运动规律，可求出穿过电场前后动量变化量的大小为mv 的粒子进
0
入电场时的速度。
【答案】（1） ；（2） ；（3）0或
【详解】（1）由题意知在A点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q>0，故电场线由A指向C，
根据几何关系可知
所以根据动能定理有
解得
（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点
为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有
而电场力提供加速度有
联立各式解得粒子进入电场时的速度（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv，即在电场方向上速度变
0
化为v，过C点做AC垂线会与圆周交于B点
0
故由题意可知粒子会从C点或B点射出。当从B点射出时由几何关系有
电场力提供加速度
联立解得
当粒子从C点射出时初速度为0，粒子穿过电场前后动量变化量的大小为 ，该粒子进入电场时的速率
应为 或 。
另解：
由题意知，初速度为0时，动量增量的大小为 ，此即问题的一个解。自A点以不同的速率垂直于电场
方向射入电场的粒子，动量变化都相同，自B点射出电场的粒子，其动量变化量也恒为 ，由几何关系
及运动学规律可得，此时入射速率为
策略(二) 大题小做
物理压轴题一般文字叙述量较大，涉及的物理过程与情境较复杂，物理模型较多且不明显，甚至很隐
蔽，要运用较多的物理规律进行论证或计算才能求得结论。能否顺利地突破求解，关键是能否顺利地将题
中复杂的物理运动过程分解为若干个独立的、较为简单的过程，即将大题小做，各个击破。
【例2】（2023·湖北·华中师大一附中校考一模）如图所示，M N P Q 和MN P Q 为在同一水平面内足
1 1 1 1 2 2 2 2
够长的金属导轨，处在磁感应强度B=2 T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．导轨的MN 段与M N 段相
1 1 2 2互平行，间距为2 m；PQ 段与PQ 段平行，间距为1m．两根质量均为m=lkg、电阻均为R=0.5Ω的金属
1 1 2 2
杆a、b垂直于导轨放置，杆的长度恰好等于导轨间距．一根不可伸长的绝缘轻质细线一端系在金属杆b的
中点，另一端绕过轻小定滑轮与质量为m 的重物c相连，线的水平部分与PQ 平行且足够长，c离地面足
c 1 1
够高．已知两杆与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.4，不计导轨电阻及电磁辐射，重力加速度为g=10 m/s2。
（1）若要保持整个系统静止，重物c的质量不能超过多少？
（2）若c的质量改为m=0. 6kg，将c由静止释放并开始计时，杆在运动过程中始终保持与轨道垂直且接
c
触良好，求金属杆b的最大速度．
（3）在（2）的条件下，已知t=4 s时，金属杆b已经非常接近最大速度，求这4s的过程中a棒上产生的
焦耳热。
1．第(1)问可拆分为2个小题
①求平衡时细线上的拉 建模：重物c二力平衡模型
力大小F 是多少？ 规律：两力大小相等方向相反，即F ＝mg
T T c
②细线上的拉力大小与b 建模：静摩擦力作用下的平衡
杆受到的静摩擦力 F 满 规律：合力为零，静摩擦力小于等于最大静摩擦力(如果没有
f
足什么关系时b杆能处于 特别说明一般认为最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小)，
平衡状态？ 即F ＝F≤F ＝μmg
T f fmax
2.第(2)问可拆分为4个小题
①b杆有最大速度时受到的 建模：b杆与重物c系统处于平衡状态
最大安培力大小F 是多少？ 规律：系统合力为零，即m′g＝μmg＋F
b c b
②a杆受到的最大安培力大 建模：两杆在同一时刻电流大小相同，但a杆的长度是b的两
小F 与b杆受到的最大安培 倍
a
力大小F 有何关系？ 规律：由安培力公式得F＝2F
b a b
③此过程中a杆的运动状态 分析：由于F＝2F＝μmg
a b
如何？ 结论：a杆一直不动
④b杆运动的最大速度v与b 建模：b杆相当于电源，a杆与导轨组成外电路
杆受到的最大安培力大小有 规律：E＝BL v，I＝，F＝BIL
b b b何关系？
3.第(3)问可拆分为4个小题
①在4 s内细线上拉力的平均 建模：重物c的变速运动
冲量是多大？ 规律：动量定理m′gt－t＝m′v
c c
②在t＝4 s时间内b杆受到安 建模：b杆的变速运动
培力的平均冲量是多大？ 规律：动量定理t－μmgt－t＝mv
