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第 03 讲 极值与最值
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）函数 的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 定义域为 ，
所以 ，令 得 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值．
故选：D
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数 ，则（ ）
A． 有一个极值点
B． 有两个零点
C．点（0，1）是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】C
【解析】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A错
误；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：C.
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若 在 和 处有极值，则函数 的单
调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
由已知得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，所以函数 的单调递增区间是 .
故选：C．
4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数 的极值点为 ，函数
的最大值为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的定义域为 ，
在 上单调递增，且 ， ，所以 ， ．
的定义域为 ，由 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
即 ．所以 ．
故选：A
5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵
∴原式
令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
又∵ ， ，
，
∴当 时， ，
∴当 ， 的取值范围是 .
故选：D.
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当 时，函数 取得最小值 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，函数 取得最小值 ，
所以 ，所以 ，得 ，
又 ，根据函数在 处取得最值，
所以 即 得 ，
所以 ， .
故选：C.
7．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数 m ，t满足
，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，解出 ，或 （舍），所以 ，即 ， ，
令 ， ， ，
时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
故选：B.
8．（2023·山东烟台·统考二模）若函数 有两个极值点 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 有两个极值点 ，
又函数 的定义域为 ，导函数为 ，
所以方程 由两个不同的正根，且 为其根，所以 ， ， ，
所以 ，
则
，
又 ，即 ，可得 ，
所以 或 （舍去），
故选：C.
9．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）函数 的定义域为R，它的导函数
的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在 上函数 为增函数 B．在 上函数 为增函数
C．在 上函数 有极大值 D． 是函数 在区间 上的极小值点
【答案】AC
【解析】根据图象判断出 的单调区间、极值（点）.由图象可知 在区间 和 上 ，
递增；在区间 上 ， 递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间 上， 有极大值为 ，C选项正确.
在区间 上， 是 的极小值点，D选项错误.
故选：AC
10．（多选题）（2023·广东汕头·统考三模）设函数 的导函数为 ，则（ ）
A． B． 是函数 的极值点
C． 存在两个零点 D． 在(1，+∞)上单调递增
【答案】AD
【解析】 ，所以函数 在 上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确； ，故A正确；
，得 ， 中， ，
所以 恒成立，即方程只有一个实数根，即 ，故C错误.
故选：AD
11．（多选题）（2023·山西运城·统考三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线 在 处的切线与直线 垂直
B． 在 上单调递增
C． 的极小值为
D． 在 上的最小值为
【答案】BC
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
令 ，解得 ，所以 的单调递增区间为 ，
而 ，所以 在 上单调递增，故B正确；
当 时 ，所以 的单调递减区间为 ，
所以 的极小值为 ，故C正确；
在 上单调递减，所以最小值为 ，故D错误；
故选：BC
12．（多选题）（2023·辽宁·校联考三模）已知函数 ，若 有两个不同
的极值点 ，且当 时恒有 ，则 的可能取值有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由题可知， ，因为 有两个不同的极值点
，所以 且 ，
若 ，则 ．当 时， ，即 ，即 ，即，
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，则 ，则
，所以 ．
若 ，则 ．当 时， ，即 ，
若 ，则当 时， ，不满足题意，所以 ，此时 ，即 ．
设 ，则
易得 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 解得 ，所以 ．
综上， 的取值范围是 ，
故选:BD．
13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）函数 在 内有极小值，则 的一个可
能取值为______．
【答案】 （答案不唯一，只要符合 均可）
【解析】由 得 ， 若有极值点，则 ，
所以 ，故当 或 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，故当 时， 取极小值，因此要使
在 内有极小值，则 ，
故答案为： （答案不唯一，只要符合 均可）
14．（2023·云南红河·统考二模）若 是函数 的极小值点，则函数 在区
间 上的最大值为______．
【答案】 /
【解析】由 ，得 ，因为 是函数 的极小值点，所以 ，即 ，
即 ，解得 或 ．
当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以， 在区间 ， 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 是函数 的极大值点，不符合题意；
当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在区间 ， 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点，故
又因为 ， ，
所以函数 在 的最大值为 ．
故答案为： ．
15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ， ，若
与 中恰有一个函数无极值，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】若 无极值，
则 恒成立，
即 ，解得 ；
若 无极值，
则 对 恒成立，所以 ，即 ．
所以 与 中恰有一个函数无极值，
则 或 ，
解得 ．
16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数 ，对于任意 ，都有
，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】当 时， ，符合题意；
当 时，令 ，则 ，
可化为 ，
令 ，则 ，
时， 单调递减， 时， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
对于任意 ，都有 ，
等价于 ，即 ，
对于①：由 在 上单调递增，且 ，
可知 ，即 且 ，
在 且 的条件下，对②：由 时， 单调递减，
可得 ，②成立，
综上可知：实数 的取值范围为 .
