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专题14.24 因式分解（分组分解法）（分层练习）
一、单选题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解 的因式，分组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）将多项式 分解因式的结果为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）把 分解因式，正确的分组为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）观察下列分解因式的过程：
，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组
的思想方法，已知a，b，c满足 ，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角
形，下列描述正确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
5．（2022秋·八年级单元测试）把多项式 因式分解之后，正确的是（ ）A． B．
C． D．
6．（2023春·浙江宁波·七年级统考阶段练习）已知a，b为正整数，满足 ，则
的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
7．（2023春·全国·八年级专题练习）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2023春·七年级课时练习）若a、b为有理数，且a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0，则a＋3b＝（ ）
A．8 B．4 C．－4 D．－8
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2019的值为（ ）
A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-2021
10．（2023春·广东茂名·八年级校考期中）已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝
ab＋ac＋bc，则三角形ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
二、填空题
11．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）三角形三边分别为 、 、 ，且 ，
则这个三角形（按边分类）一定是 三角形．
12．（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）因式分解：
13．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解： ．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）分解因式： ．
15．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）分解因式： ．16．（2023·江西吉安·统考三模）分解因式： = ．
17．（2023秋·全国·八年级专题练习）分解因式： ．
18．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式： ．
19．（2023·上海·七年级假期作业）当 时，代数式
20．（2020秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣
226x+2019，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 ．
三、解答题
21．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）因式分解：
（1） ； （2） ．
22．（2023·江苏南京·九年级校考自主招生）因式分解：
（1） ； （2） ．
23．（2022秋·八年级课时练习）分解因式：
（1） ； （2） .
24．（2022春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）先阅读下面的内容，再解决问题：对于形如 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项
式 ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋ 中先加上一项 ，
使它与 的和成为一个完全平方式，再减去 ，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为
“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）若 ，并且 的三边长是a，b，c，且c为奇数，求 的周长．参考答案
1．D
【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．
解：
．
故选：D．
【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．
2．A
【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解．
解：，
故选：A．
【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
3．A
【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．
解：
．
故选：A．
【点拨】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正
好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．
4．A
【分析】先利用分组分解法进行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之间的关系，根据构成三角形
三边的要求，即可得出．
解： ，
，
，
或 ，
∴当 时，围成一个等腰三角形；
当 时，不能围成三角形；
故选： ．
【点拨A】题目主要考查利用分解因式求解、构成三角形的三边关系，理解题中例题的分组分解因式法
是解题关键．
5．D
【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．解：
故选：D．
【点拨】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．
6．C
【分析】将 利用分组分解法化为 ，再根据a，b为正整数，分类
讨论即可得到答案．
解：∵ ，
∴
∴
∴ ，
∵a，b为正整数，要使 最大，则b的值应比a大，
∴当 时， ；
当 时， ，
∴ 的最大值为76，
故选：C．
【点拨】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式．
7．A
【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．
解：a2b+ab2-a-b
=（a2b-a）+（ab2-b）
=a（ab-1）+b（ab-1）
=（ab-1）（a+b）将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．
故选：A．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．
8．D
【分析】根据已知，将其a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0变形为 ，利用非负数的性质，求出a和
b，最后代入即可.
解： a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝a2－2ab＋b2＋b2＋4b＋4＝
a-b=0 b+2=0
a+3b= 故选择D
【点拨】本题考查了利用公式进行变形，其次是平分的非负性，利用这个性质求得a,b的值是关键.
9．C
【分析】先将x2-2x-1=0变形为x2-2x=1，再将要求的式子逐步变形，将x2-2x=1整体代入降次，最后可
化简求得答案．
解：∵x2-2x-1=0，
∴x2-2x=1，
∵2x3-7x2+4x-2019
=2x3-4x2-3x2+4x-2019，
=2x（x2-2x）-3x2+4x-2019，
=6x-3x2-2019，
=-3（x2-2x）-2019
=-3-2019
=-2022，
故选：C．
【点拨】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体
代入思想的利用比较重要．
10．D
【分析】将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，再利用非负数的性
质求解即可．
解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
故选D．
【点拨】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关
键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
11．等腰
【分析】根据已知等式变形，因式分解为 ，可得 ，即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴这个三角形（按边分类）一定是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．
【分析】前两项利用平方差公式分解，将后两项组合，即可求解．
解：
故答案为：【点拨】本题考查因式分解．掌握平方差公式，正确的分组分解是解题关键．
13．
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．
【分析】先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，然后提出公因式，即可求解．
解：原式 ，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式
法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
15．
【分析】先分组得到 ，再把每组分解，然后提公因式即可．
解：原式
故答案为
【点拨】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，
一是分组后能出现公因式二是分组后能应用公式．
16．
【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解．解：
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
17．
【分析】本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前
三项提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式．
解：
=
=
=
=
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分组分解法，十字相乘法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑
分组后还能进行下一步分解，利用平方差公式分解后还要继续利用十字相乘法分解因式，注意分解因式要
彻底．
18． /（x-y+2）（x+y-2）
【分析】先分组成 ，再利用完全平方公式化为 ，最后利用平方差公式解答．
解：故答案为： ．
【点拨】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌
握相关知识是解题的关键．
19．
【分析】原式先提取x，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解．
解：∵ ， ，
∴
．
故答案为：0．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键．
20．3
【分析】根据a=-226x+2017，b=-226x+2018，c=-226x+2019，可以求得a-b、b-c、a-c的值，然后将所
求式子变形再因式分解即可解答本题．
解： ， ， ，
， ， ，故答案为：3．
【点拨】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，利用完全平方公式因式
分解，求出所求式子的值．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解；
（2）先分组，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解．
（1）解：
；
（2）
．
【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，提公因式法，乘法公式，以及分
组分解法．
22．（1） ；（2）
【分析】（1）先根据提公因式法以及平方差公式可得 ，从而得到
，再根据十字相乘法进行因式分解，即可求解；（2）先分组，再利用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，即可求解．
（1）解：
（2）解：
【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式
法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
23．（1） ；（2）
【分析】（1）先根据整式的乘法法则计算 ，然后再将 分成两个2xy，分别分组进行
因式分解即可；
（2）将 看作一个整体，先将原式变形 ，再利用十字相
乘法进行分解即可.
解：（1）原式（2）原式
【点拨】本题考查的是因式分解，熟练的掌握分组分解法，提公因式法，乘法公式法和十字相乘法是
解题的关键.
24．（1） ；（2）16或18或20
【分析】（1）根据题干中提供的方法进行解答即可；
（2）根据 ，得出 ，求出 ， ，根据三角形三边关
系得出 ，根据c为奇数，求出 ，7，9，然后分别求出结果即可．
（1）解：
；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∵a，b，c是 的三边长，
∴ ，
∵c为奇数，∴ ，7，9，
当 ， ， 时， 的周长是： ，
当 ， ， 时， 的周长是： ，
当 ， ， 时， 的周长是： ．
∴ 的周长为16或18或20．
【点拨】本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握配方法分
解因式．