b
建模：b杆与a杆及导轨组成的闭合电路
③在t＝4 s时间内b杆受到安
规律：法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定
培力的平均冲量与b杆运动的
律、安培力公式、电流与冲量的定义式，即 t＝
b
距离有何关系？
BL t，t＝t＝
b
建模：b杆克服安培力做的功等于回路产生的焦
④在t＝4 s时间内，重物c与
耳热，此过程中两杆产生的焦耳热Q相等
两杆组成电路中的功能关系如
规律：能量守恒定律，即m′gx＝(m＋m′)v2＋
c c
何？
μmgx＋2Q
【答案】（1） ；（2）v=0.5m/s；（3）
【详解】（1）b静止时，a一定也能静止，根据平衡条件得
解得
（2）设b运动的最大速度v，回路的电流为I，此时细绳的拉力为
又
联立解得
根据
解得
根据
解得
（3）分别对b和c，由动量定理又
联立解得b的位移为
对a、b和c，能量守恒定律得
解得
a上产生的焦耳热为
【例2】（2021·全国·高考真题）如图，一倾角为 的光滑固定斜面的顶端放有质量 的U型导
体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻 的金属棒 的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路
； 与斜面底边平行，长度 。初始时 与 相距 ，金属棒与导体框同时由静
止开始下滑，金属棒下滑距离 后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）
与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的
边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场
的磁感应强度大小 ，重力加速度大小取 。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【规范审题】
第一步：审题切入点
(1)确定运动对象
金属棒和导体框两个物体，分别对两个物体受力分析，判断它们的受力和运动情况。
(2)运动过程分析
运动过程可分为4个阶段：第1阶段：金属棒进入磁场前，金属棒和导体框在光滑斜面做匀加速运动；
第2阶段：金属棒进入磁场做匀速运动，导体框做匀加速运动；
第3阶段：导体框的EF边进入磁场做匀速运动，金属棒做加速运动；
第4阶段：金属棒与导体框速度相同后，导体框做加速运动。
第二步：破题关键点
(1)要搞清金属棒与导体框之间的相对运动，明确各个阶段速度大小关系，第 1阶段两者共同运动，没有相
对运动；第2阶段导体框速度大于金属棒速度；第3阶段导体框速度大于金属棒速度；第4阶段导体框速
度小于金属棒速度。
(2)对金属棒与导体框之间的摩擦力的判断，在第1阶段不存在摩擦力；在第2阶段金属棒受到的摩擦力沿
斜面向下；第3阶段金属棒受到的摩擦力沿斜面向下；第4阶段金属棒受到的摩擦力沿斜面向上。
第三步：计算环节分析
(1)利用机械能守恒定律计算金属棒进入磁场时的速度；
(2)利用动能定理计算导体框EF进入磁场时的速度；
(3)利用平衡条件列平衡方程求解金属棒的质量及动摩擦因数；
(4)利用牛顿第二定律和运动学公式求解导体框匀速运动的距离。
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】、
【详解】（1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
（2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，
之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可
有此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为
当金属棒刚好离开磁场区域时，则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端EF刚好进入磁场，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得
（3）金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，则有
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有
导体框匀速运动的距离为
代入数据解得【例3】（2024·云南联考模拟预测）电子对湮灭是指电子e－和正电子e＋碰撞后湮灭，产生伽马射线的过