故答案为：
17．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数 ，且f（x）在 内有两个极
值点 （ ）．
(1)求实数a的取值范围；(2)求证： ．
【解析】（1）由题可知, ,令 ,即 ,
即 有两个根 ,
令 ,则 ,
由 得, ,解得 ;由 得, ,解得 ,
所以 在 单调递增, 单调递减,
时 ,
所以要使 有两个根,则 ,
解得 ,所以 .
（2）由(1)可知 且 ，所以
要证 ，只用证 ，
等价于证明 ，
而 ，即 ，
故等价于证明 ，
即证 .
令 ，则 ，
于是等价于证明 成立，
设 ，
，
所以 在 上单调递增，故 ，即 成立，
所以 ，结论得证.
18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）由 得 ，
令 ，故 在 单调递增，令 ，故 在 单调递减，故当
时， 取极小值，且极小值为 ，故极大值，
（2）由 恒成立可得 恒成立，
记 ，则 ，令 ，则 ，
由（1）知： 在 处取极小值也是最小值，且最小值为1，故 ，
因此 在 上单调递增，且 ，故当 时， ， 单调递增，当 时，
， 单调递减，故当 时， 取极小值也是最小值1，故
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与直线 相互垂直，探究函数 的单调性；
(2)若函数 有唯一的极值0，求 的值.
【解析】（1）依题意， ，故 ，解得 ，
则 ，故 ，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，故 ，
则函数 在 上单调递减；
（2） ，则 ，设 唯一的极值点为 ，则
由 得， ，（*）
令 ，则 ，所以 ，
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，从而 单调递减，
当 时， ，从而 单调递增，
故 ，从而 在 上单调递增，
又因为 ，所以 ，代入①可得 ，
当 时， ， ，
因为 是（*）的唯一零点，且 ，
所以 是 唯一的极值点，且极值为0，满足题意.
所以 .
20．（2023·四川成都·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 是函数 的极小值点，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时，函数 ．
． ．
∴曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）由题知 ，不妨设 ．
．
（i）当 时，不妨设 ．
在 上恒成立．
在 上单调递增．
又 ，∴当 时， ；当 时， ．
，
．
∴当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增．
是函数 的极小值点．
（ii）当 时，不妨设 ．
，使得 ，且 ．
在 上单调递减．
∴当 时， ．
∴当 时， ．
在 上单调递减．
不是函数 的极小值点．
综上所述，当 是函数 的极小值点时， 的取值范围为 ．
21．（2023·北京房山·统考二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的最小值；
(3)证明：
【解析】（1） .
所以 ， ，
所以 在点 处切线的方程为 ，
即 .
（2）当 时， ， ，令 ，则 .
当 时， ，所以 在 单调递减.
所以 .
所以 ，函数 在 上单调递减.
函数 在 上单调递减.
所以 ，即函数 的最小值为 .
（3）由（2）可知 在 上单调递减.
又因为 ，
所以 .
所以 ，即
22．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 ，记 为函数g(x)的两个极值点，求 的取值范围．
【解析】（1） ，
又 切点 切线方程为 ，即 .
（2）
为两个极值点， 有两个不等的正根 ，
， ，得 ，
令 ，得 ，
， ，则 ，则 ，
在 递减， ，即 的取值范围为 ．
1．（2017·全国·高考真题）若 是函数 的极值点，则 的极小值为．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得 ，
因为 ，所以 ， ，故 ，
令 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极小值为 ，故选A．
2．（2012·重庆·高考真题）设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数 的图像如
题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数 有极大值 和极小值
B．函数 有极大值 和极小值
C．函数 有极大值 和极小值
D．函数 有极大值 和极小值
【答案】D
【解析】 则 函数 增；
则 函数 减；
则 函数 减；
则 函数 增；选D.3．（2013·浙江·高考真题）已知e为自然对数的底数,设函数 ,则．
A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【答案】C
【解析】
当k=1时，函数f(x)=(ex−1)(x−1).
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)+(ex−1)=(xex−1)
f′(1)=e−1≠0，f′(2)=2e2−1≠0，则f(x)在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f(x)=(ex−1)(x−1)2.
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)2+2(ex−1)(x−1)=(x−1)(xex+ex−2)
∴当x=1，f′(x)=0，且当x>1时，f′(x)>0，当x0
