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第 03 讲 三角函数的图象与性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）将函数 的图像向右平移 个单
位长度，得到函数 的图像，则下列正确的是（ ）
A．直线 是 图像的一条对称轴 B． 的最小正周期为
C． 的图像关于点 对称 D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】由
，
则 图像向右平移 个单位长度可得，
，
因为 ，
所以 不是 图像的一条对称轴，A错；
由 ，得 的最小正周期为 ，B错；
由 ，
所以点 是 图像的一个对称中心，C正确；
由 ，则 ，
所以 在 上有增有减，D错.
故选：C
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数 图象的对称轴可以是
（ ）A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【答案】A
【解析】 ，
令 ，解得 ，
所以 的对称轴为直线 ，当 时， .
故选：A.
3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，然后横坐标
伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 在区间 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变得到 的图象，
再将 图象上所有点向左平移 个单位长度得到 的图象．
当 时， ， ．
故选：C.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，若对于任意实数x，都有
，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为对于任意实数x，都有 ，则有函数 图象关于点 对称，
因此 ，解得 ，而 ，
所以当 时， 取得最小值4.故选：C
5．（2023·河南·校联考模拟预测）某次实验得交变电流 （单位：A）随时间 （单位：s）变化的函数解析
式为 ，其中 且 ，其图象如图所示，则下列说法错误的是
（ ）
A． B．
C．当 时， D．当 时，
【答案】D
【解析】由题知 ，则 ，又 ，
则 ，所以当 时， ，
则 ，又 ，
则 ，因此 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
因此ABC正确，D错误，
故选：D.
6．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. 的增区间为 ，在整个定义域上不单调，故错误；
B. 的增区间是 ，在整个定义域上不单调，故错误；C. 在R上递增，故正确；
D. 的增区间是 ，在整个定义域上不单调，故错误；
故选：C
7．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数 ， ，将函数 的图象经过下
列变换可以与 的图象重合的是（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【解析】因为 ，
所以将 向右平移 个单位得到 .
故选：D
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数 ，则关于 的
下列结论不正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C． 在区间 上是单调递减函数
D．将 的图象向左平移 个单位即可得到 的图象
【答案】D
【解析】∵ ，∴ 的图象关于直线 对称，故A正确；
∵ ，∴ 的图象关于点 对称，故B正确；
令 ，则 ，函数 在区间 上是减函数，根据复合函数的单调性知， 在区间 上是单调递减函数，故C正确；
∵ ，
∴将 的图象向左平移 个单位即可得到 的图象，
而 时， ，故D错误，
故选：D.
9．（多选题）（2023·福建漳州·统考模拟预测）把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，
纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上有2个零点
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上的值域为
【答案】BC
【解析】把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
可得到 的图象；
再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
时， ，
则 在 单调递减，在 单调递增，故A错误；
令 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 或 ，所以 在 上有2个零点，故B正确；
因为 ，为 的最大值，所以直线 是 的图象的一条对称轴，故C正确；
当 时， ， ，故D错误.
故选：BC
10．（多选题）（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）已知函数 的图象
向左平移 ）个单位长度后对应的函数为 ，若 在 上单调，则 的可取（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】依题意， ，于是 ，
当 时， ，
当 在 上单调递增时， ，
即 ，解得 ，不存在整数 使得 取得ABCD选项中的
值；
当 在 上单调递减时， ，
即 ，解得 ，
当 时， ，CD符合，不存在整数 使得 取得AB选项中的值.
故选：CD
11．（多选题）（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数 的初相为 ，则下列结论正
确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B．函数 的一个单调递减区间为C．若把函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则 为偶函数
D．若函数 在区间 上的值域为
【答案】AB
【解析】由题意知 ，所以 ．
对于选项A， ，所以 的图象关于直线 对称，故A项正确；
对于选项B，由 ， ，得 ， ，
则当 时，函数 的一个单调递减区间为 ，故B项正确；
对于选项C， 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，
所以 为奇函数，故C项错误；
对于选项D，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即： 在区间 上的值域为 ，故D项错误．
故选：AB.