程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描(PET)及正电子湮灭能谱学(PAS)的物理基础．如图所示，在
平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且OP＝2L，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ象限内有平行于y轴的
匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，OA＝L，在第Ⅳ象限内有一未
知的矩形区域(图中未画出)，未知矩形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平
面向里．一束速度大小为v 的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电
0
场区域；另一束速度大小为 v 的正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入
0
未知矩形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两
束粒子速度方向相反．已知正、负电子质量均为m、电荷量大小均为e，电子的重力不计．求：
(1)圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小；
(2)电子从A点运动到P点所用的时间；
(3)Q点纵坐标及未知矩形磁场区域的最小面积S．
【审题破题】
1.明确场的组合，拆分运动过程，作出运动轨迹图(如图甲)。
甲 乙
2.电子从A到C轨迹为圆周，运动时间为t＝T；电子在电场中从C到P做类平抛运动，根据运动的合成与
分解求运动时间。3.正电子进入未知矩形磁场区域偏转，要使矩形磁场面积最小，右侧应与轨迹相切。
在P点正、负电子正碰发生湮灭，判断速度方向与x轴的夹角，画出正电子运动示意图(如图乙)。
【答案】(1) ； (2) (3)－4L，S＝2L( －1)L＝2( －1)L2
【详解】(1)电子束a从A点沿y轴正方向发射，经过C点，由题意可得电子在磁场中运动的半径
R＝L
又evB＝
0
解得B＝
电子在电场中做类平抛运动，得2L＝vt
01
又
加速度为a＝
解得E＝ ，t＝
1
(2)在磁场中运动的周期
电子在磁场中运动了四分之一圆周，则t＝ T＝
2
在电场中运动时间t＝ ，故从A到P的时间t＝t＋t＝
1 1 2(3)速度为 v 的正电子在磁场中运动的半径
0
电子从P点穿过x轴时与x轴正方向夹角为θ
v＝v
y 0
θ＝
故Q点的纵坐标y＝－( R＋2Ltan )＝－4L
2
未知矩形磁场区域的最小面积为图中矩形PFMN的面积S＝2L( －1)L＝2( －1)L2
策略(三) 规范答题
物理规范答题主要体现在三个方面：思想方法的规范化，解题过程的规范化，物理语言和书写的规范化。
依据高考试题的参考答案和评分标准，总结出如下四步规范化答题模式：
1．画图分析
主要是画原理分析图和物理过程示意图(如受力分析图、运动示意图、等效电路图、光路图等)。目的是有
助于解题过程表述的简洁性，更有助于分析题意，找出解题方法。
2．写出必要的文字说明
目的是展示物理问题发展的前因后果。文字说明的语言要简洁、明确、规范，主要有下列六个方面：
(1)说明研究对象，可采用“对物体A”“对A、B组成的系统”等简洁的形式。
(2)指出物理过程和状态，如“从A→B”“在t时刻”等简单明了的说法。
(3)假设所求的物理量或题中没有但解题却需要的中间变量，如“设……”“令……”等熟知的说法或“各
量如图中所示”(在原理图上标出各量)。
(4)写明解题依据，如“由……定律有”“据……得”等。
(5)解题过程中必要的关联词，如“将……代入”“由……得出”等。
(6)对原因、结果的补充说明，如“因为……”“所以……”“大于”“小于”等。
3．列出方程式
主要是物理公式和与解题相关的数学公式。该步骤要注意以下三点：
(1)一定要写方程的原式，而不是变形式或结果计算式。
(2)所列方程要与解题密切相关，不要堆砌方程。方程过多，容易造成解题的混乱。
(3)列方程时，物理量的符号要用题中所给的符号。若使用题中没有的物理量符号时，也一定要使用课本上
统一的符号。4．准确演算明确结果
(1)解题过程详略得当
写出重要的关系式和推导步骤，详细的推导、整理过程一般不用写。
(2)代数运算正确
从原方程求解最后结果时，要先推导出最简形式的计算式，再把单位统一后的数据代入，写出计算结果和