12．（多选题）（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数 ，
其图象相邻对称轴间的距离为 ，点 是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 图象的一条对称轴方程是
C．函数 在区间 上单调递增
D．将函数 图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数 的图象
【答案】ACD
【解析】因为函数 图象相邻对称轴间的距离为 ，则 ，即 ，所以 正确；
因为 ，则 ，即 ，且点 是对称中心，
当 时， ，即 ，
又 ，所以 ，即 .
令 ,解得 ，
所以函数 的对称轴为 ，所以 错误；
令 ,解得 ，
函数 的单调增区间为： ，所以C正确；
函数 图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，得到 的图象，
再把得到的图象向左平移 个单位长度，得函数 ，所以 正确.
故选:ACD.
13．（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数 为奇函数，则 的最小值为
______.
【答案】
【解析】因为函数 为R上的奇函数，
所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 的最小值为 .
故答案为：
14．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 ，当（其中 ）时， 有且只有一个解，则 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由于 ，
所以 有且只有一个解，即 有且只有一个解，
因为 ，所以 ，
由题意知 ，解得 ，
即 的取值范围是为 ，
故答案为：
15．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集
的函数 __________.
①最小正周期为2；② ；③无零点.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 的定义域为 ，
最小正周期为 ，
因为 ，所以 ，
所以 无零点，
综上， 符合题意
故答案为： .
16．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）若函数 的图像向右平移 个单位长度后得到函数 的图像，若对满足 的 ， ，有 的最小值为 ，则
________．
【答案】
【解析】由函数 的图像向右平移 ，可得
由 可知一个取得最大值一个取得最小值，
不妨设 取得最大值， 取得最小值，
， ， ．
可得 ，
所以 ，
的最小值为 ，
，得 ，
故答案为： .
17．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示.
(1)求 的最小正周期及解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最
大值和最小值.
【解析】（1）由图象可知 的最大值为1，最小值-1，故 ；
又 ∴ ，
将点 代入 ，∴ ，
∵ ∴
故答案为： ， .
（2）由 的图象向右平移 个单位长度得到函数
∵
∴
∴当 时，即 ， ；
当 时，即 ，
故答案为：
18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数
，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标
相差 ，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数 的图象向左平移 个单位长
度后得到的图象关于y轴对称且 ；②函数 的图象的一个对称中心为 且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若
函数 在区间 上恰有3个零点，求t的取值范围.
【解析】（1）由题意可得
，
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差 ，故 ,
故若选①，函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象对应的函数为 ，
由题意知该函数为偶函数，故 ，
由于 且 ，即 ，故 ，
故 ；
若选②，函数 的图象的一个对称中心为 且 ，
则 ，
由于 且 ，即 ，故 ，
故 ；
（2）由题意可得 ，
由于 在区间 上恰有3个零点，故 ，
即 .
19．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数 在区间 上恰有3个零
点，其中 为正整数.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求函数 的单调区间.
【解析】（1）由 ，得 ，
因为函数 在区间 上恰有3个零点，
于是 ，解得 ，而 为正整数，因此 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，由 ，得 ，即有 ，
因此 ，
由 ，解得 ，
所以函数 的单调减区间为 .
20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，
再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的 （ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．
(1)若 ，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若函数 在区间 上没有零点，求ω的取值范围．
【解析】（1）函数 的图象先向右平移 个单位长度，则解析式变为：
，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的 （ω＞0）倍（纵坐标不变），
则解析式变为 .则 .
当 时， ，
因函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
， .