单位，中间运算过程无须写上。要尽量避免步步计算。
(3)结果表达准确
结果的表达要明确，要有数值和单位。如果是矢量，要用正负号表示或说明其方向性。
(4)做出必要的说明和讨论
如果需要说明或讨论的，一定要有准确的说明或必要的讨论。
【例1】间距L＝0.5 m的两平行金属导轨由倾斜部分和水平部分(足够长)组成，两部分通过绝缘材料在
D、E两点平滑连接，倾斜部分导轨与水平面间夹角为θ＝30°，导轨上端接有R＝1 Ω的电阻。空间分布如
图所示的匀强磁场，倾斜导轨的磁场方向垂直导轨平面ACDE向上，磁感应强度B＝1 T，水平区域GF边
界右侧磁场方向竖直向上，磁感应强度大小为2 T，DEFG为无场区域。现有三根长度均为L＝0.5 m的金
属棒a、b、c与导轨良好接触，其质量m＝0.1 kg、m＝0.2 kg、m＝0.1 kg，其电阻R＝1 Ω，R＝1 Ω，R
a b c a b c
＝2 Ω，金属棒a由静止释放，释放处离水平导轨的高度为h＝5 m。金属棒在到达ED边界前速度已达到稳
定，金属棒b、c放置在水平导轨上。不计一切摩擦阻力及导轨的电阻，金属棒一直处在导轨上，且与导轨
保持垂直，始终未相碰，重力加速度为g＝10 m/s2。求：
(1)金属棒a运动过程中的最大速度v ；
m
(2)金属棒a下滑过程运动的总时间t；
(3)金属棒a进入GF后，金属棒b最终如何运动？此过程中金属棒b产生的焦耳热。
【答案】 (1)4 m/s (2)3.3 s (3)见解析
【解析】
(1)对金属棒a：速度稳定时，受力平衡，有mgsin θ＝ILB 1分
a
由闭合电路欧姆定律得I＝ 1分
解得v ＝4 m/s。 1分
m
(2)由动量定理得：mgtsin θ－ILBt＝mv 1分
a a m
又It＝ 1分解得t＝3.3 s。 1分
(3)b棒最终做匀速运动，且a、b、c的速度相同
对a、b、c棒组成的系统，由动量守恒定律知
mv ＝(m＋m＋m)v′
a m a b c
代入数值解得v′＝1 m/s 1分
由能量守恒定律得
Q＝mv－(m＋m＋m)v′2
a a b c
得Q＝0.6 J 1分
又Q∶(Q＋Q)＝1∶
a b c
Q∶Q＝2∶1 1分
b c
代入数值解得
Q＝0.16 J。 1分
b
【例2】如图为一游戏装置的示意图，倾斜轨道上物块A距离水平面高H＝1.2 m，细管轨道半径R＝0.50
1
m，圆轨道半径R＝0.40 m，两圆轨道间EF段长L＝0.5 m，让物块A从斜面上由静止滑下与静止在水平面
2
上的物块B发生弹性正碰，两物块的质量均为m＝0.1 kg，两物块与EF段间的动摩擦因数均为μ＝0.1，轨
道其余部分均光滑。两物块均可视为质点，g取10 m/s2。
(1)求第一次碰撞后，物块B的速度；
(2)求物块B第一次通过两圆轨道最高点C和D时，轨道分别对物块B的弹力；
(3)若在轨道左端放置一顺时针匀速转动的足够长的传送带，试分析传送带的速度v满足什么条件时，物块
A、B一定发生第二次碰撞。
【答案】 (1)2 m/s (2)0.2 N，方向竖直向上 0.75 N，方向竖直向下 (3)v ≥ m/s
带
【解析】
(1)由机械能守恒定律得mgH＝mv，解得v＝2 m/s 1分
0
A和B发生弹性碰撞，由动量守恒定律得mv＝mv ＋mv 1分
0 A B
A和B发生弹性碰撞，由机械能守恒定律得mv＝mv＋mv 1分
解得v ＝0，v ＝v＝2 m/s 1分
A B 0
(2)B运动至C，由动能定理得－2mgR＝mv－mv
1解得v ＝2 m/s 1分
C
在C点：F ＋mg＝m
NC
解得F ＝－0.2 N，故在C点轨道对物块B弹力大小为0.2 N，
NC
方向竖直向上 1分
B运动至D，由动能定理得－2mgR－μmgL＝mv－mv
2
解得v ＝ m/s 1分
D
在D点：F ＋mg＝m
ND
解得F ＝0.75 N，方向竖直向下 1分
ND
(3)B物体刚上传送带时－μmgL＝mv－mv，解得v＝ m/s 1分
1
若B刚好能过D点，则－2mgR＝mv－mv，v ＝
2 临
解得v＝2 m/s 1分
2
若B刚好能过C点，则
－2mgR－μmgL＝0－mv，解得v＝ m/s 1分
1 3
综上得v≥ m/s。 1分
计算题技法专练
1.（2024·湖南长沙·统考模拟预测）某发光二极管由一种透明材料封装而成，为研究其光学属性，某同学
找来一个用这种材料制成的半圆柱体，其横截面是半径为 的半圆， 是半圆的圆心， 为水平直径。
单色光 以入射角 从A点射入半圆柱体，经 折射后到达弧面上的 点，如图所示。已知
间的水平距离为 ，真空中的光速为 ，求∶
（1）该材料对单色光 的折射率 ；
（2）单色光 从A到 的传播时间 。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设单色光a从A点射入半圆柱体的折射角为 ，做出辅助线，如图由几何关系可知
根据折射率的公式可得
（2）根据
由图可知
单色光 从A到 的传播时间为
2．（2024·山西临汾·统考一模）如图所示，排球比赛中运动员将排球从M点以 的速度水平击
出，当球飞到P点时被对方运动员击出，球又斜向上飞出后经过M点正下方的N点，N、P两点等高且水
平距离为10m。球斜向上飞出后轨迹最高点与M点等高。不计空气阻力，重力加速度取 。求：
（1）M、N两点间的高度差h；
（2）在P点排球被击出时排球速度的大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）排球从M到P做平抛运动
解得（2）被击回的排球在最高点Q起做平抛运动
得
从P到Q，根据机械能守恒
解得
3．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图甲所示，一个质量不计的活塞将一定质量的理想气体封闭在上端开
口的直立圆筒形导热气缸内，气体温度T = 400K，气柱的高度为h = 24cm，在气缸内壁有固定的小卡
1
环，卡环到气缸底的高度差为10cm。现在活塞上方缓慢堆放细沙，直至气柱长度减为h = 16cm时停止
1
堆放细沙，如图乙所示。之后对气体缓慢降温至T = 100K。已知大气压强为p = 1 × 105Pa，气缸的横
2 0
截面积为S = 1 × 10−4m2，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）堆放细沙的质量m；
（2）温度降为T 时气体的压强。
2
【答案】（1）0.5kg；（2）6 × 104Pa
【详解】（1）乙状态的平衡方程
从甲状态到乙状态经历等温过程
得m = 0.5kg
（2）从甲状态到活塞刚与小卡环接触时有
解得T′ ≈ 167K
而167K > 100K，则说明100K时活塞已经与卡环接触，则从甲状态到末状态，由理想气体状态方程得得p = 6 × 104Pa
2
4．（2024上·山西吕梁·高三统考期末）如图所示，某足够宽的空间有垂直纸面向外的磁感应强度为
的匀强磁场，质量为 且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为
、带电荷量 的滑块，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数为 ，滑块受到的最大静摩擦力
可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左、大小为 的恒力，g取 。求：
（1）刚开始滑块的加速度大小 以及滑块受到的摩擦力大小 ；
（2）滑块匀加速所达到的最大速度 以及绝缘木板运动的最大加速度 。
【答案】（1） ， ；（2） ，
【详解】（1）整体为对象
小滑块为对象
得
匀加速结束时，滑块
得
又有
所以
当滑块与绝缘木板之间弹力为零时，二者间滑动摩擦力也为零。绝缘木板加速度达到最大，有
得
5．（2024上·山西吕梁·高三统考期末）如图所示，足够长的U形粗糙金属导轨，其平面与水平面成 角，其中导轨MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，NQ之间电阻为r，其
余部分金属导轨电阻不计，金属棒ab与导轨之间的摩擦因数为 ，金属棒由静止释放后可以沿导轨下滑，
并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，求：
（1）导体棒ab在导轨上运动的最大速度 是多少？
（2）当导体棒ab在导轨上运动速度大小为 时下滑的距离为x，求此过程导体棒ab上产生的焦耳
热 和流过ab棒横截面的电荷量q。
【答案】（1） ；（2） ，
【详解】（1）导体棒ab在导轨上运动达到最大速度时
根据平衡条件有
得
（2）根据能量守恒定律得
故导体棒ab上产生的焦耳热
所以
棒下滑位移的大小为x时解得
6．（2024上·湖南张家界·高三统考期末）如图所示，水平地面上的木板中央竖直固定一根长为 的轻杆，
轻杆顶端用长为 的轻绳连接一可看作质点的小球，初始时把小球拉至水平，由静止释放，小球摆动到最
低点时与轻杆发生碰撞瞬间二者合为一体，之后整体在水平地面上向左做匀减速直线运动。已知小球与木
板的质量均为 ，小球向下摆动过程中木板恰好不滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小
为 ，求：
（1）木板对水平地面的最大压力 ；