∴ ，∴ 在区间 上的最大值为 ．
（2） ，当 时， ，
要使 在 上无零点，则 ， .， ， ， ，
当 时， ；当 时， ，
当 时， 舍去．
综上： 的取值范围为 ．
1．（2023•天津）已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式可能为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ：若 ，则 ，
令 ， ，则 ， ，显然 不是对称轴，不符合题意；
：若 ，则 ，
令 ， ，则 ， ，
故 是一条对称轴， 符合题意；
，则 ，不符合题意；
，则 ，不符合题意．
故选： ．
2．（2022•天津）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 ， 上单调递增；③当 ， 时， 的取值范围为 ， ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】对于 ，它的最小正周期为 ，故①错误；
在 ， ， ， ，函数 单调递增，故②正确；
当 ， 时， ， ， 的取值范围为 ， ，故③错误；
的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到，故④错误，
故选： ．
3．（2022•浙江）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】
【解析】把 图象上所有的点向右平移 个单位可得 的图象．
故选： ．
4．（2022•新高考Ⅰ）记函数 的最小正周期为 ．若 ，且
的图像关于点 ， 中心对称，则
A．1 B． C． D．3
【答案】
【解析】函数 的最小正周期为 ，
则 ，由 ，得 ， ，的图像关于点 ， 中心对称， ，
且 ，则 ， ．
， ，取 ，可得 ．
，则 ．
故选： ．
5．（2022•甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ，若 关于
轴对称，则 的最小值是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ，
则 对应函数为 ，
的图象关于 轴对称， ， ，
即 ， ，
则令 ，可得 的最小值是 ，
故选： ．
6．（2022•甲卷）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】当 时，不能满足在区间 极值点比零点多，所以 ；
函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，
， ，，
求得 ，
故选： ．
7．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的图像关于点 ， 中心对称，
则
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 ， 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】
【解析】因为 的图象关于点 ， 对称，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故 ，
令 ，解得 ，
故 在 单调递减， 正确；
， ， ， ，
根据函数的单调性，故函数 在区间 ， 只有一个极值点，故 错误；
令 ， ，得 ， ， 显然错误；，
求导可得， ，
令 ，即 ，解得 或 ，
故函数 在点 处的切线斜率为 ，
故切线方程为 ，即 ，故 正确．
直线 显然与 相切，故直线 显然是曲线的切线，故 正确．
故选： ．
8．（2023•新高考Ⅱ）已知函数 ，如图， ， 是直线 与曲线 的两个交
点，若 ，则 ．
【答案】
【解析】由题意：设 ， ， ， ，则 ，
由 的图象可知：
，即 ，
，
又 ， ， ，
即 ， ，
观察图象，可知当 时， 满足条件，
．故答案为： ．
9．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 在区间 ， 有且仅有3个零点，则 的取值范
围是 ．
【答案】 ，
【解析】 ， ，函数的周期为 ， ，可得 ，
函数 在区间 ， 有且仅有3个零点，
可得 ，
所以 ．
故答案为： ， ．
10．（2022•上海）函数 的周期为 ．
【答案】
【解析】
，
．
故答案为： ．
11．（2022•乙卷）记函数 ， 的最小正周期为 ．若 ，
为 的零点，则 的最小值为 ．
【答案】3．
【解析】函数 ， 的最小正周期为 ，
若 ， ，则 ，
所以 ．
因为 为 的零点，所以 ，
故 ， ，所以 ， ，
因为 ，则 的最小值为3．故答案为：3．
12．（2023•北京）已知函数 ， ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 在 ， 上单调递增，且 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，求 、 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在 ， 上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ）因为函数 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ．
（Ⅱ）若选①： ；
因为 ，
所以 在 和 时取得最大值1，这与 在 ， 上单调递增矛盾，所以 、 的值不
存在．
若选②： ；
因为 在 ， 上单调递增，且 ，
所以 在 时取得最小值 ， 时取得最大值1，
所以 的最小正周期为 ，计算 ，
又因为 ，所以 ， ，
解得 ， ；又因为 ，所以 ；
若选③： 在 ， 上单调递减，因为 在 ， 上单调递增，且 ，
所以 在 时取得最小值 ， 时取得最大值1，
所以 的最小正周期为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
解得 ， ；
又因为 ，所以 ．