（2）木板与地面间因摩擦产生的热量 ；
（3）木板沿水平地面向左滑动的距离 。
【答案】（1）4mg；（2） ；（3）
【详解】（1）小球与轻杆碰撞前，轻绳中的张力最大，设此时小球的速度大小为 ，轻绳中张力为T，
则有
解得
（2）小球损失的机械能全部转化为内能，设碰撞后整体的速度大小为 ，碰撞过程中产生的热量为 ，结合能量守恒定律可得
解得
（3）设木板与地面间的动摩擦因数为 ，当轻绳与水平方向的夹角为 时，小球的速度大小为v，轻绳中
张力大小为T，要使木板不滑动，则轻绳中拉力在水平方向的分力不大于对应木板受到的最大静摩擦力，
有
解得
显然上式右边为第一象限内单位圆上的点与定点 连线斜率的相反数，如图
当 时，存在极值，即 ，所以
解得
7．（2024上·江苏苏州·高三校考阶段练习）如图所示，质量为 、带有 圆弧形槽的物体放在
水平地面上，弧形槽的最低点静置一可视为质点、质量为 的物块，质量为 的橡皮泥以大小为 、水平向右的速度与物块发生碰撞，碰撞后二者不分离，此后物块沿弧形槽上滑，已知
弧形槽的最低点距离地面的高度为 ，弧形槽的半径为 ，弧形槽底端切线水平，忽略一切
摩擦和橡皮泥与物块的碰撞时间，重力加速度。 。求：
（1）橡皮泥击中物块后瞬间物块对弧形槽的压力大小；
（2）物块沿弧形槽上滑的最大高度；
（3）物块落地瞬间到物体最左端的距离。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）橡皮泥击中物块过程，根据动量守恒可得
解得橡皮泥击中物块后瞬间速度大小为
根据牛顿第二定律可得
解得
根据牛顿第三定律可知，橡皮泥击中物块后瞬间物块对弧形槽的压力大小为 。
（2）物块沿弧形槽上滑的最大高度时，物块与弧形槽具有相同的水平速度，根据系统水平方向动量守恒
可得
解得
根据系统机械能守恒可得
解得物块沿弧形槽上滑的最大高度为
（3）设物块回到弧形槽底端时，物块和弧形槽的速度分别为 、 ，根据系统水平方向动量守恒可得
根据系统机械能守恒可得联立解得 ，
物块离开弧形槽后做平抛运动，竖直方向有
解得
则物块落地瞬间到物体最左端的距离为
8．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角 的直轨道 ，半径 的
圆弧轨道 ，长度 、倾角为 的直轨道 ，半径为R、圆心角为 的圆弧管道 组成，轨
道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量 滑块b，其上表面与轨道末端F所
在的水平面平齐。质量 的小物块a从轨道 上高度为h静止释放，经圆弧轨道 滑上轨道
，轨道 由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数 ，向下运动时动摩擦因数
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a滑块b上滑动时动摩擦因数恒为 ，小物块a动
到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，
， ）
（1）若 ，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在 上经过的总路程；
③在 上向上运动时间 和向下运动时间 之比。
（2）若 ，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。【答案】（1）①16m/s2；②2m；③1∶2；（2）0.2m
【详解】（1）①对小物块a从A到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有
第一次经过C点的向心加速度大小为
②小物块a在DE上时，因为
所以小物块a每次在DE上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE上的滑动使机械能损失，最终
小物块a将在B、D间往复运动，且易知小物块每次在DE上向上运动和向下运动的距离相等，设其在
上经过的总路程为s，根据功能关系有
解得
③根据牛顿第二定律可知小物块a在DE上向上运动和向下运动的加速度大小分别为
将小物块a在DE上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式有
解得
（2）对小物块a从A到F的过程，根据动能定理有
解得
设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守恒定
律有解得
9．（2024上·四川·高三校联考期末）如图所示，平面直角坐标系xOy的第二象限内存在沿x轴正方向、电
场强度大小为E的匀强电场，第一象限内一梯形区域中存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁
场（图中未画出），点P处的质子源由静止释放的质子在电场力的作用下加速后，从Q点进入第一象限，
经磁场偏转后从N点垂直x轴射入第四象限。已知P、Q、N三点的坐标分别为 、 、 ，
质子的质量为m、带电荷量为e，不计质子受到的重力，求：
（1）质子的最大速度v；
（2）质子从P点运动到N点的时间t；
（3）第一象限内匀强磁场区域的最小面积S。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）质子在电场力的作用下加速，根据动能定理有
质子的最大速度为
（2）质子从从Q点进入第一象限，经磁场偏转后从N点垂直x轴射入第四象限，画出轨迹如图所示。质子在电场中运动有
质子在磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力
质子做匀速直线运动的时间为
质子在磁场中运动的时间为
质子从P点运动到N点的时间为
（3）质子在磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力
则第一象限内匀强磁场区域的最小面积为
10．（2024上·江西宜春·高三江西省宜春市第一中学校考阶段练习）如图所示，光滑的玻璃管竖直固定放
置，管内轻弹簧固定在玻璃管的底部，质量为6m的小球A固定在轻弹簧的上端，质量均为m的小球B、C
用轻杆连接，在管内距A球一定高度处由静止释放，A、B、C三球的直径均略小于管的内径，A、B两球
碰撞后粘在一起，碰撞后反弹至最高点时，A球的加速度大小为 ，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为
k，弹簧始终在弹性限度内，求：
（1）B球与A球碰撞后一瞬间，轻杆对C球的作用力大小；（2）碰撞后一瞬间，三个球的速度大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）B球与A球碰撞后一瞬间，设A、B、C三球的加速度为a，根据牛顿第二定律
开始时
设碰撞后一瞬间，杆对小球C的作用力为T，则有
解得
（2）设反弹上升到最高点时，弹簧的伸长量为x，根据题意
解得
设碰撞后一瞬间三个球的速度大小为v，根据机械能守恒定律有
解得
11．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距l = 1m，其
电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。杆1、杆2是两根用细线连接的金属杆，质量分别
为m = 0.1kg和m = 0.4kg，两杆垂直导轨放置，且两端始终与导轨接触良好，两杆的总电阻R = 2Ω，
1 2
两杆在沿导轨向上的外力F作用下保持静止。整个装置处在磁感应强度B = 1T的匀强磁场中，磁场方向
与导轨所在平面垂直，在t = 0时刻将细线烧断，保持F不变，重力加速度g取10m/s2，求：（1）细线烧断后，两杆最大速度v、v 的大小；
1 2
（2）两杆刚达到最大速度时，杆1上滑了0.8m，则从t = 0时刻起到此刻用了多长时间？
【答案】（1）v = 3.2m/s，v = 0.8m/s；（2）0.41
1 2
【详解】（1）线烧断前F = (m＋m)gsin30°
1 2
细线烧断后F = F
安1 安2
方向相反，由系统动量守恒得mv = mv
1 1 2 2
两棒同时达到最大速度，之后做匀速直线运动。对棒2有
mgsn30° = BIl
2
I =
解得
v = 3.2m/s
1
v = 0.8m/s
2
（2）由系统动量守恒得mv = mv
1 1 2 2
则mx = mx
1 1 2 2
即x = 0.2m
2
设所求时间为t，对棒2由动量定理得
mgsin30°·t－B ·t = mv－0
2 2 2
解得t = 0.41s
12．（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）由A、B、C三部分组成的滑道放置在光滑水
平面上，其中A部分为上表面光滑的“L”形平台，其上方有一与其等长轻质弹簧，弹簧左端固定在挡板上，
右端自然伸长；B部分为质量m =1kg、长L=5.0m的长木板；C部分为半径R=0.2m的竖直光滑半圆轨道。
B
现将质量m=4kg的小物块（视为质点）压缩弹簧至P点后由静止释放。如图甲，若A、B、C均锁定，小
物块恰能运动至半圆轨道最高点S。如图乙，解除对B、C的锁定，在距离B的右端s（0.5R
